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价格:35.00元

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isbn号码:9787562302063

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• 数学物理
• 物理数学
• 数学方法
• 偏微分方程
• 泛函分析
• 积分变换
• 特殊函数
• 复变函数
• 数值分析
• 高等数学

好的，以下是针对一本名为《数理逻辑基础》的图书所撰写的详细简介： --- 数理逻辑基础 导论：思维的基石与计算的源泉 在人类认知与信息技术的宏伟殿堂中，逻辑推理构筑了坚实的地基。本书《数理逻辑基础》旨在为读者提供一套严谨、系统且富有洞察力的数理逻辑理论框架。我们不再将逻辑视为纯粹的哲学思辨，而是将其视为一门精确的数学科学，是理解证明的本质、构建可靠系统的核心工具。本书的编写立足于清晰的数学化表达，力求使初学者能够稳步跨入这一迷人领域，同时也为专业研究人员提供坚实的参考资源。 本书内容涵盖了从古典逻辑的直觉基础到现代模型论与递归论的广阔疆域，重点聚焦于形式化系统、可判定性问题以及公理化方法的内在限制。我们相信，只有通过严密的数学结构去审视推理规则，才能真正把握其力量与边界。 第一部分：命题逻辑——形式化的第一步 本书的起点是命题逻辑（Propositional Logic）。我们将精确定义什么是命题、逻辑联结词（如“与”、“或”、“非”、“蕴含”、“当且仅当”）的含义，以及如何利用真值表来判定简单复合命题的真值。 1.1 形式语言的构建 我们将详细阐述命题逻辑的形式语言 ($mathcal{L}_0$)，包括其字母表、构成规则（Formation Rules）。这不仅仅是语法的练习，更是理解“什么是良构公式（Well-Formed Formula, WFF）”的关键。随后，我们将引入语义学（Semantics），即如何将一个逻辑句子与其在特定世界中的真实状态关联起来。 1.2 证明论的引入：自然演绎法 纯粹依赖真值表（特别是对于包含大量变量的公式）效率低下且容易出错。因此，本书引入了证明论（Proof Theory），特别是自然演绎系统（Natural Deduction System）。我们将详述引入规则、消除规则，如合取引入、析取消除等，并演示如何使用这些规则构建有效的数学证明。读者将学会如何从一组公理或前提推导出结论，而无需诉诸直觉判断。 1.3 等价性与范式 为了简化复杂的逻辑表达式，我们将深入探讨逻辑等价关系。重点内容包括将任意WFF转化为合取范式（Conjunctive Normal Form, CNF）和析取范式（Disjunctive Normal Form, DNF）的方法。这对于后续的计算复杂性理论和电路设计至关重要。我们还将讨论重言式（Tautologies）、矛盾式（Contradictions）以及可满足性（Satisfiability）的概念，并简要介绍求解可满足性问题的早期算法思路。 第二部分：一阶逻辑——量词与结构的威力 命题逻辑的局限在于无法表达关于个体、性质和关系的论断。一阶逻辑（First-Order Logic, FOL），也称谓词逻辑，是现代数学的通用语言，本书用大量篇幅来阐述其精确结构。 2.1 形式语言的扩展 我们将扩展语言，引入个体常量、函数符号、谓词符号以及至关重要的量词（Quantifiers）——全称量词 ($forall$) 和存在量词 ($exists$)。如何正确地界定这些符号的范围，如何处理变量的代入和自由/约束变量的概念，是本章的核心难点，我们将通过大量的例子加以澄清。 2.2 语义学：结构与解释 一阶逻辑的语义远比命题逻辑复杂。我们引入结构（Structure）或模型（Model）的概念——一个非空域（Domain）以及该域上符号的解释。我们将定义满足关系（Satisfaction Relation）：何时一个结构M满足一个带参数的公式 $phi(x_1, dots, x_n)$。这为后续的完备性证明奠定了基础。 2.3 证明论与完备性 在一阶逻辑中，我们将自然演绎系统扩展以容纳量词的引入和消除规则。读者将看到如何证明“芝诺悖论”或“所有偶数都是可数的”这类陈述。 本章的最高潮是哥德尔完备性定理（Gödel's Completeness Theorem）。我们将详细阐述其内容：一个公式在一阶逻辑中是可证得的（Provable），当且仅当它在所有模型中都成立（即它是有效的）。虽然本书不深入复杂的模型论证明，但会清晰梳理其思想脉络，强调其在数学哲学中的深远影响。 第三部分：元逻辑——逻辑系统的内在性质 “元逻辑（Meta-logic）”研究逻辑系统本身的行为和局限性。这是本书从“使用逻辑”转向“分析逻辑”的关键转折点。 3.1 证明论与可枚举性 我们将系统地考察可证性（Provability）的概念。对于一个给定的公理系统 $Gamma$，我们关注$Gamma vdash phi$（$Gamma$ 可以推导出 $phi$）。我们将引入Craig’s Trick，证明如果一个语言是可定义（Recursively Enumerable, RE）的，那么它的逻辑系统也是RE的。 3.2 哥德尔不完备性定理的深度剖析 这是本书最重要、也最具挑战性的部分。我们将跟随图灵和哥德尔的思路，引入算术化（Arithmetization）的技术——用自然数编码公式和证明序列。 1. 第一个不完备性定理： 对于任何足够强大（能表达基本算术）且可靠的（无矛盾）形式系统 $T$，必然存在一个可以在 $T$ 中被形式化表达的陈述 $G$（哥德尔语句），使得 $T$ 既不能证明 $G$ 也不能证明 $ eg G$。 2. 第二个不完备性定理： 任何此类系统 $T$ 都无法证明自身的无矛盾性（即 $ ext{Con}(T)$）。 我们将详尽解释这些定理背后的哲学意义：任何公理系统的局限性，以及数学真理超出任何固定形式系统的范畴。 3.3 可判定性与停机问题 我们将过渡到可计算性理论（Computability Theory）的边缘。我们研究判定性问题（Decision Problem, Entschiedungsproblem）——是否存在一个算法可以判定任意给定的FOL公式是否为重言式？我们将基于图灵机的概念（作为计算能力的标准模型），引入图灵不可判定性（Turing Undecidability）。特别地，我们将论证一阶逻辑的有效性问题是不可判定的，这标志着数学和计算理论的深刻交汇点。 结语：逻辑的未来图景 《数理逻辑基础》不仅是一本技术手册，更是一次对思维边界的探索。通过对形式系统的严格考察，读者将对数学证明的可靠性、知识的结构化表达，以及计算工具的内在限制获得深刻的理解。本书为进阶学习模型论、递归论或逻辑编程打下了坚实的基础。 --- 目标读者: 数学、计算机科学、哲学（分析方向）及人工智能专业的高年级本科生和研究生。 建议先修课程: 基础离散数学或初等集合论。

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