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出版者:科学出版社

作者:柳柏濂

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:1996-1

价格:28.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030143662

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好的，这是一份针对一本名为《组合矩阵论》的图书的详细简介，内容严格围绕其他相关但并非《组合矩阵论》本身的数学分支展开。 --- 图书名称：离散几何与图谱分析 内容简介 本书深入探讨了离散数学领域中与组合学和线性代数紧密交织的两大核心支柱：离散几何的结构构造与图谱（谱理论）在复杂系统中的应用。全书分为四个主要部分，旨在为具有基础线性代数和基础图论知识的读者构建一座通往高级离散结构分析的桥梁。 第一部分：有限几何与组合设计基础 本部分聚焦于在有限域上构造的几何结构，这些结构是许多组合设计和编码理论的基石。 我们首先回顾有限域 $mathbb{F}_q$ 的代数性质，特别是其构造、扩张域的概念及其在有限几何中的作用。在此基础上，本书详细阐述了射影平面（Projective Planes）和仿射平面（Affine Planes）的存在性与唯一性问题，包括它们如何与特定的群结构相关联。我们将分析构造这些平面所需的笛卡尔坐标系、莫比乌斯几何（Möbius Geometries）以及它们的双对偶性原理。 随后，我们将进入组合设计的领域。重点解析了平衡不完全区组设计（BIBD）的构造方法，包括如何利用有限域上的点集来构建特定的 $ ext{Steiner} 2 ext{-design}$，例如著名的帕克设计（Plackett-Burman Designs）和克莱恩平面（Klein Planes）。我们不仅关注这些设计的存在性条件（如 Kirkman 假设），更深入探讨了它们的参数如何通过拉格朗日乘数法或代数方法进行约束和证明。本部分将大量使用线性代数工具来验证设计的平衡性与正交性。 第二部分：图的谱理论与结构刻画 本部分将图论的分析视角从组合结构转向了矩阵表示后的谱特性。我们不再关注矩阵本身的组合含义（如《组合矩阵论》所探讨的），而是将重点放在图谱（Eigenvalues of Graph Matrices）如何反映和决定图的内在结构。 核心内容围绕着图的邻接矩阵（Adjacency Matrix, $A$）和拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix, $L$）的特征值展开。我们将系统性地推导谱间隙（Spectral Gap）与图的连通性、扩展性（Expanders）之间的关系。对于正则图，我们将探讨其最大特征值与图的直径、覆盖时间之间的关系，并引入 $ ext{Hoffman}$ 边界和 $ ext{Alon}$ 谱边界。 本部分的关键内容是深入分析了图的结构对特征值分布的影响。我们将研究： 1. 强正则图（SRG）的谱特性： 详细分析 SRG 的特征值集合及其重数，并展示如何利用这些谱信息来区分或识别特定的 SRG 结构。 2. 图的分解与谱分解： 研究图的子图、补图、线图（Line Graphs）以及张量积对原图谱的影响。我们探讨了如何通过对拉普拉斯矩阵进行特征分解，来确定图的切割（Cuts）和流（Flows）。 3. 谱图理论的应用： 侧重于扩展器图（Expander Graphs）的构造与应用，特别是利用 $ ext{Ramanujan}$ 图的谱性质来构建高效的通信网络和随机化算法。 第三部分：几何嵌入与度量空间 本部分将离散结构与连续空间的度量特性相结合，探讨如何将图嵌入到更低维的几何空间中，并衡量其失真程度。 我们将引入图的嵌入理论，特别是 $ ext{Bourgoin}$ 嵌入和 $ ext{Johnson-Lindenstrauss}$ 引理在离散数据中的应用。重点分析了图的带宽（Bandwidth）和交叉数（Crossing Number）的优化问题，这些问题本质上是将图的离散结构映射到欧几里得空间中的排列问题。 我们还将详细介绍图的内在维度（Intrinsic Dimensionality）的概念，并利用随机游走（Random Walks）的收敛速度来估计图的有效维度。本书将清晰区分拓扑维度与度量维度，并展示如何通过谱间隙来估计图的费舍尔信息矩阵（Fisher Information Metric）的性质。 第四部分：代数图论进阶：群作用与正则性 最后一部分回归代数方法，但侧重于图的自同构群（Automorphism Group）的作用，而非矩阵本身的组合构造。 本部分的核心是利用群论来分析图的对称性。我们将讨论阿蒂亚（Attia）分类、皮克定理（Pick’s Theorem）在图论中的推广，并专注于正则图和距离正则图（Distance-Regular Graphs, DRG）。对于 DRG，我们将详细分析其参数的三元组结构，以及这些参数如何通过群作用的轨道结构来确定。 读者将学习如何利用 $ ext{Schur}$ 引理和轨道-稳定子定理来计算图的自同构群的大小，并探讨 $ ext{Cayley}$ 图和 $ ext{Cayley}$ 强正则图的特性。本书将展示群表示论如何简化对具有高度对称性的图的分析，例如完美码（Perfect Codes）与特定群结构之间的对应关系。 总结 《离散几何与图谱分析》为读者提供了一个理解复杂离散系统的新视角，它强调了从几何构造、谱分析到群作用的内在联系，是理论计算机科学、网络科学、编码理论及应用数学研究人员的有力工具书。本书的难度适中偏高，要求读者具备扎实的线性代数基础和对抽象结构的清晰理解。

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读完这本书，我才真正理解了“组合”与“矩阵”这两个看似独立的数学分支是如何深度融合的。作者通过精妙的设计，将各种组合对象（如集合、图、序列）转化为矩阵的元素或结构，并通过矩阵的代数运算来研究这些组合对象的性质和关系。这种跨领域的融合，极大地拓展了我解决问题的思路。 我非常欣赏作者在讲解“组合矩阵”的性质时，所采用的类比手法。他将矩阵的某些运算类比为组合过程中的“合并”、“分解”或“计数”，使得原本抽象的数学概念变得生动具体。书中包含的许多算法和证明，都清晰地展示了“组合矩阵论”在实际计算中的优势，例如在图论中高效地计算连通分量或最短路径。

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这本书的价值，在于它提供了一种全新的视角来审视和解决数学问题。在“组合矩阵论”这个框架下，我能够将许多看似不相关的组合问题统一起来，并运用矩阵的强大工具来求解。作者在书中的讲解非常细致，他一步步地引导读者理解矩阵在组合世界中的作用，从简单的计数问题，到复杂的图论和编码理论。 我特别喜欢作者在介绍“特定结构的矩阵”在组合问题中的应用时所举的例子。例如，如何利用特殊的矩阵（如Toeplitz矩阵、Circulant矩阵）来高效地处理具有周期性或递延性质的组合问题。这些例子不仅展示了“组合矩阵论”的强大威力，也让我看到了数学理论如何能够直接应用于工程和计算机科学的实际问题中。这本书的语言流畅，逻辑严谨，让我在享受阅读的同时，也获得了深刻的数学洞见。

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这本书为我打开了一扇通往更广阔数学世界的大门。在阅读的过程中，我不断地惊叹于“组合矩阵论”所蕴含的简洁与力量。作者不仅仅是在介绍理论，更是在传授一种思考问题的方式。他善于从看似复杂的组合现象中提炼出核心的数学结构，并用矩阵这一强大的工具来描述和操作。 我尤其被书中关于“群论与矩阵表示”的章节所吸引。作者展示了如何利用矩阵来表示群的元素和运算，以及如何利用矩阵的性质来分析群的结构。这对于我理解一些抽象代数概念，尤其是对称性在数学和物理中的应用，提供了非常直观的视角。书中提供的练习题也很有深度，能够帮助我巩固所学知识，并激发我进一步探索的兴趣。

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这本书给我的最大感受是，数学理论并非是脱离实际的象牙塔，而是拥有强大生命力和应用潜力的工具。作者在“组合矩阵论”的介绍中，始终没有忘记与实际应用场景的联系。他用大量篇幅阐述了如何利用组合矩阵的性质来解决实际问题，例如在优化问题、统计分析以及计算机科学等领域。 我尤其对书中关于“张量积”在多维组合问题中的应用感到惊叹。作者通过构建高阶张量来表示复杂的多体系统，并利用张量的运算来分析它们的性质。这对于我理解一些大规模数据分析和机器学习中的问题，提供了非常重要的理论基础。这本书的排版也很精良，公式清晰，图示直观，让我能够在一个舒适的环境中进行深入的学习。

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这本书的出现，无疑填补了我知识体系中的一个重要空白。我一直对数据结构和算法抱有浓厚的兴趣，也阅读了不少相关的书籍，但总觉得在某些方面，缺乏一个更宏观、更统一的视角。“组合矩阵论”恰恰提供了这样一个视角。作者将组合数学中的各种对象，如集合、图、排列等，都巧妙地映射到矩阵的维度和结构上，并通过矩阵的运算来解决复杂的组合问题。这是一种非常强大的思维工具。 我尤其被书中关于“生成函数”与矩阵的联系所吸引。作者深入浅出地讲解了如何利用矩阵来表示和计算生成函数，以及如何通过矩阵的特征值和特征向量来分析组合序列的渐近行为。这对于我理解一些复杂的计数问题，比如Catalan数、Fibonacci数的性质，提供了全新的理解角度。书中的案例非常贴切，从排列、组合到图论，再到更抽象的代数结构，都展现了“组合矩阵论”的普适性和威力。

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坦白说，一开始我对“组合矩阵论”这个概念并不熟悉，甚至有些陌生。但这本书的文字风格非常亲切，就像是一位经验丰富的老师，耐心地引导着我去探索这个新领域。作者并没有直接进入高深的理论，而是从一些基础的组合概念开始，比如二项式定理、鸽巢原理等，然后逐步引入矩阵的概念，并展示它们之间的联系。 我最喜欢的是作者在讲解“子集计数”时使用的方法。他将所有可能的子集通过一个二进码来表示，然后构建一个特殊的矩阵，通过矩阵的运算来直接计算具有特定属性的子集数量。这种将组合对象转化为数字表示，再通过代数工具进行处理的方式，让我耳目一新，也看到了“组合矩阵论”在解决实际问题中的巨大潜力。书中还包含了一些关于图论和网络分析的应用，这些都与我日常工作中接触到的领域息息相关，因此读起来也格外有启发性。

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我曾经接触过一些偏向纯粹代数理论的数学书籍，它们往往逻辑严谨，但阅读起来稍显枯燥。“组合矩阵论”则不然，它在保持数学严谨性的同时，融入了大量的组合思想和应用场景，使得阅读体验非常愉快。作者似乎非常懂得如何激发读者的好奇心，他总是能在一个看似寻常的组合问题中，找到引入矩阵理论的绝佳切入点。 例如，在介绍“置换群”时，他没有直接给出抽象的群论定义，而是从对物体进行各种排列组合的实际操作出发，然后展示如何用矩阵来表示这些操作，以及矩阵乘法如何对应于这些操作的复合。这种从具象到抽象的引导方式，让我这个非数学专业出身的读者也能轻松理解。书中的例子覆盖了从简单的计数问题到复杂的编码理论，让我看到了“组合矩阵论”的广泛适用性。

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这本书的开篇就以一种极具吸引力的方式，将我带入了一个我从未想象过的数学世界。它没有枯燥的定义堆砌，而是通过生动形象的比喻和引人入胜的案例，逐步揭示了“组合矩阵论”这个概念的深邃内涵。作者并非直接抛出复杂的理论，而是先从一些看似简单的组合问题入手，例如排列组合、图论中的连通性等，然后巧妙地将这些问题转化为矩阵的形式。我特别喜欢作者在介绍第一个核心概念时使用的“乐高积木”的比喻，他将不同的组合对象比作不同形状的乐高积木，而矩阵则像是一个可以容纳和组织这些积木的平台。这个比喻一下子就让我明白了矩阵在组合问题中的核心作用——它提供了一种结构化的方式来表示和操作各种复杂的组合关系。 而且，作者在阐述过程中，还穿插了许多历史故事和科学发现的背景，这使得学习过程更加生动有趣。我了解到，许多看似现代的数学理论，其根源可以追溯到古代文明的智慧，而“组合矩阵论”也并非凭空出现，而是无数数学家长期探索的结晶。通过这些历史的视角，我不仅理解了理论本身，更感受到了数学发展的脉络和魅力。例如，在讲解矩阵乘法在图论中的应用时，作者详细介绍了它们如何帮助解决网络流量、路径规划等实际问题，甚至还提到了在早期计算机科学中的运用。这种跨学科的融合，让我对“组合矩阵论”的实用价值有了更深刻的认识。

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初读这本书，我最大的感受就是其严谨又不失灵动。作者在数学表达上追求精确，每一个公式、每一个定理的推导都清晰无比，逻辑链条严丝合缝，让人不由自主地跟随他的思路前行。但同时，他又擅长运用图形、表格以及各种生动的例子来辅助理解，使得那些抽象的数学概念变得触手可及。我特别欣赏他对“矩阵变换”的解释，他没有停留在代数运算层面，而是将其与几何空间的旋转、缩放、剪切等操作联系起来，让我看到了矩阵背后蕴含的几何意义。 这本书并非仅仅是理论的罗列，它更注重培养读者的数学思维。作者在每一章的结尾都会设置一些挑战性的问题，这些问题不仅是对本章内容的巩固，更是对读者分析能力和创造性思维的锻炼。我花了大量时间去思考这些问题，有时甚至会尝试用不同的方法去解决，在这个过程中，我感觉自己的数学能力得到了显著的提升。而且，作者还鼓励读者去探索，去发现新的规律，这种开放式的学习态度，让我对“组合矩阵论”产生了更浓厚的兴趣。

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这不仅仅是一本关于数学的书，更是一本关于如何用数学工具解决问题的书。作者在书中反复强调了“模型化”的重要性，即如何将现实世界中的问题转化为数学模型，然后运用“组合矩阵论”的理论和方法来求解。他以一系列精心挑选的案例，生动地展示了这一过程。 我印象特别深刻的是，书中关于“图的邻接矩阵”在计算路径数量方面的应用。作者通过矩阵乘法，解释了如何快速计算图中长度为k的路径数量，并且还拓展到了更高层次的应用，比如在社交网络中分析节点之间的连接强度和传播路径。这种将抽象的数学概念与实际应用紧密结合的方式，极大地激发了我学习的动力。这本书的逻辑非常清晰，从基础概念到高级应用，循序渐进，使得学习过程既有挑战性，又不至于过于晦涩。

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这个领域仅有的几本参考书之一

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需要图论基础，看不懂