Part I Ordinary Differential Equations
1 First-Order Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Special Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Higher Order Ordinary Differential Equations . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Method of Undetermined Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 MethodofVariationofParameters . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Series Method and Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Special Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Gamma and Beta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Gauss Hypergeometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Weierstrass’s Elliptic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Jacobian Elliptic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Part II Partial Differential Equations
4 First-Order or Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 MethodofCharacteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Characteristic Strip and Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3 Polynomial Solutions of Flag Equations . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Use of Fourier Expansion I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5 Use of Fourier Expansion II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6 Calogero–Sutherland Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7 MaxwellEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.8 Dirac Equation and Acoustic System . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5 Nonlinear Scalar Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.1 KorteweganddeVriesEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
xxiii
xxiv Contents
5.2 Kadomtsev and Petviashvili Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.3 EquationofTransonicGasFlows . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.4 Short-Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.5 Khokhlov and Zabolotskaya Equation . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.6 Equation of Geopotential Forecast . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6 Nonlinear Schrödinger and Davey–Stewartson Equations . . . . . . 179
6.1 Nonlinear Schrödinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.2 Coupled Schrödinger Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.3 DaveyandStewartsonEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7 Dynamic Convection in a Sea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.1 Equations andSymmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.2 Moving-Line Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.3 Cylindrical Product Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.4 Dimensional Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8 Boussinesq Equations in Geophysics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.1 Two-Dimensional Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.2 Three-Dimensional Equations and Symmetry . . . . . . . . . . . . 247
8.3 Asymmetric Approach I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
8.4 Asymmetric Approach II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
8.5 Asymmetric Approach III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9 Navier–Stokes Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.1 Background and Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.2 Asymmetric Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.3 Moving-Frame Approach I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
9.4 Moving-Frame Approach II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
10 Classical Boundary Layer Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.1 Two-Dimensional Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.2 Three-Dimensional Problem: General . . . . . . . . . . . . . . . . 326
10.3 Uniform Exponential Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
10.4 Distinct Exponential Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
10.5 Trigonometric and Hyperbolic Approaches . . . . . . . . . . . . . 350
10.6 Rational Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
· · · · · · (收起)