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出版者:McGraw-Hill College

作者:Hutchison, Donald/ Bergman, Barry/ Hoelzle, Louis/ Baratto, Stefan

出品人:

页数:768

译者:

出版时间:2004-3

价格:$ 168.94

装帧:Pap

isbn号码:9780073016023

丛书系列:

图书标签:

• 代数
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好的，这是一本关于高等抽象代数的教材的详细简介： --- 现代抽象代数导论：结构、映射与范畴 作者： [此处可自行填充一位知名数学家的名字] 出版社： [此处可自行填充一家学术出版社的名称] 内容概述 《现代抽象代数导论：结构、映射与范畴》旨在为对数学结构有深入兴趣的学生提供一套全面而严谨的抽象代数基础。本书超越了传统代数课程中对群、环和域的初级介绍，深入探讨了这些代数结构背后的深层理论，并引入了范畴论这一强大的组织框架，使读者能够从更高的视角理解代数系统间的关系。本书的叙事风格侧重于理论的构建、证明的完整性以及关键概念的几何或分析直觉的阐释。 全书共分为六大部分，共二十章，结构上层层递进，从基础概念逐步推向前沿主题。 --- 第一部分：群论的深化与扩张 (Chapters 1-5) 本部分巩固了群论的基础，但立刻将重点转向更复杂的结构和高级性质。 第1章：群的再审视与同态的精确定义 回顾群的基本定义，重点分析了中心、正规子群的性质，并引入了商群与同构定理的严谨证明。首次强调了代数结构上的“有意义的映射”这一核心思想。 第2章：p-群与Sylow定理的精细分析 详细阐述了p-群的性质，包括其中心非平凡性。Sylow三定理的证明将采用更具代数几何直觉的方式进行，而非单纯的计数论证。随后，将介绍利用Sylow子群来分析有限群结构的方法。 第3章：有限群的分类与可解群 深入探讨可解群（Solvable Groups）的概念，以及其与导群（Derived Subgroup）的关系。引入了群作用的进一步应用，特别是关于置换群的结构分析，为理解伽罗瓦群奠定基础。 第4章：无限群：自由群与群表示 首次引入自由群（Free Groups）的构造，并使用生成元和关系式来描述群。本章详细讲解了群表示论的初步知识，特别是利用矩阵群作为实例来理解抽象群结构。 第5章：群的扩张与中性扩张 本章聚焦于群扩张理论，特别是如何通过特定结构（如群的中心扩张）来“提升”一个已知的群结构。这包括对Schreier表示的深入讨论，为后续的群上同调打下理论基础。 --- 第二部分：环论的拓扑与代数几何视角 (Chapters 6-10) 本部分将环的概念提升到新的高度，侧重于其局部性质、理想的结构以及与代数几何的联系。 第6章：理想、模与环的分解结构 对理想的定义进行拓展，引入了素理想（Prime Ideals）和极大理想（Maximal Ideals）的概念。详细分析了Noether环的定义，并论证了Hilbert基定理在有限生成模上的推广。 第7章：局部化与分数域 深入研究环的局部化过程，解释了如何从一个环构造一个包含特定素理想之外所有元素的环。分数域（Field of Fractions）的构造将作为局部化理论的一个重要特例来呈现。 第8章：主理想域（PID）与唯一分解域（UFD）的结构 清晰区分PID、UFD和整环。使用模论的语言来证明欧几里得整环总是PID，而PID总是UFD。本章将通过实例（如高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$）来强化理解。 第9章：交换环上的张量积与平坦模 引入张量积（Tensor Product）的正式定义及其通用性质。张量积将被视为连接两个环模的“最小”双线性操作。平坦模（Flat Modules）和投射模（Projective Modules）的性质将在同调代数的背景下被考察。 第10章：戴德金环与代数数论简介 介绍戴德金环（Dedekind Domains）作为处理代数数域中理想因子分解问题的关键工具。本章将简要介绍理想的唯一因子分解如何与数域的整数环联系起来，这是连接代数与数论的桥梁。 --- 第三部分：域论与伽罗瓦理论的完整构建 (Chapters 11-14) 本部分系统地构建了伽罗瓦理论，着重于超越域扩张、正规扩张的精确条件以及其在多项式根式求解中的应用。 第11章：域扩张的分类与构造 详细分析了代数扩张、超越扩张。重点讨论了有限域的构造（如 $mathbb{F}_{p^n}$）及其唯一性，并使用最小多项式来精确描述扩张的次数。 第12章：伽罗瓦群的定义与基本性质 定义了伽罗瓦扩张的条件：有限性、正规性和可分性。伽罗瓦群 $ ext{Gal}(L/K)$ 的性质将通过其阶数与扩张次数的关系来阐述。 第13章：伽罗瓦理论基本定理的严谨证明 本章的核心是伽罗瓦理论基本定理的完整证明，该定理建立了域扩张塔与子群之间的完美对偶关系。将分析不可约多项式的根的置换模式。 第14章：不可解性与无限伽罗瓦群 分析五次及以上方程不可用根式求解的代数根源，这与特定伽罗瓦群的可解性密切相关。此外，本章将简要介绍无限伽罗瓦群，特别是绝对伽罗瓦群 $ ext{Gal}(overline{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$ 的初步结构。 --- 第四部分：非交换代数的深入探索 (Chapters 15-16) 本部分将注意力转向非交换的代数结构，特别是如何将环的性质与其上的模联系起来。 第15章：除环与分裂域 详细研究除环（Division Rings）的性质，特别是有限域上的除环。本章将引入Skolem-Noether定理，表明一个域上所有简单的环是同构的，这为理解非交换代数提供了基础。 第16章：表示论基础：群代数 引入群代数 $K[G]$ 的概念，并将其视为研究群 $G$ 的一个强大的工具。讨论半简单环的结构，并介绍Maschke定理及其在特征为零或与群阶互素的域上的应用。 --- 第五部分：非交换环与非结合代数 (Chapters 17-18) 本部分探索了更广义的代数结构，超越了传统“环”的范畴。 第17章：半群与正则性 从更广义的角度审视运算结构，引入半群（Semigroups）的概念。重点研究正则半群和Monoid，并考察它们在形式语言理论中的应用。 第18章：李代数与泊松结构 引入李括号，研究李代数（Lie Algebras）作为满足特定反对称和雅可比恒等式的向量空间。李代数与群（李群）的联系，以及它们在微分几何中的作用将是本章的重点。 --- 第六部分：范畴论的统一语言 (Chapters 19-20) 最后两章提供了一个高度抽象但极其强大的统一框架——范畴论。 第19章：范畴、函子与自然变换 首次正式定义范畴（Category）、对象、态射和恒等态射。重点讲解函子（Functor）如何描述不同数学领域之间的结构保持映射。自然变换（Natural Transformations）则被用来比较不同的函子。 第20章：极限、余极限与范畴的对偶性 介绍极限（如积和拉回）和余极限（如上积和推拉）的通用构造。本章将展示范畴论如何统一地描述群的商、环的局部化、域的扩张等看似不同的代数构造，并阐述对偶原理（Duality Principle）在代数理论中的威力。 --- 目标读者与教学特色 本书专为数学专业高年级本科生和初级研究生设计。它要求读者已经掌握微积分和线性代数的基础，并对集合论和证明技巧有初步的熟悉。 教学特色包括： 1. 详尽的证明： 书中几乎所有重要定理都提供了完整的、逐步推导的证明，强调逻辑的严谨性。 2. “桥梁”性质的习题： 习题被精心设计，旨在引导学生从具体的例子（如 $mathbb{Z}_n$ 或 $mathbb{R}[x]$）过渡到抽象的理论构建。 3. 理论互联： 强调不同代数结构（群、环、模、域）之间的内在联系，尤其是通过范畴论实现的统一视角。 4. 历史与应用注释： 在关键概念处穿插了对这些概念历史发展和在其他数学分支（如拓扑学、代数几何和密码学）中应用的简短注释，以激发读者的探索欲。

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