Analytic Methods for Partial Differential Equations (Springer Undergraduate Mathematics Series) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:G. Evans

出品人:

页数:316

译者:

出版时间:1999-11-23

价格:USD 44.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540761242

丛书系列:Springer Undergraduate Mathematics Series

图书标签:

• 数学
• 偏微分方程
• 数值分析
• 数学分析
• 常微分方程
• 斯普林格
• 高等数学
• 应用数学
• 科学计算
• 数学建模
• 工程数学

数理方程的现代解析工具：深入探究与应用 本书聚焦于为读者提供一套系统、深入且实用的解析方法论，用以处理复杂的偏微分方程（PDEs）。它不直接探讨“Analytic Methods for Partial Differential Equations (Springer Undergraduate Mathematics Series)”一书所涵盖的具体内容，而是从一个更广阔的、侧重于方法论建构与实际应用的视角，构建起一套面向高阶学习者和研究人员的工具箱。 --- 第一部分：基础理论的再巩固与深化 本书伊始，我们首先对偏微分方程的基础理论进行一次审视与提升。我们假设读者对一阶和二阶线性PDEs的基本解法（如分离变量法、特征线法）已有初步了解，但本书将着重于揭示这些经典方法背后的深层数学结构，并为更高级的技巧铺平道路。 1. 泛函分析的视角：解空间的度量与结构 我们从 Sobolev 空间和 $L^p$ 空间的理论框架切入，重新审视“解”的定义。PDEs的强解（classical solutions）往往在物理或工程背景下过于苛刻。因此，本书详述了弱解、分布解（distributions）的概念及其重要性。我们将深入分析希尔伯特空间上的算子理论，特别是自伴随算子在椭圆型方程（如拉普拉斯方程、泊松方程）的特征值问题中的核心地位。 重点内容包括： Riesz 表示定理与 Lax-Milgram 定理的应用： 如何利用泛函分析的强大工具，在抽象的函数空间中证明弱解的存在性、唯一性，并建立能量不等式（Energy Inequalities）。 Sobolev 不等式与嵌入定理的精细分析： 这些不等式是评估解的正则性（Regularity）和确定解的全局行为的关键。我们将探讨不同的嵌入方式如何影响边界值问题的提法。 2. 线性算子理论与谱分析 对于定解问题，特别是涉及时间演化的方程（如热方程、波动方程），我们将其转化为抽象微分方程 $frac{du}{dt} = Au$ 的形式。本书详细阐述了半群理论（Semigroup Theory）在处理无限维系统中的威力。 有界与无界算子： 分析生成元 $A$ 的谱结构，以及该结构如何决定了系统的长期稳定性与振荡特性。 拉普拉斯算子的谱： 对常见几何区域上的拉普拉斯算子进行详细的特征值分析，讨论不同边界条件（Dirichlet, Neumann, Robin）对本征函数（Eigenfunctions）和本征值（Eigenvalues）的影响。 --- 第二部分：先进的正则性与摄动方法 本部分将引导读者超越初级教材中对特定方程的直接求解，转向处理更具挑战性的、具有实际物理意义的非线性问题或参数依赖性问题。 3. 椭圆型方程的正则性理论进阶 对于泊松方程的推广形式，即 $mathcal{L}u = f$，其中 $mathcal{L}$ 是一个更复杂的二阶线性算子，我们关注的重点是如何确定解 $u$ 的光滑度。 提升阶梯法（Bootstrapping）： 详细演示如何利用弱解的存在性作为起点，通过迭代应用先验估计（如最大值原理）来逐步提高解的连续可微阶数，直到达到强解的级别。 非均匀椭圆方程的挑战： 探讨系数本身依赖于 $x$ 或 $u$ 的情况，特别是涉及非光滑右端项 $f$ 时的处理策略。 4. 摄动理论与渐近分析 在工程和物理中，许多方程具有小的参数 $epsilon$，决定了系统的微小偏离。系统地分析当 $epsilon o 0$ 时解的极限行为，是理解系统本质的关键。 定常态摄动（Regular Perturbation）： 针对边界层理论（Boundary Layer Theory）的基础，分析当参数导致解在局部区域发生剧烈变化时，如何通过匹配不同区域的近似解来构建整体解。 奇异摄动（Singular Perturbation）： 重点处理方程的阶数在极限情况下降低的问题，例如涉及小参数乘以最高阶导数的项。介绍范式匹配（Method of Matched Asymptotic Expansions）的严谨步骤。 --- 第三部分：非线性方程的现代工具箱 处理非线性PDEs往往需要依赖于能量方法和不动点理论，这些方法在近几十年的发展中取得了显著的成就。 5. 能量方法与不变式 能量方法是证明解存在性、稳定性和唯一性的强大支柱，尤其适用于双曲型方程（如波动方程）和抛物型方程（如非线性扩散方程）。 守恒律的建立： 演示如何构造一个与方程结构相关的“能量泛函”（通常是与 $L^2$ 范数或更高范数相关的量），并通过对方程进行积分来推导出能量随时间的演化率 $frac{dE}{dt} leq 0$ 或 $frac{dE}{dt} = 0$。 应用实例： 详细分析 Burgers 方程和非线性热方程的能量衰减或增长特性。 6. 变分法与不动点定理 对于涉及到能量最小化（如最小曲面问题）或势能函数的方程，变分原理提供了最自然的求解框架。 Dirichlet 能量泛函的最小化： 阐述欧拉-拉格朗日方程如何自然地引出椭圆型PDEs。 不动点定理的应用： 侧重于 Banach 压缩映射定理和 Schauder 提升定理在非线性初边值问题中的应用。我们将展示如何构造合适的迭代映射，并通过这些不动点定理来证明解的存在性，特别是在处理诸如 Korteweg-de Vries (KdV) 方程或 Navier-Stokes 方程的部分简化形式时。 --- 第四部分：积分方程的视角与变换技术 并非所有PDE问题都最适合微分形式。有时，将问题转化为等价的积分方程，或者使用强大的积分变换技术，能提供更简洁的解。 7. 格林函数与积分方程的等价性 格林函数是线性时不变PDEs的“脉冲响应”，是求解特定非齐次问题的核心。 构造与性质： 详细探讨如何利用傅里叶变换或拉普拉斯变换来确定各种边界条件下的格林函数。 Fredholm 积分方程： 解释如何将一个边界值问题转化为一个（通常是第二类）Fredholm 积分方程，并讨论 Neumann 级数解法在收敛性分析中的作用。 8. 傅里叶与拉普拉斯变换的深度应用 虽然基础知识可能已学，但本书将聚焦于这些变换在处理非均匀系数和复杂几何区域时的扩展应用。 分块变换： 在具有非标准边界的区域上，介绍如何结合特定的正交函数系（如贝塞尔函数、勒让德多项式）来完成变换，从而将 PDE 降维。 逆变换的难度： 分析在处理复杂积分核时，如何利用留数定理（Residue Theorem）进行精确的逆傅里叶/拉普拉斯变换，这是许多非线性方程（如非线性色散方程）的解析解法的关键一步。 --- 本书的编写宗旨是提供一套深入的、互联的解析方法框架。它旨在培养读者识别问题的核心结构、选择最合适的数学工具，并能够严谨地论证解的存在性、唯一性与稳定性。最终目标是使读者能够自信地应对现代数学物理和工程领域中遇到的各种复杂的偏微分方程挑战。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆