数学题型集粹与练习题集2010版5理工类 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:陈文灯

出品人:

页数:430

译者:

出版时间:2009.3

价格:42.00

装帧:平装

isbn号码:9787506252126

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《高等代数前沿与应用解析》 本书导言 在数学科学的广阔图景中，高等代数无疑是构成其核心骨架的基石之一。它不仅是连接抽象理论与具体应用的桥梁，更是培养逻辑思维、激发创新能力的有效途径。《高等代数前沿与应用解析》旨在超越传统教材的深度与广度，为致力于深入理解代数结构、掌握现代数学工具的高年级本科生、研究生以及研究人员提供一份兼具理论深度与前沿视野的参考指南。本书不着眼于基础概念的重复讲解，而是聚焦于高等代数中那些具有里程碑意义的理论进展及其在现代科学技术领域中的实际映射。 第一部分：经典理论的深化与重构 本书第一部分将对高等代数中数个核心概念进行深入剖析与现代视角下的重构，重点关注那些在2010年左右及之后发展出更精细化理解的领域。 第一章：线性空间与结构分解的现代诠释 本章首先回顾了线性空间、线性变换的基本定义，随后迅速切入更高级的结构。重点探讨了有理规范形（Rational Canonical Form, RCF）和Jordan标准形的构造性证明及其在数值稳定性方面的对比分析。我们详细讨论了在域特征不为零时，经典Jordan分解面临的挑战，并引入了基于模理论（Module Theory）的初等因子理论（Elementary Divisor Theory）的现代推导方式，展示了如何利用Smith范式来统一处理不同代数结构下的相似性问题。此外，本章对克律金定理（Krylov subspace methods）在大型稀疏矩阵特征值计算中的理论基础进行了阐述，强调了矩阵的循环结构与Krylov子空间迭代效率之间的内在联系。 第二章：双线性型、二次型与张量代数的基础 在经典理论的基础上，本章着重探讨了二次型理论的几何化。我们深入分析了在非退化情况下，二次型在任意域上的分类问题，并引入了Witt群的概念，以量化“奇特性”与“退化性”之间的差异。重点内容在于张量空间的构建及其张量积的性质。我们详细区分了共变、逆变张量，并引入了Ricci张量和黎曼曲率张量在微分几何中的初步应用背景，为读者理解几何物理中的张量语言打下坚实基础。本章强调了张量秩分解（Tensor Rank Decomposition）的困难性，并简要介绍了近年来在信号处理和数据分析中兴起的张量网络（Tensor Networks）的基本代数原理。 第二部分：矩阵理论与数值代数的交汇点 进入第二部分，我们将视线转向与实际计算紧密相关的矩阵理论，特别是那些在数值稳定性、迭代算法和大型系统求解中起关键作用的理论。 第三章：矩阵函数、谱理论与稳定性分析 本章深入探讨了矩阵函数的定义（如矩阵指数、矩阵对数），并对比了基于泰勒级数、拉普拉斯积分表示法以及Jordan区块分解方法的计算优劣。在谱理论方面，本书侧重于非厄米矩阵的特征值分布，引入了渐进分布理论和鬼点（Gaps）的概念，这些在量子混沌和光学领域至关重要。核心内容包括Schur-Parlett算法在计算一般矩阵函数中的稳定实现，以及奇异值分解（SVD）在判断矩阵病态性（Condition Number）中的决定性作用。特别地，我们探讨了戴维森（Davidson）方法在求解大型对称矩阵极值特征值时的代数收敛性分析。 第四章：矩阵分解的现代范式与优化 本章超越了传统的LU、QR分解，重点关注现代计算需求下的分解技术。我们详细阐述了Cholesky分解的限制及其在处理不定矩阵时的替代方案，如Bunch-Parlett分解。在迭代求解方面，本书系统梳理了Krylov子空间方法的框架，深入分析了GMRES、BiCGSTAB等算法的收敛条件和循环现象的代数根源。对于大型稀疏矩阵，我们引入了预处理器（Preconditioners）的设计哲学，特别是基于代数多重网格（AMG）思想的预处理技术背后的矩阵分割理论。本章最后讨论了低秩近似（Low-Rank Approximation）的理论基础，阐述了其在数据压缩和降维中的最优性准则（如Eckart-Young定理的推广）。 第三部分：代数结构在现代科学中的应用延伸 第三部分是本书的特色所在，它展示了高等代数概念如何在非传统数学领域中发挥核心作用。 第五章：有限域、组合设计与编码理论的代数基础 本章将代数从实数域扩展到有限域 $mathbb{F}_q$。我们详细介绍了伽罗瓦域（Galois Field）的构造，特别是利用不可约多项式来生成扩张域的过程。核心应用聚焦于线性分组码（如Hamming码、Reed-Solomon码）的代数结构，解释了校验矩阵、伴随矩阵与最小多项式之间的关系。我们探讨了Goppa码的构造及其渐进性能的代数来源，强调了代数几何方法在构造优良纠错码中的威力。 第六章：群论、环论在对称性分析与代数拓扑中的映射 尽管群论和环论是抽象代数范畴，但本书将其与实际应用相结合。在群论部分，我们重点分析了李群（Lie Groups）的基本结构——如正交群 $O(n)$、酉群 $U(n)$ ——及其李代数的指数映射。这为理解连续对称性（如旋转、变换）提供了不可或缺的代数工具。在环论方面，我们讨论了范畴论（Category Theory）的视角如何统一不同代数结构（如向量空间、模）的相似性，并简要介绍了同调代数中链复形和链映射的概念，揭示了这些抽象结构如何被用于分析复杂系统的拓扑不变量。 结语 《高等代数前沿与应用解析》力求为读者提供一个高起点、多维度的学习体验。本书假设读者已经掌握了扎实的基础高等代数知识，旨在引导读者进入那些理论更加精深、与当代科学挑战更紧密结合的研究前沿。本书的价值在于其对经典理论的深度挖掘和对现代应用的精准链接，而非知识点的罗列。

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这份练习册给我的感官体验是“厚重且扎实”，这不仅仅指物理上的重量。它更像是一部经过时间沉淀的武功秘籍，里面收录的很多解题技巧，虽然在后来的新版教材中可能被优化或简化了，但对于理解数学思想的本质而言，却是不可或缺的。我留意到书中对极限与无穷级数这一块的解析尤为深入，它没有止步于ε-N语言的套用，而是深入探讨了不同收敛判据背后的几何意义。这对于我这种偏重于理论理解的读者来说，简直是如获至宝。有一处关于泰勒展开的练习，它巧妙地将代数与几何联系起来，通过图形的局部逼近来解释高阶项的作用，使得抽象的数学概念变得具象化了。唯一的遗憾是，作为2010年的版本，一些最新的计算工具的应用技巧，比如如何利用特定软件进行数值模拟的优化步骤，自然是没有包含进去的，但这或许也正体现了它更侧重于基础理论功底的培养，而非工具依赖性。

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说实话，拿到这本《数学题型集粹与练习题集2010版5理工类》，我最大的感受是“诚意”。这里的诚意，体现在题目的难度梯度控制上。它不像某些市面上的参考书那样，上来就堆砌一堆望而生畏的偏题怪题，让人心生退意。相反，它的前置部分，那些基础巩固型的练习，选材非常贴合大学一年级或二年级的基础要求，确保了对基本公式和定理的熟练运用。但随后，难度曲线就开始平缓而坚定地上升，特别是涉及到工程数学和离散结构的部分，开始出现一些需要多步思维链条才能解决的综合应用题。我花了一个下午的时间去啃一道关于拉普拉斯变换的积分题，那道题目的设置非常有技巧性，要求你不仅要掌握变换公式本身，还要对积分的收敛性有所判断。这本书的厉害之处在于，它提供的解题步骤详尽到令人发指，几乎没有跳跃性的思维环节，即便是初学者，只要肯下功夫，也能顺着思路把答案推导出来，这对于自学效率的提升是巨大的帮助。

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我是在一个非常关键的备考阶段开始使用这本练习册的，那时我已经对基础知识点有所了解，急需一个能进行“查漏补缺”和“极限测试”的材料。这本书完美地扮演了这个角色。它的后半部分，那些被称为“综合应用与挑战”的章节，难度系数直线上升，涉及到的知识点交叉频繁，明显是为那些追求高分的学生准备的。我记得有一道关于空间曲线的曲率计算题，需要熟练运用多元函数微分学和参数方程的知识，稍有不慎就会在链式求导或者向量叉乘上出错。这本书给出的解析非常严谨，每一步的公式引用都清晰可见，几乎没有给读者留下任何猜测的空间。它要求的是绝对的精确性和逻辑的无懈可击。对于希望在考试中拿到接近满分的读者来说，这本书提供的这种高强度、无容错率的训练，是构建强大数学自信心的基石。它确实是理工科数学学习路上一个分量极重，值得反复研磨的伙伴。

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翻阅这套书的时候，我忍不住会和自己过去用的其他复习资料做对比。这本《题型集粹》的独特之处在于其对“题型”的归纳达到了近乎百科全书的程度。它不是简单地罗列题目，而是将具有相似解题思路和数学原理的题目归类到一个题型框架下，并在该框架下展示出几种常见的变体。举个例子，在涉及到行列式计算的专题中，它清晰地区分了基于定义法的、基于初等变换法的以及利用特征值的特殊解法，并且为每种方法配上了最适合的例题进行演示。这种“一题多解，一类一纲”的编排思路，极大地提升了我的解题效率。以前我常常是“会做一道题，但不知道同类题型如何应对”，而这本书有效地解决了这种认知上的碎片化问题。它迫使你从更高、更抽象的层面去理解数学问题的本质，而不是仅仅停留在计算表层。

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这本书的封面设计相当朴素，那种经典的理工科教材风格，让人一眼就能感受到它的严肃性。初翻开时，我主要关注的是目录的编排逻辑。它似乎非常系统地将数学知识点进行了拆解，从基础概念到复杂的应用题型，层层递进，脉络清晰得令人安心。对于一个正准备系统复习或者想攻克特定难关的人来说，这种结构上的严谨性是极其重要的。我注意到，它对微积分、线性代数以及概率论这些核心板块的覆盖面非常广，似乎并没有因为是“2010版”就有所懈怠，很多经典例题和陷阱点都被提炼了出来。尤其是一些关于向量空间变换的图示解释，虽然文字不多，但配图非常精妙，能瞬间点亮之前模糊的理解。我个人特别喜欢它在章节末尾设置的“易错点辨析”，那种带着血泪教训总结出来的经验，比教科书上的理论推导来得更实在，能有效避免在考试中因为粗心而失分。这本书给我的感觉是，它不是一本用来“阅读”的书，而是一本需要“征服”的工具书，需要你投入时间去认真演算，才能真正发挥出它的价值。

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看一遍竟然又全忘了，要么是我的问题要么是归纳的太杂了

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