前 言 1
1. 為什麼要給齣綫性代數的幾何意義 1
2. 重要的幾何直觀意義 3
3. 如何使用這本書 4
目 錄 6
第1章 什麼是綫性代數 11
1.1 “代數”的意義 11
1.2 “綫性”的意義 14
1.2.1 綫性函數的概念 14
1.2.2 綫性函數概念的推廣 16
1.2.3 多元綫性函數的幾何意義 17
1.2.4 n維(高維)空間的直觀理解 19
1.3 綫性映射和綫性變換的幾何意義 21
1.3.1 綫性映射的幾何意義 21
1.3.2 綫性變換的幾何意義 26
1.4 綫性代數的故事 29
1.5 綫性代數有什麼用 32
第2章 嚮量的基本幾何意義 36
2.1 嚮量概念的幾何意義 36
2.1.1 自由嚮量的概念 36
2.1.2 嚮量的代數錶示 37
2.2 嚮量加法的幾何及物理意義 39
2.3 嚮量內積的幾何和物理意義 42
2.3.1 嚮量內積的幾何解釋 42
2.3.2 嚮量內積的物理解釋 44
2.4 嚮量叉積的幾何和物理意義 45
2.4.1 叉積的定義及其幾何解釋 45
2.4.2 叉積的物理意義 46
2.5 嚮量混閤運算的幾何意義 49
2.5.1 嚮量加法的結閤律的幾何解釋 49
2.5.2 嚮量數乘的分配律的幾何解釋 50
2.5.3 嚮量點積的分配律的幾何解釋 50
2.5.4 嚮量叉積的分配律的幾何解釋 51
2.5.5 嚮量混閤積的幾何解釋 53
2.6 嚮量積和張量之間的關係 54
2.6.1 二維嚮量的內積、外積和張量 55
2.6.2 三維嚮量的內積、外積和張量 56
2.7 嚮量除法的幾何意義 56
2.8 變嚮量的幾何意義 57
2.8.1 二維變嚮量的幾何圖形 57
2.8.2 三維變嚮量的幾何圖形 59
2.8.3 變嚮量的應用 60
2.9 復嚮量的幾何意義 61
2.9.1 嚮量與復數的關係 61
2.9.2 復嚮量的幾何意義 62
2.10嚮量和微積分的關係 64
2.10.1 微分的幾何意義 64
2.10.2 微元就是嚮量 64
2.11嚮量與解析幾何的關係 65
第3章 行列式的幾何意義 67
3.1 行列式的定義 67
3.2 二階行列式的幾何意義 70
3.2.1 二階行列式的幾何意義 70
3.2.2 二階行列式性質的幾何解釋 71
3.3 三階行列式的幾何意義 75
3.3.1 三階行列式的幾何意義 75
3.3.2 三階行列式性質的幾何解釋 75
3.4 行列式化為對角形的幾何解釋 79
3.5 行列式乘積項的幾何意義 81
3.5.1 二階行列式乘積項的幾何意義 81
3.5.2 三階行列式乘積項的幾何意義 82
3.5.3 n階行列式乘積項的幾何意義 85
3.6 拉普拉斯展開定理及代數餘子式的幾何解釋 86
3.7 剋萊姆法則的幾何意義 88
3.7.1 二階剋萊姆法則的幾何解釋 88
3.7.2 三階剋萊姆法則的幾何解釋 89
3.8 一類行列式的幾何意義 90
3.8.1 最後一列為1的行列式 90
3.8.2 一列為1的行列式的應用 93
第4章 嚮量組及嚮量空間的幾何意義 94
4.1 嚮量組的幾何意義 94
4.1.1 嚮量綫性錶示/組閤的幾何意義 95
4.1.2 嚮量組綫性相關的幾何意義 97
4.1.3 嚮量組等價的幾何解釋 99
4.1.4 嚮量組的秩和極大無關組的幾何意義 101
4.1.5 嚮量組例題的圖解 102
4.2 嚮量空間的幾何意義 103
4.2.1 嚮量張成的空間 105
4.2.2 子空間的幾何意義 105
4.2.3 基、維數及其坐標的幾何意義 108
4.2.4 基變換的幾何意義 111
4.2.5 歐式空間及內積推廣 114
4.2.6 標準正交基的幾何解釋 117
4.2.7 施密特正交化的幾何解釋 122
第5章 矩陣的幾何意義 125
5.1 矩陣的概念及物理意義 125
5.1.1 矩陣是統計數錶的例子 126
5.1.2 矩陣是綫性函數係數的例子 127
5.2 矩陣加法的幾何意義 128
5.3 矩陣與嚮量乘法的幾何意義 129
5.3.1 矩陣與嚮量的乘積的概念 129
5.3.2 矩陣與嚮量乘積的幾何意義 130
5.4 矩陣與矩陣乘法的幾何意義 136
5.4.1 矩陣與矩陣乘法的意義 136
5.4.2 矩陣左乘與右乘的不同 138
5.4.3 矩陣乘冪的幾何及物理解釋 139
5.5 矩陣與綫性變換關係的幾何意義 140
5.5.1 綫性變換如何用矩陣錶示 140
5.5.2 綫性變換矩陣定理的幾何及物理意義 142
5.5.3 矩陣及其對應綫性變換的幾何圖形 143
5.5.4 初等矩陣/初等變換的幾何意義 146
5.6 矩陣乘法運算律的幾何意義 153
5.6.1 兩個矩陣相乘是兩個綫性變換的復閤 153
5.6.2 矩陣的乘法不滿足交換律 154
5.6.3 矩陣的乘法不滿足消去律 154
5.7 矩陣秩的幾何意義 155
5.7.1 矩陣秩的幾何意義 155
5.7.2 矩陣的秩對圖形變換的影響 156
5.8 矩陣特徵值和特徵嚮量的幾何及物理意義 157
5.8.1 特徵值和特徵嚮量的幾何意義 157
5.8.2 特徵值和特徵嚮量的物理意義 160
5.8.3 特徵嚮量空間的幾何圖景 171
5.8.4 實對稱矩陣的特徵值和特徵嚮量 174
5.8.5 復數特徵值及特徵嚮量的幾何意義 176
5.9 矩陣相似的幾何意義 178
5.9.1 什麼是相似矩陣 178
5.9.2 矩陣相似的幾何意義 180
5.9.3 矩陣相似對角化的幾何解釋 182
5.10矩陣行列式的幾何意義 185
5.10.1 二階矩陣行列式的幾何意義 186
5.10.2 矩陣運算的行列式的幾何意義 187
5.11雅可比矩陣及其行列式的幾何意義 191
5.11.1 雅可比矩陣及其行列式的幾何意義 191
5.11.2 雅可比矩陣在二重積分中的應用例子 192
5.12矩陣對平麵和空間的鏇轉變換 195
5.12.1 平麵上的鏇轉變換 195
5.12.2 空間的鏇轉變換 197
5.13矩陣的等價、相似與閤同關係 199
5.13.1 矩陣等價、相似及閤同的關係對比 199
5.13.2 等價矩陣幾何意義 200
5.13.3 相似與等價矩陣幾何意義的對比 202
5.13.4 閤同與等價矩陣幾何意義的對比 203
5.14其他各類矩陣的幾何意義 204
5.14.1 逆矩陣的幾何意義 204
5.14.2 轉置矩陣的幾何意義 206
5.14.3 伴隨矩陣的幾何意義 213
5.14.4 正交矩陣的幾何意義 215
5.14.5 分塊矩陣的代數及幾何意義 218
5.14.6 三角矩陣幾何意義 221
5.14.7 對角矩陣的幾何意義 223
5.14.8 平移矩陣的幾何意義 224
5.14.9 復數的矩陣錶示 226
第6章 綫性方程組的幾何意義 229
6.1 兩種綫性方程組錶示形式的幾何意義 229
6.2 高斯消元法的幾何解釋 230
6.3 綫性方程組的秩及解的關係的幾何意義 233
6.3.1 二元綫性方程組的秩及解的圖形 233
6.3.2 三元綫性方程組的秩及解的圖形 236
6.4 綫性方程組有解判彆定理的幾何解釋 240
6.5 綫性方程組解結構的幾何意義 242
6.5.1 綫性方程組解的代數形式 242
6.5.2 齊次綫性方程組的解空間 245
6.5.3 非齊次綫性方程組的解結構 246
6.5.4 非齊次綫性方程組的例解 247
6.6 數域上的綫性方程組（或嚮量空間）的意義 249
6.7 超定方程組的最小二乘解的幾何解釋 250
6.7.1 最小二乘法的嚮量解的幾何意義 250
6.7.2 一般最小二乘解的公式推導 251
6.7.3 最小二乘解的例析 251
6.8 方程組和矩陣、嚮量組的關係 252
6.8.1 綫性方程組與矩陣乘法的運算關係 253
6.8.2 綫性方程組、矩陣、嚮量組的關係 254
6.8.3 秩的關係 254
第7章 二次型的幾何意義 256
7.1 二次麯綫及麯麵的圖形 257
7.1.1 二次函數的哪些係數對圖形是重要的 257
7.1.2 二次函數與二次方程的關係 259
7.1.3 圓錐麯綫的嚮量方程 261
7.2 二次型及其幾何意義 262
7.2.1 二次型的定義 262
7.2.2 二次型的幾何及物理意義 263
7.2.3 二次型函數與雙綫性函數的關係 265
7.3 二次型閤同對角化的幾何意義 267
7.3.1 二次型對角化之正交變換 268
7.3.2 其他二次型對角化的方法 270
7.4 慣性定理的幾何及物理意義 272
7.5 二次型正定性的幾何意義 273
7.5.1 二次型正定性的幾何意義 274
7.5.2 二次型正定性判彆法的直觀理解 275
7.6 二次型的分類與二次麯麵的分類 276
附錄 綫性代數簡史和名師學習指點 280
1. 綫性代數主要內容及其發展簡史 280
2. 怎樣學習綫性代數 283
主要參考文獻 289
後 記 290
· · · · · · (收起)