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出版者:科学出版社

作者:徐仲

出品人:

页数:248

译者:

出版时间:2011-10

价格:20.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030149992

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矩阵分析与应用前沿 本书旨在为读者提供一个全面而深入的矩阵理论基础，并着重探讨其在现代科学与工程领域中的前沿应用。全书结构严谨，内容覆盖经典理论的精炼概括，以及近年来在数据科学、机器学习、优化控制等方面取得的突破性进展。 第一部分：经典理论的坚实基石 本部分致力于夯实读者对矩阵代数核心概念的理解，为后续的高级主题打下坚实的基础。 第一章：向量空间与线性映射的再审视 本章从更抽象的视角重新审视向量空间的概念，引入有限维与无限维空间的区别。重点阐述了线性映射的结构、核空间与像空间的深刻联系（秩-零化度定理）。我们详细讨论了基的选择对矩阵表示的影响，并引入了同构的概念，强调了不同表示下的内在代数结构的保持性。此外，对双对偶空间进行了深入探讨，为泛函分析的引入做好铺垫。 第二章：矩阵的分解与结构理论 矩阵分解是解决复杂线性系统的核心工具。本章首先详细回顾了初等矩阵和矩阵乘法的几何意义。随后，深入讲解了： 相似变换与特征值理论：不仅讨论了代数重数和几何重数的概念，还重点分析了亏格矩阵（Jordan Canonical Form）的构造及其唯一性。我们探讨了矩阵的指数、对数函数在特征值结构下的定义和性质。 正交分解与最小二乘法：详细介绍了Gram-Schmidt正交化过程，QR分解的数值稳定性优势，以及SVD（奇异值分解）作为最强大的矩阵分解工具的地位。SVD在近似、秩估计和数据压缩中的基础作用被详尽阐述。 Schur分解与Hessenberg形式：对于数值计算的实际需求，本章分析了如何将任意矩阵转化为上三角形式（Schur分解），这是许多迭代算法（如QR算法）的基础。 第三章：二次型与内积空间 二次型是理解矩阵对称性及其几何意义的关键。本章从内积空间的视角出发，定义了正定性、半正定性的严格判据（如合同性、特征值检验）。我们探讨了拉格朗日对角化定理的严谨证明，并将其推广到复数域上的厄米特二次型。此外，本章还引入了张量（Rank-1 Update）的概念，为后续的高维数据结构分析做准备。 第二部分：矩阵分析与稳定性理论 本部分将视角从纯代数转向分析，引入极限、连续性等分析工具，以研究矩阵函数的行为和系统的稳定性。 第四章：矩阵函数与微积分 矩阵函数是微分方程、控制理论中的核心。本章系统地定义了矩阵的指数函数、三角函数和对数函数的收敛性与性质。我们比较了利用泰勒级数展开、Jordan标准型以及拉普拉斯逆变换来计算矩阵函数值的优劣。重点讨论了矩阵函数的微分性质，如矩阵导数和矩阵积分的定义，并探讨了它们在求解常微分方程组中的应用。 第五章：矩阵的不等式与估计 矩阵不等式是评估系统性能和误差界限的有力工具。本章详细梳理了经典的矩阵范数（$L_p$范数、Frobenius范数）及其相互关系。我们深入分析了著名的Hadamard不等式、Minkowski不等式在矩阵乘法上的推广。特别地，本章对Weyl不等式和Perturbation Theory（微扰理论）进行了细致讲解，这对于理解特征值对小扰动的敏感性至关重要。 第六章：广义逆与最小二乘问题 对于奇异或欠定/超定系统，需要使用更广义的逆。本章重点聚焦于Moore-Penrose广义逆（Pseudo-inverse）的性质和计算方法。我们不仅推导了其定义和唯一性，还分析了它在最小二乘解、最小范数解中的核心地位。通过Kronecker积和向量化算子的视角，我们对线性最小二乘问题的几何解释进行了深化。 第三部分：前沿应用与计算方法 本部分面向现代计算的挑战，介绍高效的数值算法和矩阵理论在交叉学科中的实际应用。 第七章：迭代求解与特征值计算 直接求解大型稀疏线性系统往往不可行。本章系统介绍了迭代法的原理： 迭代法的收敛性分析：详细分析了Jacobi, Gauss-Seidel, SOR（超松弛）方法的收敛条件（如对角占优）。 Krylov子空间方法：重点介绍Arnoldi迭代和Lanczos迭代，它们是计算大型矩阵特征值和解线性方程组的基石。我们探讨了关于广义特征值问题的处理方法。 预处理技术（Preconditioning）：讨论了如何通过优化预处理器来加速迭代收敛，这是高性能计算中的关键技术。 第八章：高维数据分析中的矩阵工具 本章探讨了矩阵理论在现代数据科学中的核心作用。 主成分分析（PCA）的矩阵视角：从协方差矩阵的特征分解出发，阐释了PCA如何通过最大化方差来降低维度。 非负矩阵分解（NMF）：分析了NMF在图像处理、文本挖掘中作为一种“parts-based representation”的优势，并讨论了其交替最小二乘（ALS）求解算法。 张量分解：超越了传统矩阵，引入了CP分解和Tucker分解的概念，以处理多维数据结构，如神经影像数据和推荐系统数据。 第九章：矩阵在控制与优化中的角色 本章聚焦于动态系统的分析和最优设计。 Lyapunov稳定性理论：使用Lyapunov函数和矩阵不等式来判断线性定常系统的全局渐近稳定性。我们讨论了Lyapunov方程的求解。 LMI（线性矩阵不等式）：介绍了LMI作为一种强大的数学工具，用于解决涉及矩阵不确定性的控制设计问题，如鲁棒控制和滤波设计。 全书的编写风格注重逻辑的严密性和计算的实用性，力求在理论深度和工程应用之间找到最佳平衡点，为学习者提供一套既可用于理论深造，又可用于解决实际工程问题的矩阵理论知识体系。每一章后的习题设计兼顾了理论推导与数值模拟两方面能力的要求。

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我是一名研究生，需要准备一次关于优化算法的研讨会。这次学习的重点是理解梯度下降法背后的海森矩阵性质。我翻阅了手头几本经典教材，但都觉得涉及最优性条件的章节过于简化或者过于复杂。最终，我转向了这本《矩阵论简明教程》。它在讨论正定矩阵和半正定矩阵时，不仅给出了矩阵特征值的判断标准，还非常巧妙地将这些概念与二次型联系起来，解释了它们在保证函数局部极小值方面的作用。这种结合优化理论的视角，让我对原本纯粹的矩阵代数有了更强的应用感知。书中的习题设计也很有针对性，很多题目都是精心设计的应用型小案例，检验的不是你对公式的死记硬背，而是你对概念的理解深度。这本书的深度和广度拿捏得非常到位，适合作为专业领域学习的坚实理论基石。

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这本《矩阵论简明教程》简直是为我这种对数学望而生畏的人量身定做的。它没有上来就甩出一堆晦涩难懂的定义和定理，而是用一种非常直观、循序渐进的方式引导读者进入矩阵的世界。书里的例子贴近实际，读起来一点也不枯燥。我记得最开始学特征值和特征向量的时候，脑子里总是晕乎乎的，总觉得那些公式和几何意义联系不上。但是这本书里，作者好像读懂了我们这些初学者的心思，用了很多生动的比喻和图示，把抽象的概念具象化了。特别是讲到矩阵的对角化，那种“将复杂问题转化为简单问题的工具”的感觉一下子就清晰了。阅读过程中，我感觉自己不是在啃一本教科书，而是在和一个经验丰富的导师对话，他总是耐心细致地为你扫清每一个知识盲点。这本书的结构安排也特别合理，每章的逻辑衔接都非常自然流畅，让你在不知不觉中就把整个知识体系串联起来了。对于想快速掌握矩阵论核心思想，但又不想陷入过于繁复的理论泥潭的读者来说，这本书绝对是首选。

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我最近正在为一个工业项目梳理数据降维的算法，需要深入理解奇异值分解（SVD）。市面上很多资料要么过于理论化，充斥着大量的泛函分析背景知识，让我难以快速应用；要么就是过于应用导向，只给出了公式，却不深究背后的数学原理。这本书却找到了一个完美的平衡点。它对SVD的推导过程处理得极其精妙，既保证了数学上的严谨性，又在关键步骤加入了大量的直觉解释。我尤其欣赏它在矩阵分解那一章的处理方式，清晰地展示了不同分解方法（如LU、QR、Cholesky）适用的场景和它们的计算复杂度差异，这对于实际工程选择最优算法至关重要。读完这部分，我不仅理解了SVD的计算步骤，更重要的是，我明白了它在信息压缩、推荐系统等领域的核心价值所在。这本书的讲解方式，让那些原本被认为“高不可攀”的现代矩阵应用理论变得触手可及，极大地提高了我的工作效率。

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老实说，我对数学教材的期待值一直不高，很多书要么是干巴巴的理论堆砌，要么就是为了凑篇幅而加入一些不必要的拓展内容，导致主线模糊不清。但《矩阵论简明教程》完全颠覆了我的看法。这本书的叙事风格非常“有人情味”。它仿佛预设了读者可能会在哪里卡住，总能在关键转折点设置小提示或者补充说明。比如讲到行列式时，作者没有直接给出复杂的代数定义，而是从几何上解释了行列式代表的“体积缩放因子”，这种方式极大地增强了学习的趣味性和深度。更值得称赞的是，它对“线性空间”和“线性变换”的讲解，清晰地将代数和几何的联系建立起来，这对于建立稳固的数学直觉至关重要。读完此书，我感觉自己对整个线性代数的内在逻辑有了更深层次的体悟，不再是机械地套用公式。

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作为一个已经工作多年的工程师，重新拾起大学的基础课内容，最大的障碍就是时间成本和知识重构。我需要的是一本能够快速帮我复习和查漏补缺的书，而不是一本需要我从零开始、花费大量时间去理解背景知识的巨著。这本《简明教程》在这方面表现出色。它的篇幅控制得非常好，每一部分的内容都直击要害，没有冗余的叙述。排版也十分清晰，关键定义和定理都用醒目的方式标出，便于快速检索。我最喜欢它在“矩阵范数”和“条件数”那一节的处理——它没有停留在抽象的定义上，而是直接阐述了如何通过这两个指标来评估数值计算的稳定性，这对于我们做数值模拟的来说，比知道范数的具体计算公式重要得多。这本书的价值就在于它能让你在最短的时间内，抓到矩阵论这门学科的“骨架”，并理解其在计算科学中的实用意义。

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唯独最后一章内容最多。。。

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