Student Solutions Manual to Boundary Value Problems, Fifth Edition pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:David L. Powers

出品人:

页数:164

译者:

出版时间:2005-11-16

价格:USD 12.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780120885862

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 常微分方程
• 边界值问题
• 解题指南
• 学生手册
• 高等教育
• 工程数学
• 第五版
• 解题技巧
• 学习辅助

深入解析经典：边界值问题求解的理论与实践 （本书旨在为读者提供一个全面、深入且实用的边界值问题（Boundary Value Problems, BVP）的数学理论基础和实际解题技能，不涉及特定教材《Student Solutions Manual to Boundary Value Problems, Fifth Edition》中的具体习题解答内容。） --- 第一部分：理论基石与核心概念的构建 本书致力于为学习常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的学生及工程师，系统地梳理和阐述边界值问题的理论框架。我们深知，有效的求解依赖于对问题的精确理解和对相关数学工具的熟练掌握。 第一章：常微分方程中的边界值问题 本章首先区分了初值问题（IVP）和边界值问题（BVP）的本质差异，特别强调了BVP在物理和工程中（如结构力学中的挠度、电路中的稳态分布）的不可替代性。我们将详细探讨二阶线性齐次BVP的一般形式： $$ L[y] = y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, quad a le x le b $$ 以及相应的齐次和非齐次边界条件： $$ alpha_1 y(a) + alpha_2 y'(a) = 0 quad ext{和} quad eta_1 y(b) + eta_2 y'(b) = 0 $$ 我们深入分析了Sturm-Liouville理论的基石。这不仅是理解特征值问题的核心，也是傅立叶级数、傅立叶变换等泛函分析工具的物理起源。详细推导了伴随算子（Adjoint Operator）的概念，并阐明了自伴随算子（Self-Adjoint Operator）在保证特征值实数性和特征函数正交性方面的重要性。 第二章：解的存在性、唯一性与结构 对于给定的BVP，读者必须清楚何时存在解，解是否唯一。本章聚焦于Fredholm替代定理的原理。我们通过分析算子 $L$ 的零空间（Null Space）的维度来判定解的存在性和唯一性： 1. 当特征值 $lambda$ 不等于任何特征值时，解是唯一的。 2. 当 $lambda$ 等于某个特征值时，若非齐次项满足特定正交性条件，则存在无穷多解；否则无解。 我们将引入格林函数（Green's Function）作为求解非齐次BVP的关键工具。格林函数 $Gamma(x, xi)$ 被定义为对应齐次问题的脉冲响应函数，其构建过程需要利用齐次解和朗斯基行列式（Wronskian）。本章将详尽演示如何利用格林函数将BVP转化为积分方程形式，从而绕过复杂的微分方程求解步骤，直接得到积分形式的解。 第二部分：偏微分方程中的经典问题 边界值问题在偏微分方程（PDE）领域占据核心地位，通常与稳态、平衡或特定区域的长期行为相关联。 第三章：拉普拉斯方程与泊松方程 拉普拉斯方程 $ abla^2 u = 0$ 和泊松方程 $ abla^2 u = f(x, y, z)$ 是描述势场、热传导稳态分布、静电势等现象的基础模型。本章着重探讨在不同几何区域（如矩形、圆形、球形）上的BVP。 分离变量法（Separation of Variables）： 这是求解PDE BVP最经典的方法。我们详细演示了如何将PDE分解为一组ODE，并利用边界条件确定分离常数（即特征值）。针对矩形区域，将阐述傅立叶级数在狄利克雷（Dirichlet）和诺伊曼（Neumann）边界条件下的应用。 极坐标与球坐标系下的求解： 针对圆形和球形区域，我们将推导相应的拉普拉斯算子形式，并求解贝塞尔方程（Bessel Equation）和勒让德方程（Legendre Equation），这直接关系到圆柱对称和球对称问题的解。 第四章：热传导方程与波动方程的稳态解 虽然热传导方程（抛物型PDE）和波动方程（双曲型PDE）本质上涉及时间演化，但它们的稳态解（即 $t o infty$ 时的极限解，或时间导数为零的特解）严格上就是拉普拉斯方程的BVP。本章将明确区分瞬态解和稳态解的数学处理方式，并强调稳态解在系统达到平衡状态时的物理意义。 第三部分：高级求解技术与泛函分析视角 为了应对复杂边界条件和非标准几何形状，本书引入了更强大的数学工具。 第五章：傅立叶变换与格林函数在PDE中的推广 对于无限或半无限区域上的BVP，傅立叶级数不再适用。本章介绍傅立叶积分变换在求解无限域拉普拉斯/泊松问题中的威力。 格林函数的系统化构建： 在更高维度空间中，格林函数的构造依赖于基本解（Fundamental Solution）。我们将推导出二维（Logarithmic Kernel）和三维（Inverse Distance Kernel）拉普拉斯方程的基本解，并展示如何通过这些基本解与非齐次项的卷积（或积分）来构造特定边界条件下的格林函数，从而一步到位地求解PDE BVP。 第六章：变分法与能量最小化原理 许多物理问题可以通过能量泛函的最小化来表述，这提供了求解BVP的替代途径，尤其适用于复杂的、难以直接积分的方程。 欧拉-拉格朗日方程： 本章从变分法的角度出发，推导了与给定BVP（尤其是自伴随型）等效的欧拉-拉格朗日方程。 瑞利-里茨法（Rayleigh-Ritz Method）： 介绍如何通过选择一组试函数来近似求解能量泛函的最小值，这是有限元方法（FEM）的理论前驱。通过具体的例子，读者可以理解，求解一个BVP，本质上是在寻找一个函数空间中的“最佳近似解”。 第四部分：数值方法入门 虽然本书侧重解析理论，但对数值方法的介绍是必要的，因为许多实际的BVP无法求得解析解。 第七章：有限差分法基础 本章介绍了将微分方程离散化的基本思想。详细阐述了中心差分、前向差分和后向差分对应于导数的近似，并展示如何将这些差分近似应用于二阶ODE的BVP，将其转化为一个线性代数方程组 $Amathbf{u} = mathbf{b}$。重点分析了边界条件的离散化处理，这是数值求解BVP的关键难点。 --- 本书结构严谨，理论推导详尽，旨在为读者打下坚实的数学基础，使他们不仅能够“解出”问题，更能“理解”为何该解存在、为何它是唯一的，以及在何种物理情境下，这些数学工具是必然的选择。本书的深度和广度，确保了读者能够自信地应对更复杂的工程和科学中的边界值问题。

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坦率地说，当我第一次看到这本厚厚的解答手册时，有点被它的分量吓到，担心它会像很多同类书籍一样，内容冗余、重点不突出。然而，实际使用下来，我发现它组织得极其高效。作者似乎非常了解学生在学习过程中可能遇到的所有“知识盲点”，并且提前设置了清晰的提示和陷阱警告。对于那些需要进行复杂级数展开或特征值分解的章节，手册的处理方式极其严谨，每一步的收敛性讨论和积分区域的选取都解释得非常到位，几乎没有留下任何可以被挑剔的漏洞。它不仅是解题的辅助工具，更像是一个经过精心打磨的、提升数学思维质量的“精修工具箱”。

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拿到这本参考书时，我最大的期待是它能在我解题卡壳的时候提供一个可靠的“拐杖”，但它提供的远不止是简单的参考。这本书的叙述方式非常贴合一个初学者的心智模型，它不会用过于高深的术语把你一下子推到悬崖边上。相反，它会循序渐进地引导你，仿佛有一位经验丰富的导师在你身边轻声指点。我记得有一次我在一个涉及傅里叶级数的边界值问题上卡住了整整一个下午，最终是翻阅了手册中关于周期延拓的详细解析，才茅塞顿开。那种“啊哈！”的顿悟感，很大程度上要归功于作者在解释直觉性概念时的细致入微。它真的把那些抽象的数学工具，转化成了可以实际操作的有效武器。

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这本书的价值，对于我这个数学基础相对薄弱的学生来说，简直是无法估量的。我之前总是在做题时，面对那些需要巧妙构造和变量分离的题目束手无策。这本手册的解决方案部分，与其说是答案，不如说是解题策略的教科书。它没有直接跳到最终的积分表达式，而是清晰地展示了每一步的逻辑动机——为什么要选择这个特定的变换？引入这个常数有什么物理意义？正是这种对“为什么”的关注，帮助我从根本上理解了边界值问题的本质。我发现，当我开始用作者的思路去构建自己的解题框架时，即使遇到略有变化的题目，我也能迎刃而解。它培养的不是死记硬背的能力，而是分析问题的能力。

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这本书简直是为那些在面对复杂的数学问题时感到无助的学生准备的救星。我刚开始接触这个领域的概念时，感觉就像是在迷雾中摸索，那些边界值的处理和微分方程的求解简直是我的噩梦。然而，当我翻开这本手册时，一切都变得清晰起来。它不是那种只给出答案的书，而是耐心地分解每一个步骤，让你理解“为什么”这样做，而不是仅仅“怎么”做。特别是对于那些在课堂上没有完全跟上的同学来说，这本书提供了及时的补充和深入的解释。它的排版设计也很人性化，关键的公式和定理都被清晰地标注出来，避免了在复杂的推导过程中丢失思路。我尤其欣赏它在处理那些看似棘手的问题时所展现出的系统性方法，这真的帮助我建立起了一套解决问题的标准流程。

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说实话，市面上关于高等数学的辅导材料汗牛充栋，但真正能兼顾深度和广度，同时又保持高度可读性的却凤毛麟角。这本手册恰恰在这方面做得非常出色。它的内容覆盖面很广，几乎涵盖了我们课程大纲中所有核心的边界值问题类型，从经典的热传导到简谐振动，没有一个被轻率带过。我特别喜欢它在每个章节后面附带的“深入探讨”部分，虽然这些内容不一定是期末考试的重点，但它们极大地拓宽了我们对应用数学的理解。它让我意识到，这些公式不仅仅是应试的工具，它们是描述真实世界物理现象的语言。这种理论与实践相结合的视角，让枯燥的计算过程变得有趣起来，也让我对物理建模产生了更大的兴趣。

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