Theory of Complex Homogeneous Bounded Domains pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学分社

作者:Yichao Xu

出品人:

页数:427

译者:

出版时间:2006-6

价格:98.00元

装帧:

isbn号码:9787030123350

丛书系列:

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• Complex analysis
• Holomorphic functions
• Bounded domains
• Complex geometry
• Several complex variables
• Domains of definition
• Function theory
• Mathematical analysis
• Topology
• Complex manifolds

复杂有界齐次域理论 著者： [此处可填写作者姓名，例如：李明, 王芳] 出版社： [此处可填写出版社名称，例如：高等教育出版社] 出版日期： [此处可填写出版日期，例如：2023年10月] --- 本书导言 本书旨在系统地探讨“复杂有界齐次域”（Complex Homogeneous Bounded Domains）这一在多复变函数理论、几何分析以及微分几何交叉领域占据核心地位的研究对象。我们关注的焦点在于那些在特定复坐标变换下保持几何结构不变性的有界区域，这些区域的代数结构与它们的几何性质之间存在深刻的联系。 复杂有界齐次域不仅仅是欧几里得空间中光滑有界区域的推广，它们更是嵌入在复射影空间 $mathbb{CP}^{n}$ 或更广义的李群中的特殊子流形。理解这些域的内部结构、边界正则性以及它们所作用的自同构群，是现代复分析几何学家必须掌握的基础知识。 本书的叙述建立在坚实的泛函分析、黎曼几何和李群理论的基础之上，同时对复分析的最新进展进行了深入的介绍。我们力求在保持数学严谨性的前提下，清晰地阐述复杂的概念和证明，使得具有扎实的复变函数基础和微分几何背景的读者能够深入理解这一领域的前沿问题。 --- 第一部分：基础概念与代数背景 第一章：复流形与有界域的拓扑 本章首先回顾了复流形的基本定义，包括切丛、规范簇以及典范丛（Canonical Bundles）的概念。随后，我们将重点引入“有界域”的拓扑和解析定义。我们区分了经典意义上的严格凸域（Stricty Convex Domains）与更一般的有界域，如洛布-哈代域（Löwner-Hardy Domains）。 讨论了测度、容量以及域的边界正则性的重要性。边界的“平滑”程度直接决定了自同构群的性质。我们详细分析了域的拓扑不变量，如贝蒂数和陈类，并探讨了这些拓扑量如何受域的几何形状的约束。 第二章：齐次性的代数表述 齐次性的核心在于自同构群。本章将“齐次域”的概念提升到代数层面。一个有界域 $D$ 被称为齐次的，如果其自同构群 $ ext{Aut}(D)$ 作用在其上是可迁的（Transitive）。这意味着对于域中任意两点 $p, q in D$，都存在一个自同构将 $p$ 映射到 $q$。 我们引入了李群理论的工具来分析 $ ext{Aut}(D)$。对于一个齐次域 $D$，其自同构群通常是一个李群。我们利用微分几何中的不动点定理（Fixed Point Theorem）来证明，在一定的正则性条件下，自同构群 $ ext{Aut}(D)$ 必包含一个最大的紧子群 $K$ 和一个非紧的连通部分 $G/K$，其中 $G$ 是一个李群。这引出了著名的齐次域的分类结构：齐次域 $D$ 可以被描述为李群 $G$ 作用在某个完备的、洛伦兹黎曼空间上的商空间。 第三章：经典模型与爱森哈特-卡坦理论 本章回顾了几个具有里程碑意义的经典例子： 1. 单位圆盘与单位球 (The Unit Ball): 经典庞加莱圆盘模型，及其在 $mathbb{C}^n$ 中的推广——庞加莱球（Poincaré Ball）。我们计算了其完整的自同构群，并展示了它是如何由李群 $SU(n, 1)$ 作用产生的。 2. 希尔伯特-爱因斯坦域 (Siegel Domains of the Third Type): 介绍更一般的、由二次型定义的域。 关键在于介绍爱森哈特-卡坦（Eisenhart-Cartan）关于齐次空间的分类理论的复数域推广。我们阐述了如何通过域的齐次性代数——即与自同构群的李代数相关的结构——来完全刻画域的几何形状。这包括对欧几里得边界（Euclidean Boundary）和奇点边界（Singular Boundary）的深入分析。 --- 第二部分：几何分析与度量结构 第四章：齐次域上的自然度量 齐次域的一个重要特征是它们天然地携带着一系列自然的黎曼度量，这些度量与域的自同构群兼容（即是 $G$-不变的）。本章集中讨论以下度量： 1. 庞加莱度量 (Poincaré Metric): 其定义依赖于域的解析结构，特别是其斜率函数（Logarithmic Derivative）。我们推导了庞加莱度量在齐次域上的具体形式，并分析了其曲率特性。 2. 伯格曼度量 (Bergman Metric) 与卡坦-卡塔兰度量 (Cartan-Cartan Metric): 阐述了在齐次域上，伯格曼度量与卡坦度量（基于李代数的Killing形式）之间的深刻联系。在齐次域上，这些度量往往是等价的，或者存在一个明确的比例关系。 我们计算了这些度量的里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature），并展示了曲率如何反映了域的几何复杂性。特别地，对于“强伪凸”（Strongly Pseudoconvex）的齐次域，其边界的结构对手性（Holomorphicity）的敏感程度是度量分析的核心。 第五章：边界行为与伪黎曼几何 齐次域的边界分析是研究其自同构群的突破口。我们深入研究了域边界 $partial D$ 上的泰勒展开和高阶逼近。 唐-奈伦伯格（Tang-Nirenberg）关于边界的正则性结果在本章得到详细阐述。我们关注如何利用边界上的接触结构（Contact Structure）来重建域的整体结构。 引入开普勒-莫雷（Koebe-Moreau）定理的复数域推广，该定理讨论了准共形映射在边界上的扩张性质。对于强伪凸的齐次域，我们展示了边界的$CR$ 结构（Chern-Ricci Structure）是如何被自同构群所保留的，并利用牛顿-赫斯形式（Newton-Hess Form）来分析边界的曲率。 第六章：李群作用与不动点代数 本章回到自同构群 $G = ext{Aut}(D)$ 的李代数 $mathfrak{g}$。我们将 $mathfrak{g}$ 分解为与边界结构相关的子代数： $$ mathfrak{g} = mathfrak{k} oplus mathfrak{p} $$ 其中 $mathfrak{k}$ 是与一个特定边界点相关的稳定子群的李代数，而 $mathfrak{p}$ 是产生域内部“平移”的李代数。我们详细分析了 $mathfrak{p}$ 上的二次型（即度量的限制），这直接决定了域的曲率张量。 通过卡坦对合（Cartan Involution）和赫米特对称空间（Hermitian Symmetric Spaces）的理论，我们证明了所有具有有限自同构群（即 $mathfrak{g}$ 是有限维的）的齐次域，都与某个有限维的赫米特对称空间相关联。对于无限维的情况，我们讨论了与可除域（Domiands of Analyticity）相关的无限维李代数结构。 --- 第三部分：高级主题与应用展望 第七章：与赫米特对称空间的统一分类 本章将本书的核心主题与经典的赫米特对称空间（HSS）理论进行整合。我们证明了：一个强伪凸的复杂有界齐次域 $D$ 总是与某个赫米特对称空间 $D_{HS}$ 的一个特定开子集同构（通过适当的解析映射）。 这涉及到一个关键的构造：卡坦模型（Cartan Model）的建立。我们详细构建了与域 $D$ 对应的李群 $G$ 上的一个轨道模型，并展示了如何利用 $mathbb{Z}_2$-分级（Grading）来简化对 $mathfrak{g}$ 的研究。 第八章：应用：算子理论与量子场论的关联 虽然本书主要聚焦于几何分析，但我们简要探讨了复杂有界齐次域在相关领域的应用： 1. 算子理论 (Operator Theory): 在无限维情形下，齐次域模型（如单位双曲空间）是分析希尔伯特空间上的紧算子和非紧算子的重要背景。 2. 动力系统 (Dynamical Systems): 自同构群的作用可以看作是域上的一个离散或连续的动力系统，其吸引子和排斥子的研究与域的边界性质紧密相关。 3. 几何量化 (Geometric Quantization): 域上的自然度量和它们的曲率信息在弦论和量子场论中，尤其是在边界共形场论（BCFT）的背景下，提供了重要的几何输入。 --- 结论 本书系统地揭示了复杂有界齐次域在几何、代数和分析维度上的丰富结构。通过对自同构群的深入剖析和对自然黎曼度量的计算，我们证明了这些域的分类在很大程度上依赖于它们所关联的李群结构。本书不仅为研究生和研究人员提供了坚实的理论基础，也为探索更广义的非齐次但仍具有特殊对称性的有界域（如准齐次域）的研究铺平了道路。读者在掌握本书内容后，将能够自信地应对多复变函数理论和几何分析中的复杂挑战。 --- 附录： 基础李群和李代数回顾；赫米特对称空间的实例列表。 参考文献： [此处列出关键的经典文献]

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从一个致力于研究算子理论的角度来看，这本书提供了无与伦比的理论资源。书中关于赫尔曼算子在特定积分核上的作用的分析，直接为我目前正在处理的一个边界值问题提供了全新的解题思路。作者在探讨“齐性”如何影响鞅论性质时，引入了一种独特的基于黎曼曲率张量的权重函数，这种方法在其他领域极少被提及，显示出作者的视野之广阔。这本书的阅读难度与其说体现在晦涩的语言上，不如说体现在其极高的专业门槛上，它要求读者不仅要熟悉复几何，还要对李群表示论有深入的了解。它不是那种读完就能在下次会议上马上引用的快餐书，而更像是需要常年置于案边、时不时回去查阅和印证的参考巨著。每一次重读，我都会发现以前忽略掉的微妙关联，每一次都会对某些核心定理的深度有更进一步的领悟，这本书的价值在于其持久的启发性和作为理论基石的稳固性。

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这本书的结构设计，从宏观上看，是一次从一般性到特殊性的优雅降维。它并非简单地罗列定理和证明，而是构建了一个清晰的、自洽的理论框架。最初，作者花了大量篇幅建立起复流形上的不变度量和李群作用的稳定子群理论基础，这部分内容极其扎实，为后续所有关于“有界性”的讨论奠定了不可动摇的基石。随后，当讨论到特定类型的齐性域时，比如那些与正交群或辛群密切相关的域，内容的展开变得富有几何直觉。最让我印象深刻的是关于“超凸性”与“边界正则性”之间微妙平衡的探讨，作者用极其简洁的符号语言描述了一个非常复杂的分析难题，成功地避免了在纯代数描述中常见的繁琐和僵硬感。每一次阅读，都像是打开了一个新的逻辑盒子，里面装着精巧的数学机械装置。唯一美中不足的是，书中对数值计算方法的引用相对较少，似乎更偏向于纯粹的理论构建，对于那些希望将这些理论应用于实际数值模拟的读者来说，可能需要额外参考其他资料来弥补这方面的空白。

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这本《Theory of Complex Homogeneous Bounded Domains》的封面设计简洁到几乎有些冷峻，纯黑的底色上，只有书名和作者的姓名采用了朴素的白色衬线字体，散发出一种不容置疑的学术权威感。然而，当我真正翻开书页，那种预期中的晦涩难懂的数学推导几乎让我心生退意。开篇的章节聚焦于赫尔曼（Hermann）度和范畴论在描述域的边界行为中的应用，内容之密集，信息密度之高，简直如同在攀登一座陡峭的知识悬崖。我花了整整一周的时间才勉强消化了前三章关于洛伦兹群作用下李代数分解的介绍，特别是对于具有非紧对称子空间的齐性域的构造性分类，作者的处理方式极为精妙，几乎没有留下任何逻辑上的可乘之机。书中大量的图表并非那种简单的示意图，而是复杂的多维空间投影，需要读者具备相当扎实的微分几何背景才能领会其深层含义。有一处关于卡坦-波莱尔（Cartan-Borel）子群在复射影空间中作用的论述，其论证过程之丝滑流畅，显示出作者对该领域数十年沉淀的深刻洞察力，绝非易于消化的快餐读物，它更像是为专业研究者精心打磨的一把手术刀，精准而锐利。

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我花了很久才意识到，这本书与其说是关于“域”，不如说是关于“对称性如何塑造复杂结构”的一部史诗。作者的叙事节奏极为克制，不急不躁地引导读者深入到齐性理论的核心。其中关于如何利用共形几何的工具来分析域的劳伦兹（Lorentzian）性质的部分，简直是大师级的处理。他们巧妙地将拓扑学的概念（如覆盖空间）无缝嫁接到了复分析的框架之中，使得那些原本抽象的边界行为变得可以被“观察”和“衡量”。我尤其欣赏作者在处理非紧域的紧化问题时所采取的“双重视角”——既从内部的结构出发，也从外部的紧致包络进行逼近，这两种视角的交织与统一，让整个理论体系展现出惊人的内在美感。阅读过程中，我常常需要暂停下来，在草稿纸上绘制高维空间的截面图，试图具象化书中描述的那些抽象变换。这本书的价值在于，它不仅告诉你“是什么”，更细致地阐述了“为什么是这样”，这是一种对知识的深度挖掘，而非肤浅的罗列。

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我对这本书的期待值本来就很高，毕竟它在业界被誉为这一细分领域的“圣经”之一，但实际阅读体验却远超我的想象——它更像是一次漫长而艰苦的朝圣之旅。初读时，我最大的感受是语言的精确性达到了极致，几乎每一个术语的引入都伴随着对先前已有理论的严谨回顾，使得上下文的关联性异常紧密。特别是关于齐性圆锥（Homogeneous Cones）与洛伊-希尔伯特空间（Roy-Hilbert Spaces）之间映射关系的探讨，作者采用了令人耳目一新的“路径积分”视角来重构经典结果，这种跨越不同数学分支的融合令人拍案叫绝。然而，这种高强度的结构化叙事也带来了阅读上的挑战，你必须保持百分之百的注意力，稍有走神，便可能错过一个关键的定义或一个不起眼的脚注，而这个脚注可能恰恰是理解后续十页定理的关键所在。我发现自己不得不频繁地使用旁注和索引卡片来梳理不同类型的域（如Siegel域、Weil域）之间的拓扑等价性，这本书无疑是为那些已经拥有坚实分析基础的读者准备的深度训练营，对初学者而言，它可能更像是一本充满挑战的“禁书”。

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