大学数学（上册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:李卫军，王艳主编

出品人:

页数:463

译者:

出版时间:2003-8

价格:19.00元

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isbn号码:9787030116680

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《高等代数基础与应用》内容简介 一部面向理工科专业、系统构建抽象代数思维的经典教材 《高等代数基础与应用》旨在为学习高等数学及后续专业课程的理工科学生提供坚实的基础。本书聚焦于代数结构的核心概念、线性代数的基本理论及其在现代科学技术中的广泛应用，致力于培养读者严谨的逻辑推理能力和解决复杂问题的数学素养。全书结构严谨，内容覆盖全面，兼顾理论深度与工程实践性。 第一部分：数域与多项式 本部分是代数思维的起点，侧重于对数系扩展的理解和多项式环的深入探讨。 第一章：数域的建立与性质 本章首先回顾有理数域 $mathbb{Q}$ 的构造和基本运算性质，为进入更抽象的代数结构做铺垫。重点在于引入实数域 $mathbb{R}$ 的完备性，通过极限、上确界、下确界等概念，建立起微积分所依赖的连续性基础。随后，详细阐述复数域 $mathbb{C}$ 的代数和几何表示（代数形式、三角形式、指数形式），深入分析复数的运算（特别是乘法在几何上的旋转和伸缩意义）。本章将引入代数基本定理，证明任何复系数多项式在复数域上必有根，这是后续章节理论展开的关键前提。 第二章：多项式环与整除性 本章将研究在数域上定义的单变量多项式集合构成的环结构。重点讨论多项式的加法、乘法运算，以及多项式环的特殊性质。详细阐述带余除法在多项式环中的成立性，并以此为基础，定义多项式的最大公因式（GCD）。通过扩展的欧几里得算法，教授如何构造性地求出最大公因式，并利用其性质，导出贝祖等式。 第三章：多项式的根与因子分解 本章聚焦于多项式的根的性质。分析根的重数概念，并将其与多项式的因子分解联系起来。深入讨论有理根的判定定理，以及如何利用有理根筛选出可能的因子。对于实系数多项式，重点分析其在实数域上的因子分解，明确指出实系数二次不可约多项式只可能是形如 $ax^2+bx+c$ 且判别式小于零的形式。对于复系数多项式，则利用代数基本定理，展示其在 $mathbb{C}[x]$ 中的唯一因子分解结构。 第二部分：线性代数的核心——向量空间 这是全书的理论核心，为理解线性变换和矩阵运算提供抽象框架。 第四章：线性空间（向量空间）的定义与基本性质 本章从最直观的二维、三维空间出发，抽象定义向量空间（线性空间）的公理化结构，包括向量的加法封闭性和数乘封闭性，以及八条基本公理（零元、负元、分配律、结合律等）。随后引入线性相关性、线性组合、生成集（张成集）的概念。核心在于定义“基”和“维数”，并证明任何有限维线性空间的基都具有相同的基向量个数，从而确立了向量空间的维数概念。 第五章：子空间与商空间 本章讨论线性空间内部的结构。定义子空间的判别准则，并讨论子空间之间的交和和（Sum and Direct Sum）的概念。重点阐述直和的条件，即通过基的拼接来构建新的线性空间。随后，引入线性函数空间（如 $ ext{Hom}(V, W)$）的概念。最后，初步介绍商空间（或称因子空间）的概念，为理解同构和线性变换的核空间做准备。 第六章：线性变换与线性泛函 本章将向量空间间的映射（线性变换）作为研究对象。详细分析线性变换的定义、性质、核空间（Kernel）和像空间（Image）。根据秩-零化定理（Rank-Nullity Theorem），建立起变换的秩与零度之间的根本关系。同时，引入线性泛函（从向量空间到其基域的线性映射），并为后续的对偶空间做铺垫。 第三部分：矩阵的理论与应用 本部分将抽象的线性代数概念具体化到矩阵的运算和分析中。 第七章：矩阵运算与矩阵的秩 本章将矩阵视为线性变换的“坐标表示”。详细介绍矩阵的加法、数乘、乘法运算，以及矩阵乘法的非交换性。重点讨论矩阵的初等行变换和初等矩阵，利用这些变换，将矩阵化为行阶梯形或简化行阶梯形。通过研究可逆矩阵的性质，导出矩阵的秩的定义，并证明矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。 第八章：线性方程组的求解 本章应用矩阵理论解决实际问题。详细阐述线性方程组的克拉默法则（限于方阵且系数行列式不为零的情况），以及更具普适性的高斯消元法。通过分析增广矩阵的秩，应用Rouché–Capelli定理（或称Frobenius定理），系统地判断线性方程组的解的存在性与解的结构（唯一解、无穷多解或无解）。 第九章：行列式理论 本章专注于行列式的定义、性质及其计算方法。从二阶、三阶行列式出发，归纳出高阶行列式的定义（基于排列或拉普拉斯展开）。详细讨论行列式与矩阵乘法、矩阵转置的关系，并证明行列式为零是矩阵奇异（不可逆）的充要条件。本章也讨论行列式在几何上表示的面积和体积缩放因子。 第四部分：特征值、特征向量与相似理论 本部分是深入理解线性变换本质的关键。 第十章：特征值与特征向量 本章定义特征值和特征向量，它们描述了线性变换下哪些向量方向保持不变。推导求解特征值的特征方程（$det(A - lambda I) = 0$）。讨论特征向量的性质，特别是属于不同特征值的特征向量的线性无关性。 第十一章：相似理论与对角化 本章研究矩阵或线性变换在不同基下的表示之间的关系，即相似变换。详细讨论相似矩阵的性质（如特征值、行列式、迹不变）。核心在于线性空间的可对角化条件：一个 $n$ 维空间上的线性变换可对角化的充要条件是存在一组基由特征向量构成，这等价于代数重数等于几何重数。 第十二章：实对称矩阵的谱分解 本章专门研究在欧几里得空间（内积空间）中具有特殊地位的实对称矩阵。证明实对称矩阵的全部特征值都是实数，且属于不同特征值的特征向量是相互正交的。由此引出施密特正交化过程（虽然更常在内积空间中介绍，但此处作为铺垫），最终推导出实对称矩阵的谱分解定理，即任何实对称矩阵都可以正交相似于一个对角矩阵。 第五部分：内积空间与二次型 本部分将代数结构与几何度量相结合。 第十三章：内积空间与欧几里得空间 本章将代数结构提升到具有“长度”和“角度”的几何空间。定义内积（或称数量积）的公理，并由此导出向量的长度（范数）和正交性概念。重点分析在实数域上的标准欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中的内积和标准正交基。通过施密特正交化算法，展示如何将任意一组基转化为一组正交（或标准正交）基。 第十四章：二次型与合同变换 本章研究定义在向量空间上的、由二次齐次多项式表示的函数——二次型。通过配方法和合同变换（利用可逆矩阵 $P$ 使 $x^T A x = y^T (P^T A P) y$），将二次型化为规范形（如 $sum lambda_i y_i^2$）。最后，利用对称矩阵的谱分解理论，证明二次型的规范形只包含 $pm 1$ 和 $0$ 的项，并阐述其正定性、半正定性的判据（如主子式判据）。 本书内容安排循序渐进，从基础的数域和多项式入手，逐步过渡到向量空间的抽象结构，再通过矩阵的工具实现具体计算，最后深入到特征值理论和内积几何，为读者打下坚实的数学基础，能够为后续的微分方程、数值分析、工程控制等专业课程的学习提供必要的工具和思维框架。

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这本书的装帧虽然不奢华，但质量绝对过硬，这对于需要经常翻阅和演算的数学书来说至关重要。我经常习惯把书摊开放在桌子上，做笔记或者在旁边写解题步骤，这本书的纸张厚度适中，墨水也没有洇墨的现象，即使用稍微粗一点的签字笔书写，也不会影响到下一页的阅读。这种细节上的品质保证，让我在学习过程中感到非常踏实。更重要的是，作者在内容组织上体现出一种极强的“系统观”。它不是孤立地讲解每一个知识点，而是处处体现出不同章节之间的内在联系。例如，在介绍变上限积分的求导性质时，它会回顾之前学过的导数定义，让你清晰地看到微积分思想是如何一步步构建起来的。这种结构上的严谨性，使得我的知识体系能够搭建得更加稳固，而不是东一块西一块的碎片。我感觉这本书更像是为理工科学生精心准备的一份“内功心法秘籍”，它教你如何思考，而不仅仅是教你如何计算。

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我曾经尝试过其他几本声称“深入浅出”的数学教材，但往往读起来感觉像是被一群“数学精英”在用行话交流，很多概念的跳跃性太大，我得自己额外花大量时间去弥补中间缺失的逻辑链条。然而，《大学数学（上册）》在这方面做得极为出色，它似乎完全理解一个初学者的思维路径。它的语言风格非常沉稳、清晰，没有丝毫的卖弄或故作高深。举个例子，涉及到不定积分的换元法和分部积分法时，作者不仅给出了公式，还详细阐述了选择哪种方法背后的直觉判断——比如，当被积函数中出现复合函数时倾向于换元，出现乘积结构时考虑分部积分。这种“解题策略”的指导，比单纯的理论推导要宝贵得多，因为它直接作用于解题实践。我甚至发现，一些在课堂上老师可能一带而过的关键步骤，这本书都给予了充分的篇幅去解释清楚，展现了作者对教学痛点的精准把握。

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说实话，我对很多教材都有“学了就忘”的困扰，但这本书似乎在这方面做了很多努力。我发现它在讲解那些容易混淆的概念时，会特意设置一些“注意”或者“辨析”的小栏目，把容易出错的地方用醒目的方式标示出来。比如，在讲到定积分和不定积分的联系与区别时，它用了整整半页的篇幅进行对比分析，配有图示，这比单纯的文字描述要有效得多。我个人觉得，这本书的魅力在于它的“实用性”和“启发性”的平衡。它既没有沦为一本纯粹的公式大全，也不会因为过度追求理论的深奥而让初学者望而却步。我记得有一次我卡在一个关于收敛半径的问题上很久，翻阅其他资料都觉得解释得太过跳跃，但这本书里，作者巧妙地运用了一个几何直觉的类比，瞬间让我茅塞顿开。这种将抽象数学概念与具体、可感知的世界联系起来的教学技巧，是这本书最让我欣赏的地方。它不仅仅是知识的搬运工，更像是一位耐心的引导者，时刻关注着读者的思维误区。

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对于我这种偏爱通过案例来理解抽象概念的人来说，这本书的案例选择非常具有代表性。它没有堆砌那些过于复杂的物理或工程模型，而是挑选了一些最能体现数学思想的经典例子。比如，在讲解曲率时，它会用生活中的曲线作为参照物，让你对那个看似抽象的曲率值产生具象的理解。再者，这本书的参考书目推荐也十分到位，它不光推荐了更高级的参考书，还列出了一些对理解基础概念有帮助的科普类读物，这体现了作者的教育情怀——希望学生能真正爱上数学，而不是仅仅应付考试。总而言之，这是一本兼具深度、广度、和温度的教材。它既是严谨的数学工具书，也是一位循循善诱的良师益友。我几乎可以肯定，这本书会成为我大学数学学习旅程中最信赖的伙伴之一，而不是束之高阁的装饰品。

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拿到这本《大学数学（上册）》，首先映入眼帘的是它那朴实无华的书皮，没有花里胡哨的装饰，透着一股严谨的气息。我记得我当初选这本书，很大程度上是因为听说它对基础知识的讲解特别扎实。拿到书后翻阅了一下目录，内容涵盖了微积分的基础部分，从极限到导数，再到不定积分，脉络清晰，层次分明。我尤其欣赏作者在引入新概念时那种循序渐进的叙述方式。比如，讲解极限的时候，它不是简单地给出ε-δ定义，而是先通过直观的例子和几何意义去铺垫，让人在理解概念的“为什么”之后再去深入学习其精确的数学表达。这种处理方式极大地降低了我对初期抽象概念的畏惧感。更令人称赞的是，书后的习题设计，难度梯度设置得非常合理。基础练习能够巩固刚学到的定义和公式，而后面的综合题和探讨性问题，则能真正考验你对知识的融会贯通能力。我感觉，如果能把这本书后面的习题认认真真地做完，应对期末考试绰绰有余，甚至在后续的高等数学学习中也能打下坚实的基础。这本书的排版也做得不错，公式居中，逻辑清晰，阅读体验相当流畅，长时间看也不会感到眼睛疲劳。

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