线性代数专题分析与解题指导 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京大学

作者:刘书田

出品人:

页数:209

译者:

出版时间:2007-8

价格:20.00元

装帧:

isbn号码:9787301121139

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《数学的基石：代数方程组的探索与应用》 本书旨在为读者提供一个深入理解和掌握线性代数核心概念的平台，尤其侧重于其在解决各类数学问题中的实用性。我们将从最基本的概念入手，循序渐进地构建起整个理论框架。 第一部分：向量空间与线性变换的初步认识 向量及其基本运算： 我们将从向量的几何直观意义出发，深入探讨向量的加法、数乘等基本运算，并介绍向量的线性组合、线性无关与线性相关的概念。理解这些基础对于后续的学习至关重要，它们是构建更复杂代数结构的基石。 线性方程组的本质： 线性方程组是线性代数中最核心的研究对象之一。我们将详细阐述线性方程组的结构，包括系数矩阵、增广矩阵以及解的性质。通过高斯消元法等基本方法，读者将学会如何系统地求解线性方程组，并理解其解空间的几何意义。 向量空间的定义与性质： 向量空间是线性代数中的一个抽象但极其重要的概念。我们将给出向量空间的严格定义，并探讨其子空间、基、维度等关键属性。通过大量实例，读者将体会到向量空间的普适性和强大之处。 线性变换的映射规律： 线性变换是向量空间之间的“桥梁”。我们将定义线性变换，并深入分析其性质，如核空间、像空间等。通过矩阵表示，读者将能更直观地理解和操作线性变换。 第二部分：矩阵的丰富世界与运算技巧 矩阵的种类与构造： 除了基本的矩阵概念，本书还将介绍各种特殊的矩阵，如对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、单位矩阵、零矩阵等，并探讨它们的构造方法与应用场景。 矩阵的运算法则： 矩阵的加法、数乘、乘法是本书的核心内容。我们将详细讲解这些运算的性质，并重点突出矩阵乘法不满足交换律的特性。此外，逆矩阵的概念及其计算方法也将被深入剖析。 行列式的计算与几何意义： 行列式是与方阵紧密相关的一个重要数值。我们将介绍计算行列式的各种方法，包括代数余子式展开法、行变换法等，并阐释行列式在几何上表示的面积、体积等概念。 矩阵的秩与方程组解的联系： 矩阵的秩是衡量矩阵“线性独立性”的重要指标。我们将深入研究矩阵的秩，并揭示其与线性方程组解的存在性、唯一性之间的深刻联系，为理解解空间提供更有效的工具。 第三部分：特征值与特征向量的深度挖掘 特征值与特征向量的定义： 特征值和特征向量是描述线性变换作用方式的关键信息。我们将给出其精确定义，并介绍如何通过求解特征方程来获得它们。 特征值与特征向量的应用： 特征值和特征向量在数学、物理、工程等众多领域有着广泛的应用。我们将重点介绍它们在对角化、稳定性分析、主成分分析等方面的应用，帮助读者理解这些抽象概念的实际价值。 对角化：简化矩阵运算的利器： 对角化是利用特征值和特征向量将矩阵转化为对角矩阵的过程。我们将详细阐述对角化的条件，并演示如何通过对角化来简化矩阵的幂运算，从而高效解决一系列复杂问题。 第四部分：内积空间与正交性 内积与距离、角度的度量： 内积是向量空间中一个更高级的运算，它允许我们定义向量之间的“相似度”。我们将介绍欧几里得空间中的标准内积，并讨论如何利用内积计算向量的模（长度）、夹角以及两向量的垂直关系。 正交基与施密特正交化： 正交基是向量空间中最“整洁”的基。我们将引入正交向量组和正交基的概念，并重点讲解施密特正交化方法，它能将任意一组线性无关向量转化为一组正交向量组，为后续的投影、近似等操作奠定基础。 最小二乘法与近似求解： 在实际应用中，我们常常需要找到最接近某个目标的近似解，这时最小二乘法就显得尤为重要。我们将利用内积空间和正交投影的理论，详细推导和讲解最小二乘法的原理及其在数据拟合、曲线逼近等问题中的应用。 第五部分：线性代数在多学科中的实践 图论中的应用： 邻接矩阵和关联矩阵是描述图结构的重要工具。我们将展示如何利用线性代数的语言来分析图的连通性、路径等问题。 计算机图形学中的变换： 向量和矩阵在计算机图形学中扮演着核心角色，用于实现平移、旋转、缩放等各种几何变换。 数值分析中的算法： 许多数值计算方法，如迭代法求解方程组，都离不开线性代数的理论支持。 本书在讲解过程中，力求概念清晰，逻辑严谨，并通过大量的例题和练习题来巩固和加深读者的理解。我们相信，通过对本书内容的系统学习，读者不仅能够掌握线性代数的核心知识，更能培养出强大的数学思维能力，将其灵活应用于各种学术和实践领域。

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**评价五：** 从一个侧重应用数学的视角来看，这本书在拓扑结构和代数运算的交汇点上展现出了惊人的洞察力。它不仅仅停留在讲解R^n上的线性代数，而是迅速过渡到了泛函分析的基础概念的引入，这种前瞻性的视野非常难得。我尤其关注了书中关于“正交性”在无穷维空间中如何推广的讨论，作者不仅严谨地证明了希尔伯特空间的一些基本性质，还巧妙地联系了傅里叶级数的收敛性，使得抽象的理论推导具备了坚实的分析基础。这种跨学科的整合能力，体现了作者深厚的学术功底。对于希望将线性代数作为工具，应用于信号处理、量子计算或机器学习等前沿领域的读者，这本书提供了远超普通教材的理论深度和广度。它不是一本速成手册，而是一部可以反复研读、每次都能带来新感悟的经典参考书。我强烈推荐给所有对数学工具的底层逻辑有强烈探究欲望的读者。

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**评价四：** 我是一个习惯于通过“做题”来巩固学习的读者，因此我对任何一本解题指导类的书籍都有着极高的要求——它必须提供超越标准答案的思路。这本书在这方面完全超出了我的预期。它没有简单地罗列大量的习题及其标准解答，而是将每一道有代表性的难题拆解成了几个关键的思考步骤。作者的批注仿佛是一位高水平的“数学侦探”，引导你从问题的表象中抽丝剥茧，找到最本质的数学结构。最让我受益匪浅的是它对“反例”的讨论。很多时候，证明一个命题“不成立”比证明它成立更考验功力，而这本书专门辟出章节探讨了常见的思维误区和反例构造，这极大地拓宽了我的解题视野。我发现，通过学习作者如何“思考”一个问题，而不是仅仅学习“如何解”这个问题，我的解题速度和准确率都有了质的飞跃。对于准备高难度数学竞赛或研究生入学考试的同学来说，这本书提供的思维训练价值，远超其本身的篇幅。

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**评价二：** 说实话，我以前对线性代数一直抱有恐惧心理，总觉得那些高维空间的想象太折磨人了。这本书的出现彻底改变了我的看法。它的叙述语言非常流畅自然，读起来几乎没有那种传统数学著作的晦涩感。作者似乎深谙读者的“痛点”，总能在关键时刻给出最恰当的比喻和类比。我特别欣赏它在处理矩阵运算的计算效率和数值稳定性方面所花费的心思。很多教材会忽略这些工程实践上的细节，但这本书却详尽地分析了不同算法在实际应用中可能遇到的问题，比如病态矩阵的处理，以及如何选择最优的求解策略。对于一个正在准备工程专业期末考试的我来说，这些实战经验的分享简直是雪中送炭。书中的例题设计也非常巧妙，它们不是简单的代数计算题，而是巧妙地融合了不同知识点，迫使读者必须将所学知识融会贯通才能解开。我感觉自己不是在“刷题”，而是在进行一场逻辑和思维的深度马拉松。这本书真正做到了将理论与应用完美结合，让抽象的理论找到了落地的出口。

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**评价一：** 这本书拿到手，立刻感受到了它扑面而来的严谨与深度。我一直觉得线代这门课，尤其是涉及到抽象向量空间和线性变换时，总是让人感觉隔了一层纱。这本书的叙述方式非常独特，它没有急于堆砌公式，而是花了很多篇幅去解释概念背后的几何直觉和代数结构。举个例子，关于特征值和特征向量的讨论，它不是简单地给出定义和计算步骤，而是深入剖析了它们在不同变换下的物理意义，甚至还引入了一些与图论和微分方程的交叉联系，这一点非常出乎我的意料，也大大加深了我对这些核心概念的理解。阅读过程中，我常常会停下来思考作者的论证逻辑，那种层层递进、步步为营的结构，让人感觉每一步都是不可或缺的。它更像是一位经验丰富的老教授在手把手地引导你探索这个领域的奥秘，而不是一本冷冰冰的教科书。尤其值得称赞的是，书中对矩阵分解（如SVD）的讲解，不仅清晰地展示了其计算过程，更深入探讨了其在数据降维和图像处理中的应用基础，让枯燥的数学工具突然变得鲜活起来。这本书的深度绝对不是泛泛而谈，而是直击要害，对于想真正吃透线性代数精髓的人来说，绝对是不可多得的宝藏。

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**评价三：** 这本书的排版和设计细节简直可以用“匠心独运”来形容。在当前这个信息爆炸的时代，一本能让人静下心来细读的数学书已经很稀有了，而这本书做到了。纸张的质感非常舒服，印刷的墨色浓淡适中，长时间阅读眼睛也不会感到疲劳。更重要的是，书中的图示和示意图达到了教科书级别的清晰度。比如，在解释向量空间基变换时，作者绘制的那些多视角投影图，一下子就将原本只能在脑海中艰难构建的图像具象化了。我过去一直困惑于如何形象地理解“坐标系旋转”对向量表示的影响，这本书通过直观的图形解释，让我茅塞顿开。此外，书后附带的“历史背景与前沿探索”小节也极具启发性，它简要介绍了诸如张量分析等更深层次的内容，为有志于继续深造的读者指明了方向。这本书不仅是知识的载体，更是一件精美的阅读艺术品，体现了出版方对读者体验的极致追求。

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