高职数学教程（上册），ISBN：9787040219890，作者：张国勇 著
《高等教育微积分与解析几何基础教程》 图书简介 第一部分：绪论与预备知识 第一章：数学的本质与高等数学的视野 本章旨在为读者构建一个清晰的认识框架，理解高等数学在整个科学知识体系中的核心地位，以及它如何作为连接基础算术代数与现代工程、科学研究的桥梁。我们将探讨数学的抽象性、严谨性与应用性之间的辩证统一关系。 1.1 数学的演进与学科分化： 简述代数、几何在古代文明中的萌芽，以及微积分诞生对经典物理学的推动作用。重点分析高等数学如何从实用计算工具升华为一门研究极限、变化率和累积量的纯粹科学。 1.2 逻辑基础与证明方法概述： 回顾集合论的基本概念，如定义、命题、量词（全称与存在）。介绍数学证明的几种基本方法，包括直接证明、反证法、数学归纳法。强调在高等数学学习中，理解“为什么”比记住“是什么”更为关键。 1.3 函数概念的深化与推广： 在高中函数的基础上，引入更广义的函数定义，讨论函数的运算、复合、反函数以及它们在建模中的重要性。分析函数的性质，如单调性、有界性、周期性，并用图示法辅助理解。 第二部分：微积分核心——极限与连续性 第二章：极限的严格定义与运算 极限是整个微积分体系的基石。本章将彻底解构极限的直观概念，引入其严谨的 $epsilon-delta$ 定义，并系统阐述极限的代数性质。 2.1 数列的极限： 引入数列收敛性的直观理解，然后严格定义数列的极限。通过实例（如几何级数）展示 $epsilon-N$ 语言的应用。 2.2 函数极限的 $epsilon-delta$ 定义： 深入剖析极限的精确数学表述，这是理解连续性的关键。通过大量几何解释和代数练习，帮助读者熟练运用定义进行证明。 2.3 极限的运算法则与重要极限： 讨论极限的四则运算法则，重点分析不定式（如 $frac{0}{0}, frac{infty}{infty}$）的处理。详细推导并应用 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$ 和 $lim_{x o 0} (1+x)^{1/x} = e$ 等基本极限公式。 第三章：连续性与不连续点 本章探讨函数在某一点或某区间上“平滑”地变化的特性，即连续性。 3.1 函数连续性的定义： 基于极限，定义函数在一点的左、右连续及左右极限。讨论函数在闭区间上连续的性质。 3.2 连续函数的性质： 深入阐述介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem）的理论意义及其在求解实际问题中的价值。 3.3 不连续点的分类： 对第一类（可去、跳跃）和第二类（振荡、无穷）不连续点进行分类讨论，并辅以图形示例说明。 第三部分：微分学——瞬时变化率的描述 第四章：导数的概念与几何意义 导数是刻画函数瞬时变化率的核心工具。本章从切线斜率的实际问题出发，构建导数的理论框架。 4.1 平均变化率到瞬时变化率： 阐述割线斜率极限的物理意义，引入导数的定义式。 4.2 导数的几何意义与物理意义： 导数是切线的斜率，是瞬时速度的量度。 4.3 基本求导法则： 系统推导幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数的求导公式。重点讲解乘法定律、除法定律和链式法则（复合函数求导）。 4.4 隐函数求导与参数方程求导： 介绍在非显式函数形式下如何应用链式法则求导。 第五章：高阶导数与微分中值定理 5.1 高阶导数： 定义二阶导数及 $n$ 阶导数，并介绍莱布尼茨公式（乘积的 $n$ 阶导数）。 5.2 微分的概念与线性近似： 引入微分 $dy$ 与 $Delta y$ 的关系，展示微分在数值近似中的应用。 5.3 罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理： 严格证明并详细分析三大基本中值定理，它们是后续应用性结论的理论基石。 5.4 洛必达法则： 针对 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 型不定式，系统介绍和应用洛必达法则，并讨论其他不定式（如 $0 cdot infty, 1^infty$）如何转化为基本形式。 第六章：导数的应用 本章聚焦于如何利用导数工具解决实际问题，涵盖函数的图像分析和优化问题。 6.1 函数的单调性与凹凸性： 利用一阶导数判断函数的增减区间，利用二阶导数判断函数的凹凸性，并确定拐点。 6.2 函数的极值与最值问题： 运用费马定理和一、二阶导数判别法求函数的局部极值点。结合闭区间，解决实际中的最大值和最小值问题（优化问题）。 6.3 函数的图形描绘： 综合利用极限（渐近线）、导数信息，系统绘制复杂函数图像的步骤与技巧。 6.4 相关的变化率问题（Related Rates）： 针对涉及时间变化的物理或工程场景，建立变量间的关系式并应用隐函数求导解决问题。 第四部分：积分学基础——累积效应的量化 第七章：不定积分与积分技巧 本章将研究导数的逆运算——不定积分，并系统介绍求解不定积分的各种方法。 7.1 原函数与不定积分的定义： 阐明原函数存在的充要条件，定义不定积分的符号和基本性质。 7.2 基本积分公式与积分法则： 归纳基本函数的原函数，讨论积分的线性性质。 7.3 积分方法 I：换元积分法（Substitution Rule）： 详细分析第一类和第二类换元法，强调变量替换后的积分区间或微分形式的对应处理。 7.4 积分方法 II：分部积分法（Integration by Parts）： 给出其公式推导，并提供选择“u”和“dv”的经验法则（LIATE原则）。 7.5 常见函数的积分技巧： 介绍有理函数、三角函数（三角代换）以及简单无理函数积分的常用策略。 第八章：定积分及其应用 定积分是求解曲边图形面积、体积等累积量的数学工具。 8.1 定积分的定义： 从“黎曼和”的概念出发，严格定义定积分，理解其作为极限的本质。 8.2 牛顿-莱布尼茨公式： 阐述微积分学的基本定理（Fundamental Theorem of Calculus），这是连接微分与积分的关键桥梁。展示如何利用原函数计算定积分。 8.3 定积分的几何应用： 应用定积分计算平面图形的面积（包括两曲线围成的面积）、旋转体的体积（圆盘法与薄壳法）。 8.4 定积分的物理应用： 探讨定积分在计算功、质心、引力等物理量中的应用。 第九章：反常积分 本章扩展定积分的范围，处理积分区间无限延伸或被积函数存在无穷间断点的情况。 9.1 第一类反常积分（积分区间为无穷）： 定义和判别 $int_a^infty f(x) dx$ 的收敛性。 9.2 第二类反常积分（被积函数有无穷间断点）： 定义和判别 $int_a^b f(x) dx$（其中 $f(x)$ 在 $b$ 处不连续）的收敛性。 9.3 反常积分的比较判别法： 介绍比较判别法和极限比较判别法，用于判断反常积分的敛散性，而无需精确计算其值。 第五部分：解析几何基础 第十章：空间直角坐标系与向量代数 虽然本书是微积分教程，但需要为后续可能涉及的多变量微积分或更深入的几何分析奠定向量基础。 10.1 空间直角坐标系： 建立三维坐标系，确定点的坐标，并引入距离公式。 10.2 向量的概念与运算： 定义空间向量，讨论向量的加减法、数乘。重点掌握向量的模、单位向量、坐标表示。 10.3 点积（数量积）： 定义点积及其几何意义（投影），用于计算夹角和判断垂直性。 10.4 叉积（向量积）： 定义叉积及其性质，理解其结果向量的几何意义（平行四边形面积与方向），为平面法向量的确定做准备。 第十一章：直线与平面 本章利用向量工具来简洁地描述和分析空间中的直线和平面。 11.1 空间直线方程： 掌握直线的点向式、参数方程和对称式，分析直线的方向向量。 11.2 空间平面方程： 理解平面的法向量概念，掌握平面的点法式、一般式，并推导其截距式。 11.3 直线与平面的关系： 计算直线与平面平行、相交或垂直的条件，以及它们之间的夹角。 附录：常用数学常数表与常用函数积分速查表 本书旨在提供一个扎实、严谨且注重应用的微积分和基础解析几何的入门教材，确保读者在掌握理论的同时，能够有效应对工程技术领域中的常见数学建模挑战。
