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出版者:南京大学出版社

作者:于延栋

出品人:

页数:243

译者:

出版时间:2007-7

价格:23.80元

装帧:

isbn号码:9787305051036

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实分析引论：一场严谨的数学探索之旅 这是一本献给所有对数学严谨性怀有浓厚兴趣的读者的入门读物。它旨在引导读者深入理解实数系统及其上定义的各种函数的性质，为进一步学习更高级的数学分支奠定坚实的基础。本书并非简单罗列概念和定理，而是着重于培养读者严谨的数学思维方式，教会他们如何构建清晰的逻辑链条，如何准确地运用定义和公理来证明数学命题。 我们从实数系的构造开始，深入探讨其完备性这一核心性质。理解了实数系的完备性，才能真正把握诸如收敛、极限等基本概念的精髓。本书将通过一系列精心设计的例子和习题，帮助读者透彻理解为什么实数集具有这样的独特性质，以及这些性质如何支撑起整个实分析的大厦。 紧接着，我们将聚焦于函数，特别是连续函数。本书将细致地阐述连续性的多种等价定义，并深入分析连续函数在紧集上的性质，如一致收敛性与极限函数的连续性等。通过对这些性质的深入剖析，读者将能更深刻地理解函数的行为规律，并学会如何运用这些性质来解决实际问题。 序列和级数是实分析中的另一重要组成部分。本书将系统地介绍收敛序列的判别方法，以及各种类型的级数，包括交错级数、幂级数等。我们将着重讲解收敛判别法的原理和适用范围，以及如何通过级数来表示函数，这为后来的函数展开和逼近理论提供了重要的基础。 微分和积分是实分析的灵魂。本书将从极限的视角出发，严谨地定义导数，并深入探讨微分中值定理及其推论，如洛必达法则。这将帮助读者理解导数在描述函数变化率和分析函数单调性、凹凸性等方面的关键作用。随后，我们将引入黎曼积分的概念，并对其性质进行详细的阐述。我们还将探讨积分的几何意义，并介绍微积分基本定理，这是连接微分和积分的核心桥梁。 此外，本书还将涉及一些进阶话题，例如函数列与级数的积分和微分，以及一致收敛的重要性。这些内容将展示如何在更复杂的函数结构上进行分析，并为理解傅里叶级数等高级主题打下基础。 本书的编写风格力求清晰、流畅，同时又不失严谨。每一定理的陈述都经过仔细斟酌，每一步证明都力求逻辑缜密。我们鼓励读者积极思考，独立完成习题，通过实践来巩固所学知识。我们相信，通过本书的学习，读者不仅能够掌握实分析的基本理论，更能培养出独立解决数学问题的能力，为未来的学术探索打下坚实的基础。 本书适合数学专业本科生，以及对数学有浓厚兴趣的非数学专业人士。无论您是初学者还是希望系统梳理知识的进阶者，本书都将是您探索实分析奥秘的理想伴侣。

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我发现，与其他主流教材相比，这本书在处理广义函数的引入上显得尤为谨慎和深入。很多教材可能只是将其作为一个需要掌握的工具简单介绍，但这本书花了相当大的篇幅来论证为什么传统函数空间（比如连续函数空间）在某些分析任务中是不足够的，以及如何通过一种更“弱”的收敛方式（比如分布意义下的导数）来挽救那些在经典意义下已经“不存在”的函数。我对它在拓扑空间上的测度推广部分印象深刻，作者并没有急于跳到更复杂的Borel $sigma$-代数，而是先花时间解释了为什么需要“开集”和“闭集”的结构来构造可测集族。这种由浅入深、层层递进的构造性证明，极大地帮助我理解了拓扑与测度之间那种微妙的、相互依存的关系。对于那些对泛函分析有兴趣，但又苦于找不到扎实基础的人来说，这本书的这部分内容简直是如饥似渴的甘泉。它教给你的不是如何套用公式，而是如何从最基本的集合论公理出发，一步步构建出整个分析大厦的理论基石。

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这本书的“例与非例”部分，说实话，是整本书中最让我感到“头皮发麻”也最能体现作者功力的地方。它不仅仅是罗列了一些反直觉的例子来挑战读者的直觉，而是巧妙地利用这些反例来巩固和深化那些核心定理的适用边界。比如，在讨论测度函数的性质时，作者提供的那个关于不可测集的讨论，虽然没有直接给出构造，但却通过一系列的逻辑推导，让你清晰地认识到为什么依赖于选择公理的构造在测度论中是如此的“危险”又如此的“必要”。我感觉作者的态度非常诚恳，他没有试图把分析学塑造成一个完全“自然”的领域，而是坦诚地揭示了其内部存在的一些深刻的哲学难题和逻辑困境。这种对数学局限性的坦率展示，反而增强了我对这门学科的敬畏感。读到后面，你会发现，你不再是单纯地在解题，而是在思考：在什么样的条件下，我们才能真正地谈论“面积”或“体积”？这种反思性的学习过程，是这本书带给我最大的收获之一。

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这本书的排版和装帧，恕我直言，简直是一场视觉上的折磨，但内容的力量足以盖过所有形式上的瑕疵。它的纸张略显粗糙，印刷的字体在某些公式密集的地方显得拥挤不堪，尤其是在处理那些嵌套很深的上下标时，眼睛真的需要时不时地停下来休息一下。我记得有一次，我在尝试推导法图定理（Fatou’s Lemma）的逆向不等式时，因为一个被印得过于紧凑的积分符号，我差点把“$liminf$”看成了“$limsup$”，那一瞬间的沮丧感简直无法用语言形容。不过，一旦你克服了这种阅读上的不适感，你会发现作者对定理证明的组织方式极其精妙。他很少使用花哨的技巧，更多的是依靠扎实的基本定义和一步步的逻辑推理。这种朴素的、近乎古典的证明风格，反而提供了一种极高的可读性——不是说它简单，而是说它的逻辑路径非常清晰，没有太多拐弯抹角。它要求你手里必须常备一张草稿纸，因为很多关键的中间步骤需要你自己去默默补全，这与其说是阅读，不如说更像是一场与作者共同完成的智力探险。

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这本书绝对是初学者的一剂猛药，但那种苦口良药带来的甜头是实实在在的。我刚开始翻开它的时候，那种面对陌生符号和抽象概念的无力感几乎让我想要合上书本，转头去翻那些更“友好”的微积分教材。它不像其他入门读物那样，会小心翼翼地用大量直观的例子来铺垫，而是直截了当地把测度论的核心概念——$sigma$-代数、可测函数——像一块块坚硬的基石一样摆在了你面前。我花了整整一周的时间才勉强理解“收敛几乎处处”和“收敛在测度意义下”的区别，那种感觉就像是第一次尝试用工具来丈量一个你用眼睛无法完全把握的无限集合。然而，正是这种毫不妥协的严谨性，迫使我必须真正地去思考“极限”的本质。我特别欣赏作者在定义勒贝格积分时所展现出的那种清晰的逻辑链条，从有限可加到可测函数，再到可积函数，每一步的推进都让你感到这是唯一的、必然的结论。读完前几章，你会发现，你对“积分”的理解已经不再停留在高中时代求面积的几何直觉上了，而是上升到了一个可以进行严格分析操作的代数框架。对于真正想深入数学分析腹地的同仁来说，这本书提供了一个坚实到令人安心的起点。

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关于教材的适用人群定位，这本书的风格无疑是偏向于“理论构建者”而非“问题解决者”。如果你是希望快速掌握傅里叶变换的实用技巧或者希望在最短时间内学会如何解微分方程的工程师，这本书可能只会让你感到挫败。它几乎不包含任何即用的应用技巧或计算范例，所有的篇幅都倾注在了定义、公理、定理的证明以及对概念的深挖之上。例如，作者对Lp空间完备性的证明，那种对等距嵌入和柯西序列的精细处理，耗费了我大量的时间去反复咀嚼。这不像某些教材那样，会附带一个“应用选讲”的章节来安抚读者，这本书就是纯粹的、不打折扣的分析学内功心法。它在某种程度上是“自私”的，只对那些愿意沉浸在抽象世界中，享受逻辑推演带来的纯粹智力愉悦的人敞开大门。对于研究生或者有志于从事纯数学研究的本科生来说，这本书更像是一份必要的“入场券”，它为你提供的是一套放之四海而皆准的数学语言和思维框架。

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