Riemann Surfaces (Graduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:Hershel M. Farkas

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1992-01

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540977032

丛书系列:

图书标签:

Riemann surfaces
Complex analysis
Algebraic geometry
Topology
Mathematics
Graduate level
Holomorphic functions
Conformal mapping
Differential geometry
Compact Riemann surfaces

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具体描述

This text covers Riemann surface theory from elementary aspects to the fontiers of current research. Open and closed surfaces are treated with emphasis on the compact case, while basic tools are developed to describe the analytic, geometric, and algebraic properties of Riemann surfaces and the associated Abelian varities. Topics covered include existence of meromorphic functions, the Riemann-Roch theorem, Abel's theorem, the Jacobi inversion problem, Noether's theorem, and the Riemann vanishing theorem. A complete treatment of the uniformization of Riemann sufaces via Fuchsian groups, including branched coverings, is presented, as are alternate proofs for the most important results, showing the diversity of approaches to the subject. Of interest not only to pure mathematicians, but also to physicists interested in string theory and related topics.

好的，这是一份针对不包含《黎曼曲面》（Riemann Surfaces，Graduate Texts in Mathematics 系列）内容的，关于拓扑学和微分几何方向的详细图书简介，旨在介绍一个聚焦于更广泛几何和拓扑概念的替代性教材。 --- 书籍名称：几何拓扑基础：从流形到纤维丛简介本书旨在为高等数学和理论物理专业的学生提供一个全面且深入的几何拓扑学基础。它避免了专注于单一的、高度专业化的领域（如黎曼曲面的代数几何结构），而是致力于构建一个坚实的、适用于广义微分几何和拓扑学应用的基础框架。本书的重点在于理解空间结构、连续形变以及在这些空间上定义微分结构的能力。全书分为三个主要部分：拓扑基础，微分流形，以及纤维丛与联络。这种结构设计确保了读者能够平稳地从经典的欧几里得空间概念过渡到抽象的几何对象，并最终接触到现代微分几何的核心工具。第一部分：拓扑基础与连续性本部分是建立几何直觉的基石。我们首先回顾并深化度量空间和拓扑空间的概念。着重讨论了开集、闭集、紧致性、连通性以及分离公理（如Hausdorff性质）的重要性。核心内容包括： 1. 基本拓扑结构：详细阐述了拓扑空间的定义、子空间、商空间（Quotient Spaces）的构造及其性质。商拓扑的构建对于理解如圆周、环面等几何对象至关重要。 2. 连续映射与同胚：对连续性和同胚的严格定义，并展示了它们在判断空间结构等价性上的作用。 3. 同伦理论入门：引入基本群（Fundamental Group） $pi_1(X)$ 的概念，作为区分拓扑空间连通性的代数不变量。我们详细探讨了圆周群的计算，以及如何利用覆盖空间理论来简化基本群的计算过程。这一部分为后续理解更高阶同伦群奠定了基础，但不会深入到代数拓扑的复杂性。 4. 函数空间与紧致性：探讨Arzelà-Ascoli定理在函数空间上的应用，这对于分析无穷维空间中的极限和收敛性至关重要。第二部分：微分流形：光滑结构的构建在建立了坚实的拓扑基础后，第二部分的核心任务是将“光滑”的概念引入抽象空间。流形定义与构造：局部欧几里得性：严格定义$n$维微分流形，重点强调坐标图集（Atlas）和转换函数的光滑性要求。切空间：这是本书的重中之重。详细构建切空间 $T_pM$，将其解释为导数作用的向量空间。通过对向量场在不同坐标系下的变换规则的推导，确保读者对切向量的几何意义有清晰的认识。张量代数：在切空间上构造张量代数 $mathcal{T}^k_l(M)$，定义协变张量和反变张量，并讲解如何通过指标记法（Index Notation）进行计算，为后续的微分几何做准备。微分结构与函数：微分形式（Differential Forms）：定义微分 $k$-形式 $Omega^k(M)$，作为线性函数在切空间上的反协变张量。详细介绍外微分 $mathrm{d}$ 算子，并证明其满足 $mathrm{d}^2 = 0$ 的 Cartan公理。积分理论：引入de Rham上同调群 $H^k_{mathrm{dR}}(M)$ 的概念，将其定义为 $mathrm{ker}(mathrm{d})$ 对 $mathrm{Im}(mathrm{d})$ 的商。本书将侧重于其拓扑解释，而非复杂的谱序列。 Stokes 定理的推广：详细阐述并证明广义的Stokes 定理，展示其在低维流形（如Green、Gauss、Stokes定理）上的统一性。第三部分：纤维丛、联络与联通性本书的第三部分将视角从流形本身转移到流形上的几何结构，这是连接纯数学与理论物理（如广义相对论和规范场论）的关键桥梁。纤维丛理论：定义与例子：严格定义纤维丛（Fiber Bundle），特别是主丛和向量丛。经典例子如切丛（Tangent Bundle）、余切丛（Cotangent Bundle）和斯蒂芬森丛（Stiefel/Grassmannian Bundles）将被深入分析。截面（Sections）：定义截面的概念，并解释向量场和微分形式如何被视为向量丛的截面。联络（Connection）：引入联络 $ abla$ 的概念，其本质是定义了在邻近点间“平行移动”的规则。重点讨论水平提升（Horizontal Lifting）的构造。曲率（Curvature）：定义曲率张量 $R$ 作为联络的非完备性（Non-commutativity）的度量。曲率的几何意义，即平行移动一个向量环绕闭合曲线时产生的旋转，将被详尽讨论。拓扑与几何的交叉：黎奇张量（Ricci Tensor）：在（伪）黎曼流形上，介绍度量张量 $g$ 如何诱导出联络（Levi-Civita 联络），并基于此定义黎奇张量和斯卡拉曲率。陈类（Characteristic Classes）：简要介绍陈类作为描述向量丛拓扑性质的重要不变量，例如第一陈类 $c_1$ 和Pontryagin 类。这些概念将作为向更高级理论（如代数拓扑或广义相对论）的自然延伸。适用读者对象本书适合已经掌握了多变量微积分、线性代数和基础实分析的数学系、物理系高年级本科生和研究生。它为那些计划深入研究微分几何、广义相对论、规范场论或代数拓扑的读者提供了一个坚实且全面的预备知识库，不假定读者具备任何黎曼曲面理论的预备知识。内容侧重于流形的全局结构和微分运算的机械性，而非解析性质。