Notes on Set Theory (Undergraduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Yiannis Moschovakis

出品人:

页数:292

译者:

出版时间:2005-12-21

价格:USD 79.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387287225

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

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深入浅出的群论之旅：代数结构的基础与应用 书名：《群论导引：从基础概念到现代应用》 作者： [此处可虚构一位资深数学家姓名，例如：阿瑟·雷诺兹 (Arthur Reynolds)] 出版社： [此处可虚构一家知名学术出版社，例如：普林斯顿大学出版社] --- 书籍简介： 《群论导引：从基础概念到现代应用》是一本旨在为初次接触抽象代数的本科生和研究生提供全面而深入的群论知识的教材。本书结构严谨、逻辑清晰，不仅详尽地阐述了群论的核心概念与基本定理，更着重于展示群论在数学及其他科学领域中的广泛应用，力求在严谨性与可读性之间找到完美的平衡。 本书的视角与特色： 本书并非一套纯粹的公理化集合论的延伸，而是将焦点完全集中在群（Groups）这一代数结构上。我们相信，理解群论的最佳途径是通过具体的例子和清晰的动机来引导，而非一开始就陷入高度抽象的定义泥沼。因此，本书的第一部分专注于构建直觉，从对称性、排列和循环结构入手，逐步引入群的正式定义。 第一部分：基础的奠基石——群的构造与初探 本部分从历史的视角和实际操作的层面引入群的概念。我们从初等数论中的模运算（例如$mathbb{Z}_n$下的加法群）和几何学中的刚体运动（如正多边形的旋转与反射构成的二面体群 $D_n$）开始，直观地展示了什么是“结构”和“对称性”。 核心内容： 群的定义、封闭性、结合律、单位元与逆元。子群的判定与例子（如偶数集、矩阵群）。陪集与拉格朗日定理的细致推导及其在有限群分类中的初步应用。 教学亮点： 详细分析了对称群 $S_n$ 的结构，包括对换（transpositions）的性质及其与置换的分解。首次引入了同构（Isomorphism）的概念，并提供了大量不同但结构相同的群的例子，强调“结构等价”而非“元素相同”。 第二部分：深入结构——同态、正规子群与商群 一旦读者掌握了群的基本操作，我们将转向研究群之间的关系以及如何通过“剖分”群来构造更简单的群。 同态与核： 详细讨论了群同态（Homomorphisms）的性质，特别是核（Kernel）的概念。核作为子群，其特殊性——正规性（Normality）——被系统地引入。 商群的构造： 在严格定义了正规子群后，本书对商群（Quotient Groups）的构造进行了详尽的阐述，将其类比为整数除法中的余数类。我们展示了如何在一个大群的结构中“模去”一个子群，从而得到一个结构更清晰的群。 同构定理的威力： 本部分的高潮是对第一同构定理的深入探讨。我们不仅给出证明，更通过大量实例（如矩阵群与特定映射的核）展示了该定理如何成为连接不同群结构之间的桥梁。 第三部分：有限群的分类与结构定理 对于有限群的研究是群论的核心支柱。本部分致力于介绍关键的结构理论工具。 Sylow 定理的全面解析： 费罗德·西洛（Ludwig Sylow）的定理是研究有限群结构的关键。本书用归纳法和群作用（Group Action）两种视角来证明 Sylow 定理的第一、第二和第三部分，确保读者能够理解其背后的深刻洞察力。 直积与半直积： 讨论如何将两个已知的群通过直积（Direct Product）组合成一个新群。随后，引入更灵活的半直积（Semi-direct Product）来处理那些不是直积的群（如二面体群 $D_n$），这为理解非阿贝尔群的构造提供了强大的框架。 第四部分：从抽象到具体——群在几何与应用中的体现 本书的最后部分将理论知识与实际问题相结合，展示群论的强大适用性。 群作用与轨道-稳定子定理： 详细介绍群作用（Group Actions）的概念，并推导出轨道-稳定子定理。该定理被应用于对有限群进行计数（如Burnside引理的铺垫）以及在几何中对物体进行分类。 无限群的初步探索： 尽管本书主要关注有限群，但我们引入了无限循环群 $mathbb{Z}$ 和 $mathbb{R}$ 的结构，并探讨了自由群（Free Groups）的概念，为后续更高级的代数学习埋下伏笔。 应用案例研究： 晶体学基础： 介绍点群（Point Groups）和空间群（Space Groups）在描述晶体对称性中的作用。 伽罗瓦理论的萌芽： 简要讨论群论在多项式方程可解性问题中的历史地位，以此激励读者进一步学习伽罗瓦理论。 目标读者与学习体验： 本书假定读者已经具备微积分和线性代数的基础知识。我们精心设计的习题覆盖了从基础计算到高级证明的各个层次，旨在巩固概念并培养严谨的数学思维。每章末尾的“深入思考”部分，则为优秀学生提供了进一步探索开放性问题的机会。 《群论导引》旨在培养的不仅仅是代数技巧，更是一种将复杂系统抽象化、通过对称性理解其本质的能力。掌握本书内容后，读者将具备坚实的群论基础，能够自信地进入代数拓扑、表示论或更深入的抽象代数领域深造。

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这本书的数学深度实在令人印象深刻，尤其是在处理那些看似基础却蕴含着深刻洞见的集合论概念时。作者的行文风格就像一位经验丰富的向导，在错综复杂的拓扑空间和基数运算的迷宫中为我们指明方向。我特别欣赏它对公理化体系构建的耐心梳理，从ZFC的根基到更高级的选择公理的微妙影响，每一步都论证得严丝合缝。阅读过程中，我时常停下来，反思那些经典的悖论是如何被现代集合论巧妙地规避或重新定义的。它不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维模式的重塑，迫使读者跳出直觉的束缚，进入纯粹的逻辑世界。那些关于良序定理和连续统假设的讨论，充满了哲学思辨的色彩，让人在理解抽象概念的同时，也体会到了数学美的宏大与严谨。对于任何想要真正掌握现代数学语言基础的人来说，这本书提供了一个坚实且无可替代的起点。它要求专注，但给予的回报是构建坚实数学世界的基石。

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坦白地说，这本书的实用价值被严重高估了。它更像是一本写给那些已经对分析学和代数结构有深刻理解的读者的“回忆录”，而非为本科生量身定制的入门教材。对于一个刚刚接触集合论，还在努力区分“函数”和“关系”的读者而言，这本书中频繁穿插的关于范畴论预备知识的暗示，以及那些晦涩难懂的元数学讨论，只会让人感到困惑和挫败。它似乎预设了读者已经掌握了大量的预备知识，从而在很多定义和定理的动机解释上含糊其辞。我发现自己不得不频繁地查阅高等数学的定义来反推这里对基础概念的运用，这完全违背了使用一本独立教材的初衷。如果它定位成一本“进阶专题读物”，或许会更合适一些。

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我最近在整理我的数学笔记时，不得不承认，这本书在概念的引入上展现了一种近乎古典的清晰度。它似乎避开了当代某些教材中为追求形式完美而牺牲直观性的弊端，而是选择了一种更贴近伽德纳或库尔托夫斯基式的叙事风格。作者很擅长通过具体的、可操作的例子来阐释抽象的集合操作，例如，在讨论笛卡尔积的性质时，它没有直接陷入高维空间的代数证明，而是用不同大小的盒子如何组合来形象地说明这一过程。这种教学策略极大地降低了初次接触集合论的心理门槛。虽然内容偏向理论基础，但其行文的节奏感把握得极佳，不会让人感到过于枯燥或被淹没在术语的海洋中。对于希望建立起对“无穷大”这一概念的直观感觉的学生来说，这本书无疑是本良师益友。

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这本书的排版和习题设计简直是一场灾难，完全不符合一本本科教材应有的水准。很多关键定理的证明过程跳跃性太大，中间缺失了太多必要的细节铺垫，导致初学者光是理解跳页后的结论都需要花费数倍的时间去自行填补空白，这极大地打击了学习的积极性。举例来说，在处理序数的加法和乘法运算的定义时，我发现某些定义之间的逻辑衔接模糊不清，需要对照其他参考书才能勉强领会作者的真实意图。此外，书中的插图——如果能称之为插图的话——也显得异常简陋，完全无法起到辅助理解的作用，更像是为了凑页数而随意添加的符号堆砌。我希望未来的版本能对习题的难度分层做更明确的区分，并提供更详尽的逐步解题指南，而不是最后只给出一个冷冰冰的答案，这对于自学者来说是极其不友好的学习体验。

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这本书最引人注目的特点是其对数学逻辑与集合论交叉领域的涉猎深度。作者似乎并不满足于仅仅停留在ZFC的范畴内，而是巧妙地将哥德尔不完备性定理的初步思想融入到对集合论内部一致性问题的探讨中。这种跨学科的视野极大地丰富了本书的内涵。我尤其欣赏它对构造性数学思想的谨慎提及，尽管篇幅不多，但足以引发读者对“存在性证明”的更深层次的思考——什么才算是一个“真正的”数学对象？书中的论证逻辑严密到令人窒息，每一个小小的推导步骤都像是经过了最严格的法庭质询，不留任何含糊的余地。对于那些渴望探究数学哲学基础，并对形式系统有浓厚兴趣的读者，这本书提供了一个极其严谨且富有启发性的框架，远超一般集合论教材的范畴。

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嗯，還是別看了

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UCLA朋友推荐的书，暑期看了6章，还好。