泛函分析中的反例 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:汪林

出品人:

页数:329

译者:

出版时间:2014-1-6

价格:49.00

装帧:平装

isbn号码:9787040388909

丛书系列:现代数学基础

图书标签:

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《泛函分析中的反例》 这本书旨在为读者提供一个深入理解泛函分析核心概念的独特视角——通过精心挑选和分析一系列重要的反例。泛函分析，作为数学的一个分支，研究无限维向量空间中的线性算子和函数，其抽象性和强大应用性使其成为现代数学的基石。然而，正是这些抽象的定义和定理，往往在具体的情境下会展现出意想不到的复杂性和微妙之处。 本书的核心价值在于，它不满足于仅仅罗列定理和证明，而是聚焦于那些能够挑战我们直觉、揭示理论边界的关键反例。通过对这些反例的细致剖析，读者将能够更深刻地理解诸如巴拿赫空间、希尔伯特空间、有界线性算子、紧算子、对偶空间、算子代数等核心概念的真正含义和限制。 内容梗概： 本书的结构围绕泛函分析中的关键主题展开，并为每个主题精心设计了具有启发性的反例。 第一部分：度量空间与拓扑空间基础 在深入泛函分析的真正殿堂之前，我们首先需要巩固对度量空间和拓扑空间的基本理解。这一部分将引入一些基本的反例，它们帮助我们区分连续性和一致连续性，理解完备性的重要性，以及在拓扑空间中，紧集、可数紧集、林德勒夫空间等概念之间的微妙关系。例如，我们将探讨一个非完备度量空间如何影响序列的收敛性，以及在不同拓扑下，集合的开闭性质如何发生变化。 第二部分：巴拿赫空间与线性算子 巴拿赫空间是泛函分析的核心研究对象，它们是完备的赋范向量空间。本部分将集中探讨巴拿赫空间的一些“非典型”性质，以及与之相关的线性算子。我们将研究那些在直觉上看似“友好”但实际行为却非常复杂的线性算子，例如： 开映射定理与闭图像定理的反例： 这些定理是巴拿赫空间理论的基石，但理解它们的条件有多么关键，最好的方式就是考察在放松这些条件时会出现的“病态”算子。我们将展示如何构造非线性的、不连续的或具有非零零空间的算子，从而说明开映射定理和闭图像定理的必要性。 有界线性算子的性质： 尽管有界性是泛函分析中一个极其重要的性质，但即使是有界算子，其行为也可能非常复杂。我们将探讨在不同空间中，有界算子如何表现出不同的“压缩”或“扩张”行为，以及某些看起来简单的函数，在作为算子时可能表现出非预期的特性。 对偶空间的反例： 每一个赋范空间都有其对偶空间，对偶空间在泛函分析中有其独特的地位。本书将探讨在某些情况下，一个空间与其对偶空间在结构上的差异，以及对偶空间的拓扑（例如弱拓扑和强拓扑）如何影响我们对算子的理解。我们将展示一些空间，其对偶空间并非“直观”地与其本身相似。 第三部分：希尔伯特空间与紧算子 希尔伯特空间作为具有内积的巴拿赫空间，拥有比一般巴拿赫空间更丰富的几何结构。在这一部分，我们将深入研究希尔伯特空间中的算子，特别是紧算子。 紧算子的反例： 紧算子在特征值理论和谱理论中扮演着至关重要的角色。然而，并非所有的有界线性算子都是紧的。我们将构造一些重要的反例，展示在无限维希尔伯特空间中，为什么“紧性”不是一个普遍存在的属性，以及它对算子谱的影响。例如，我们将探讨单位算子在无限维空间中的性质，以及它如何不是紧算子。 谱理论的微妙之处： 谱理论是研究算子性质的核心工具。在有限维空间中，谱理论非常直观，但在无限维空间中，情况变得复杂。我们将通过反例来阐释，为什么算子的谱集合的定义至关重要，以及某些算子可能没有特征值，或者其谱可能包含连续谱。 投影算子的性质： 投影算子在希尔伯特空间中有着重要的几何意义。我们将探讨不同类型的投影算子，并分析其性质，特别是与紧性相关的性质。 第四部分：算子代数与更广泛的应用 本部分将触及更高级的主题，如算子代数，并展示泛函分析中的反例如何在更广泛的数学领域中发挥作用。 C-代数和 von Neumann 代数中的反例： 这些代数结构在量子力学、量子信息论等领域有着深刻的应用。我们将探讨在这些代数结构中，某些看似直观的性质，在无限维情境下可能会失效，从而需要引入更精细的定义和更强大的工具。 泛函分析在其他领域的反例： 泛函分析的思想和工具渗透到概率论、偏微分方程、调和分析等众多数学分支。本书将简要提及，在这些领域中，泛函分析中的反例如何帮助我们理解和解决实际问题，例如，某些偏微分方程的解可能不存在，或者具有非常“奇怪”的性质，这往往与泛函分析中的反例息息相关。 本书特色： 详尽的证明与清晰的解释： 对于每一个反例，本书都提供了严谨的数学证明，并配以易于理解的文字解释，帮助读者掌握其核心思想。 启发性的思考： 本书不仅仅是提供答案，更重要的是引导读者进行独立思考，理解为什么这些反例是重要的，以及它们对泛函分析理论的意义。 广泛的适用性： 本书适合泛函分析专业的研究生、博士生以及对该领域有深入兴趣的数学家和物理学家。它也可以作为本科高年级学生学习泛函分析时的辅助读物，帮助他们建立更扎实的理解。 精心设计的结构： 本书的章节安排循序渐进，从基础概念到高级主题，确保读者能够逐步深入。 通过对《泛函分析中的反例》的学习，读者将能够超越教科书上的常规证明，建立起对泛函分析理论更深刻、更全面、更具洞察力的理解。每一个反例都是一扇窗，让我们得以窥视这个抽象而美丽的数学世界中那些隐藏在表象之下的深刻真理。

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我必须承认，一开始我对书名的期待是能看到一些非常尖端的、只有专业研究人员才津津乐道的那些“冷门”反例。但出乎意料的是，这本书的起点设置得非常友好，它从那些最基础、最容易被我们忽略掉的直觉误区入手。比如，关于有界线性算子在特定条件下的连续性问题，书中给出的反例，简洁到令人拍案叫绝。它巧妙地利用了某些序列的收敛性差异，将一个原本抽象的拓扑问题具体化为一个可感知的量变到质变的过程。这种由浅入深、步步为营的讲解方式，极大地降低了学习的门槛，同时也保证了内容的深度。它不是那种“我告诉你结论，你照做就好”的书，而是“我带你走一遍弯路，让你自己发现捷径”的书。阅读过程需要专注，但回报是巨大的，你会感觉自己的数学思维结构被重新校准了一遍，那些原本模糊的概念边界被清晰地界定开来。

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这本书的排版和结构设计也值得称赞，它有一种老派的、扎实的学术气息，但内容上却保持着极度的灵活性。它不强迫你按照线性的顺序阅读，你可以根据自己的兴趣点，随时跳跃到任何一个你觉得最吸引你的反例进行深入研究。对我而言，书中对某些紧凑性概念的讨论，特别是如何构造一个在某个空间下紧致，但在另一个相关空间下却不紧致的序列，简直是艺术品级别的构造。这种对数学“边界条件”的探索，让人体会到数学家思维的严谨与浪漫。我甚至会把书中提到的几个核心反例在笔记本上画出来，试图从几何直观上捕捉那种“差之毫厘，谬以千里”的微妙之处。它没有提供现成的答案，而是提供了一把精密的“手术刀”，教你如何去剖析那些看似无懈可击的数学直觉。读完之后，我对于“泛函”这个词的理解，从一个抽象的符号运算，变成了一种对无限维空间形态的深刻洞察。

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这本书对于我个人学习路径的影响是颠覆性的。此前，我对一些泛函分析中的“病态”现象总是感到困惑，总觉得某些结论的成立条件过于苛刻，缺乏一种普适的美感。而这本书像是一位经验丰富的老船长，带着你穿越那些风暴肆虐的水域，让你明白，正是那些看似怪异的反例，才构筑了整个泛函分析理论大厦的坚实地基。我尤其欣赏作者在引入每一个反例时所花费的心思，他不仅仅是展示了“这个反例存在”，更是深入挖掘了“为什么这个结构会产生这样的反直觉行为”，并将其置于更宏大的数学背景下进行对比和审视。这种深度对比，使得读者能够更好地理解不同数学分支之间的相互联系与区别。它不是一本提供解决方案的书，而是一本教会你如何正确地提出问题的书，对于提升理论辨析能力，具有不可替代的价值。

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说实话，我抱着一种“挑战自我”的心态开始阅读的，毕竟市面上讲解泛函分析的书籍大多侧重于理论的严密性和逻辑的推导，往往让初学者望而却步。但这本书的处理方式简直是教科书级别的反叛。它没有试图从零开始构建一个庞大的理论体系，而是直接将读者带到那些最能体现泛函分析精髓的“危险地带”。我特别喜欢作者在介绍某些经典反例时的那种娓娓道来的叙事风格，仿佛不是在讲解数学，而是在讲述一场精彩的侦探故事，每一个反例都是一个精心布置的“谜题”，而理解它的构造就是找到最终的真相。读完关于某个特定算子性质的章节后，我感觉自己对拓扑空间和赋范空间的理解深度得到了极大的提升，因为作者没有直接告诉我“这个结论不成立”，而是通过一个具体的、有血有肉的反例，让我自己“感受”到为什么它不成立。这种体验式的学习，远比死记硬背公式有效得多。

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这本书的书名挺唬人的，一开始我以为是那种需要深厚数学功底才能啃下来的硬骨头，毕竟“泛函分析”这几个字本身就带着一股学术的冷峻气息。然而，当我真正翻开它的时候，才发现作者的笔触远比我想象的要温和得多。它更像是一本“反直觉”的数学漫游指南，而不是一本严格的教科书。比如，书中对某些看似理所当然的数学直觉的颠覆，那种“咦，原来是这样！”的惊喜感，是阅读体验中最令人沉醉的部分。它没有罗列太多枯燥的定理证明，而是巧妙地将那些难以理解的概念，通过一个精心构造的反例串联起来，让那些抽象的理论变得鲜活、可触摸。阅读的过程中，我时常会停下来，反复咀嚼那些反例的构建过程，从中领悟到为什么在数学的世界里，我们不能轻易相信自己的“眼睛”和“常识”。这本书对于那些已经在泛函分析的海洋里游了一段时间，但总感觉抓不住核心要害的读者来说，简直是一剂强心针，它帮你打通了思维的堵点，让那些晦涩的知识点一下子豁然开朗。

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业界良心。。有些看似初等的反问题不平凡啊，另外至今不知道紧集为什么不能等距同构于它的真子集，这个貌似复杂所以书上都不给证明？

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这个很好啊，帮助加深对概念的理解。还好吧...其实还是定义重要..

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这个很好啊，帮助加深对概念的理解。还好吧...其实还是定义重要..

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收集和整理这些反例太不容易了

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非常赞……有的时候反例对学生的理解帮助比定理证明还要大！