线性代数复习与解题指导 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:上海华东理工大学

作者:刘剑平，曹宵临主

出品人:

页数:209

译者:

出版时间:2001-8

价格:23.00元

装帧:

isbn号码:9787562811749

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深入理解数学的基石：线性代数的核心奥义与解题之道 线性代数，作为现代数学体系中不可或缺的基石，其重要性贯穿于科学、工程、经济、计算机科学乃至统计学等诸多领域。它不仅仅是抽象的符号游戏，更是描绘和解决现实世界中各种线性关系的强有力工具。本书旨在带领读者走出对线性代数“难以理解”的迷思，通过深入浅出的讲解和精选的解题范例，揭示其内在逻辑，培养直观的几何感，并最终掌握解决各类线性代数问题的通用策略。 一、 向量空间：世界的基石 线性代数的核心概念之一便是向量空间。我们常说的“向量”不仅仅是箭头，更是具有特定属性的一组数字的集合，它们在向量空间中遵循一套清晰的规则。本书将从最基础的定义出发，逐步深入到向量空间的性质，如线性组合、张成、线性无关与线性相关、基与维数。 线性组合与张成： 任何一个向量空间中的向量，都可以通过对基向量进行伸缩和平移（即线性组合）得到。一个向量集合所能张成的所有向量构成了该集合的张成空间。理解这一点，意味着我们能够“构建”出向量空间中的任何元素，如同用积木搭建模型。我们将通过具体例子，如二维平面上的向量，三维空间中的向量，乃至更抽象的函数空间，来直观展示线性组合和张成的概念。例如，如何用两个不共线的二维向量张成整个二维平面，或者如何理解多项式空间中的一个多项式是否能由一组基多项式线性组合而成。 线性无关与线性相关： 当一组向量中，存在一个向量可以由其他向量线性组合表示时，这组向量就被称为线性相关的。反之，若任何一个向量都无法被其他向量线性表示，则它们是线性无关的。线性无关的向量组是构成向量空间“骨架”的关键，它们代表了独立的“方向”。本书将通过求解齐次线性方程组来判断向量的线性相关性，并强调其在求解自由度、理解系统解集时的重要作用。例如，如何判断一组给定的向量是否是独立的，并解释这对于理解一个线性方程组解的个数有什么样的启示。 基与维数： 一个向量空间的一组基，是该空间中一组线性无关的向量，并且它们能够张成整个空间。基是向量空间最“经济”的表示方式，它确定了空间的“维度”。维数是描述向量空间“大小”或“自由度”的度量。本书将详细讲解如何寻找一个向量空间的基，以及如何确定其维数。理解基的意义，能够帮助我们更好地把握方程组的解空间结构，如零空间（核）和列空间（像）的维数，这对于深入理解线性变换的性质至关重要。 二、 矩阵：线性世界的语言 矩阵是表示和操作线性变换的强大工具。它们如同线性代数世界的“语法”，将抽象的向量运算转化为具体的操作。本书将从矩阵的定义、运算（加法、减法、数乘、乘法、转置、求逆）入手，揭示矩阵的本质。 矩阵的运算： 矩阵的各项运算都对应着特定的几何或代数意义。矩阵加减法对应于向量的对应元素相加减；数乘对应于向量的整体伸缩；矩阵乘法是理解线性变换复合的关键，它意味着一个变换的输出作为另一个变换的输入。本书将通过生动的几何解释，如二维旋转、缩放、剪切等，来阐述矩阵乘法的几何含义。例如，一个旋转矩阵乘以一个向量，就是将该向量旋转到新的位置。理解矩阵乘法，是掌握如何将多个线性变换“串联”起来的关键。 矩阵的转置与求逆： 矩阵的转置操作是一种对称性的体现，它在很多证明和计算中都扮演着重要角色。而矩阵的求逆，则意味着找到一个“逆向”的变换，能够将经过原变换作用后的向量恢复到原始状态。只有方阵且行列式非零的矩阵才有逆。本书将深入讲解求逆矩阵的方法，如伴随矩阵法、初等行变换法，并阐述逆矩阵在求解线性方程组中的重要应用，即 $AX=B$ 通过 $X=A^{-1}B$ 来求解。 矩阵的秩： 矩阵的秩是其行向量组或列向量组所张成的子空间的维数。秩是一个非常重要的概念，它直接反映了矩阵所对应的线性变换的“压缩”程度。本书将讲解如何通过初等行变换来求解矩阵的秩，并阐述秩与线性方程组解的存在性、唯一性之间的深刻联系。例如，一个方程组有解的条件与系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系。 三、 线性方程组：现实问题的核心 线性方程组是线性代数最直接的应用场景，从电路分析、力学平衡到经济模型，几乎所有需要描述多个变量之间线性关系的场景都离不开它。本书将系统地介绍求解线性方程组的各种方法，并从几何和代数的角度深入理解其解的结构。 消元法（高斯消元法与高斯-约旦消元法）： 这是求解线性方程组最基本也是最强大的方法。本书将详细阐述消元法的步骤，包括行阶梯形和简化行阶梯形矩阵的形成，并结合实例演示如何通过消元法来判断方程组是否有解、有多少解。理解消元法的过程，就是理解如何将一个复杂的系统转化为一个更容易分析的形式。 解的结构： 对于线性方程组 $AX=B$，其解集具有一种特殊的结构：如果存在解，那么它的解集是零空间的一个向量加上一个特解。本书将深入分析方程组的零空间（核）和特解的概念，以及它们如何共同构成了整个解集。理解零空间，能够帮助我们理解方程组的“自由度”；理解特解，则有助于我们找到方程组的一个具体满足条件的解。 向量空间的视角： 从向量空间的视角来看，求解线性方程组 $AX=B$ 就是找到一个向量 $X$，使得 $X$ 经过线性变换 $A$ 的作用后得到向量 $B$。本书将结合列空间、零空间等概念，从更抽象的层面来理解方程组解的存在性与唯一性。例如，方程组有解的充要条件是向量 $B$ 必须位于矩阵 $A$ 的列空间中。 四、 行列式：方阵的灵魂 行列式是与方阵相关联的一个标量值，它蕴含了方阵的诸多重要性质。本书将从行列式的定义、性质以及计算方法入手，深入揭示其几何意义和代数意义。 行列式的定义与性质： 本书将介绍行列式的代数定义，并通过递归（代数余子式展开）和行变换的方法来计算行列式。更重要的是，将强调行列式的关键性质，如行交换改变符号，两行成比例行列式为零，以及行列式与矩阵乘法、转置等的关系。 几何意义： 行列式的绝对值代表了由矩阵的列向量（或行向量）构成的平行多面体的体积（在二维中是面积）。当行列式为零时，意味着这些向量线性相关，构成的“多面体”退化成低维空间，体积为零。这与方阵可逆的条件息息相关。 行列式与可逆性： 一个方阵可逆的充要条件是其行列式非零。本书将通过多种角度证明和理解这一重要结论，并将其与线性方程组的唯一解联系起来。 五、 特征值与特征向量：深入矩阵的内在属性 特征值和特征向量是理解线性变换性质的核心概念。它们揭示了在进行线性变换时，哪些向量的方向不会改变，仅仅发生伸缩。 定义与计算： 本书将给出特征值和特征向量的代数定义：$Av = lambda v$，其中 $v$ 是非零向量，$lambda$ 是对应的特征值。我们将详细讲解如何通过求解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来找到特征值，进而求解对应的特征向量。 几何意义： 特征向量代表了线性变换的“不变方向”，而特征值则表示了在该方向上的伸缩因子。理解这一点，能够帮助我们直观地理解矩阵所代表的变换的本质，例如，一个矩阵的特征值和特征向量可以帮助我们分析系统的稳定性，或者将一个复杂的变换分解成一系列简单的伸缩。 应用： 特征值和特征向量在许多领域都有着广泛的应用，例如主成分分析（PCA）在数据降维中的应用，图像压缩，以及动力系统的稳定性分析等。本书将通过一些实例，初步展示特征值和特征向量在解决实际问题中的强大威力。 六、 线性变换：从几何到代数 线性变换是线性代数研究的核心对象之一，它描述了向量空间之间的映射关系，并满足特定的线性性质。本书将从几何直观的角度出发，深入理解各种线性变换的性质，并用矩阵来表示它们。 变换的几何理解： 本书将通过生动的几何图形和实例，解释各种基本的线性变换，如旋转、缩放、剪切、投影等，并展示它们如何作用于向量和空间。理解线性变换的几何意义，能够帮助读者建立起对抽象数学概念的直观认识。 矩阵表示： 任何一个有限维向量空间之间的线性变换都可以用一个矩阵来表示。本书将详细讲解如何根据线性变换的定义，构造出对应的矩阵，以及如何利用矩阵来计算变换后的向量。 变换的复合与分解： 矩阵乘法对应着线性变换的复合，即一系列变换的叠加。本书将分析如何通过矩阵的乘法来理解复杂变换的形成，以及如何将一个复杂的变换分解成更简单的基本变换。 七、 线性代数的解题艺术 本书不仅仅停留在理论的讲解，更注重将理论应用于实践。通过大量精心挑选的例题，本书将引导读者掌握解决线性代数问题的通用策略和技巧。 从概念到计算： 每个章节都将提供一系列由易到难的例题，覆盖了本章的核心概念。题目类型包括概念辨析、计算题、证明题以及一些简单的应用题。 解题思路与步骤： 对于每一个例题，本书都将提供详细的解题思路和步骤，帮助读者理解“为什么”以及“怎么做”。我们将强调如何审题，如何选择合适的方法，以及如何组织解题过程。 易错点分析与陷阱提示： 在解题过程中，我们会指出常见的易错点，并提供相应的陷阱提示，帮助读者避免重复犯错，提高解题的准确性。 多角度思考： 对于一些复杂的问题，我们将鼓励读者从不同的角度进行思考，例如，既可以用代数方法，也可以尝试几何解释，从而加深对问题的理解。 本书的目标读者： 本书适合所有希望系统学习或复习线性代数知识的学生，包括但不限于： 高等院校本科生（数学、物理、工程、经济、计算机科学等专业） 研究生入学考试的考生 对线性代数感兴趣的自学者 需要运用线性代数解决实际问题的科研人员和工程师 通过本书的学习，您将不仅能够熟练掌握线性代数的理论知识，更能够培养出解决复杂数学问题的能力，为深入学习更高级的数学和应用学科打下坚实的基础。线性代数的世界广阔而迷人，让我们一同踏上这段探索之旅，领略数学的严谨与美妙！

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这本厚厚的数学书，拿到手沉甸甸的，光是看到封面上的那些符号和公式，我就感觉脑袋有点发胀。说实话，我高数基础就不太扎实，尤其是涉及到矩阵、行列式这些抽象概念的时候，简直是云里雾里。我期待着这本书能像一个耐心细致的私人教师，能把那些枯燥的定义和定理掰开了揉碎了讲明白，最好能配上那种生活中的例子，让我不至于在看到题目的时候，脑子里一片空白。我特别希望它能深入浅出地讲解那些证明过程，毕竟光是背公式是走不远的。如果书里能有丰富的例题和习题，并且对解题步骤有详细的分析，那就太棒了。现在我刚翻开目录，感觉内容挺全的，但具体效果如何，还得再往下看。

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这本书的装帧设计挺朴实的，一看就是那种专注于内容的类型，没有花里胡哨的装饰，这正合我意。我更看重的是它的知识深度和广度。线性代数在很多理工科领域都有应用，比如计算机图形学、数据分析等等，所以我希望这本书不仅限于基础知识，还能稍微涉及一些进阶应用，让我对这个学科的整体图景有一个更清晰的认识。如果能有专门的章节讲解如何用MATLAB或Python等工具进行矩阵运算，那更是锦上添花。毕竟，在现代数学学习中，工具的应用能力也是一项重要指标。希望这本书能帮我建立起理论与实践之间的桥梁。

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我最近在为期末考试做准备，手头上的教材内容已经无法满足我深入理解的需求了。我需要一本能够提供更全面、更系统复习资料的书籍。我希望这本书不仅仅是知识点的罗列，更重要的是，它能提供一些解题的思路和技巧。很多时候，我感觉自己理解了理论，但一遇到实际问题就束手无策，这中间的鸿沟需要一本好的指导书来填补。我尤其关注书中的习题解析部分，如果能把不同的解题路径都展示出来，并分析每种方法的优缺点，那对我来说价值就太大了。如果这本书的排版清晰，公式推导过程没有遗漏的话，我想它会成为我备考期间不可或缺的工具书。

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老实说，我对市面上大部分的“复习指导书”都持保留态度，很多都是把教材内容重新组织了一下，然后增加了一些简单重复的习题，并没有真正起到“指导”的作用。我希望这本《线性代数复习与解题指导》能有所不同。我特别关注它对那些“陷阱”题型的处理方式。比如，哪些地方学生最容易犯错？哪些概念最容易混淆？如果作者能站在一个过来人的角度，把这些“坑”都指出来，并且给出规避的方法，那这本书的价值就体现出来了。我期待它能像一个经验丰富的老教授，不仅教我知识，更教我如何“思考”数学问题。

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翻阅这本书的章节安排，我注意到它似乎是按照知识模块来组织的，这一点我很欣赏。这样我就可以根据自己的薄弱环节进行针对性复习，而不是像被动地从头读到尾。不过，我更关心的是，对于那些比较抽象的向量空间、特征值与特征向量这些核心概念，这本书是如何处理的？我希望能有详细的几何解释和直观的图像辅助理解。如果作者能在每章的开头设置一个“本章重点难点速览”，并在结尾处设置一个“自我检测”环节，那整体的学习体验会流畅很多。希望这本书能够切实地提升我的理解层次，而不是仅仅停留在应试层面。

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