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出版者:科学出版社发行部

作者:孟道骥

出品人:

页数:201

译者:

出版时间:2007-12

价格:30.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030177353

丛书系列:大学数学科学丛书

图书标签:

• 数学
• 代数
• 群表示论
• 其余代数5
• QS
• 2011
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• 群论
• 数学教材

代数结构与抽象代数的基石：群论与线性代数交织的深度探索 本书深入剖析了代数结构中两个核心分支——群论与线性代数——的精妙结合，尤其侧重于线性代数工具在理解和描述群结构方面的强大效能。全书旨在为读者构建一个坚实的理论框架，使之能够熟练运用向量空间、矩阵变换等概念，来分析和分类抽象群的内部构造。 第一部分：群论基础的重申与深化 本部分首先回顾了群论的基本定义、重要概念，如子群、陪集、正规子群、商群，以及同态与同构。但与标准群论教材不同的是，本书迅速将讨论导向了那些与向量空间密切相关的结构。 1.1 抽象群的初探与关键实例： 从基本群（如循环群、二面体群、对称群）的定义出发，我们强调了这些群在几何变换中蕴含的结构意义。重点讨论了群作用的概念，即将群元素视为对某个集合进行的操作，为后续引入表示论中的“空间”奠定了基础。 1.2 群的子结构分析： 对Sylow定理的探讨被置于更广阔的代数背景下，着重分析有限 $p$ 群的中心结构和正规系列。我们引入了幂零群（Nilpotent Groups）的概念，并展示了它们如何通过一系列中心因子群（即商群的中心）被分解，这与线性代数中对角化矩阵的思路形成了深刻的类比。 1.3 直积与半直积： 本书详细区分了直积（Direct Product）和半直积（Semi-direct Product）。半直积的引入至关重要，它揭示了群结构中“外积”的可能性，即一个群如何通过一个特定的同态作用于另一个群之上。理解半直积的构造，是理解非交换群分解的关键步骤。 第二部分：线性代数工具箱的构建与应用 本部分专注于读者必须熟练掌握的线性代数知识，并将其提升到可以应对代数结构分析的高度。我们不满足于基础的行列式和特征值，而是深入探讨了算子（Operator）的性质。 2.1 向量空间与线性变换的本质： 复习了有限维向量空间、基、维数、内积空间等概念。重点放在了线性变换 $ ext{Hom}(V, W)$ 上的运算，特别是这些变换在特定基选择下的矩阵表示。 2.2 算子的结构分解： 这是理解后续表示论的核心技术。本书详尽阐述了 Jordan 标准型理论。我们不仅介绍了若尔当块的结构，更强调了该理论在描述线性算子在特定基下“最简洁”形式上的重要性。我们探讨了算子是否可以对角化的问题，并引入了最小多项式和特征多项式之间的深刻联系。 2.3 模（Modules）的初步概念： 虽然本书的主题聚焦于群的表示，但为了提供更广阔的代数视野，我们引入了模的概念，即将向量空间推广到一般的环或代数上的对象。这使得群的表示（群作用在线性空间上）可以被视为一种特殊的模结构，从而为读者理解更一般的代数结构打下基础。 第三部分：线性代数对群的“眼睛”——从群到线性空间的桥梁 本部分是全书的理论核心，探讨如何将一个抽象的群 $G$ 嵌入到线性变换的集合中，从而利用线性代数的丰富工具来研究 $G$ 本身的性质。 3.1 什么是群的表示（Representation）： 本书定义了群的表示 $ ho: G o ext{GL}(V)$，即从群元素到可逆线性变换的同态映射。我们清晰界定了表示空间 $V$ 和表示 $ ho$ 本身。 3.2 等价表示与可约性： 两个表示被视为等价（或相似），如果它们仅在基的选择上有所不同。引入等价关系，并以此为基础定义了可约表示（Reducible Representation）——即存在一个子空间，使得所有群元素在该子空间下保持不变（即“不变子空间”）。 3.3 不可约表示与分解： 如果一个表示没有非平凡的不变子空间，则称之为不可约表示（Irreducible Representation）。我们证明了任何有限群的表示都可以被分解为其不可约表示的直和，这如同将一个复杂的矩阵通过相似变换化为分块对角矩阵。这一分解过程极大地简化了对群结构的分析。 第四部分：对有限群表示的定量分析 本部分侧重于对有限群不可约表示的计数、维数和性质的精确描述。 4.1 完全可约性与半简单性： 本书详细证明了完全可约性（Completely Reducible）的定理，特别是在复数域上。对于一个群 $G$，如果其特征（即域的素数与群的阶的关系）不整除群的阶，则其所有表示都是完全可约的。这与线性代数中矩阵可以被对角化的条件有着直接的联系。 4.2 同态与同构的限制： 我们研究了 Schur 引理，该引理提供了对不可约表示之间映射的强有力限制。它揭示了在代数闭域上，任意两个不可约表示之间的线性映射要么是零映射，要么是双射。这为区分不同的不可约表示提供了代数标准。 4.3 维度的约束： 通过群的阶与不可约表示维度的关系，我们推导出了一系列关于群结构的深刻结论。例如，群的阶等于其所有不可约表示维数的平方和。 第五部分：特征标理论的威力 特征标（Character）被引入作为研究群表示的一种更“经济”的工具，它只关注表示矩阵的迹（Trace）。 5.1 特征标的定义与基本性质： 特征标 $chi(g) = ext{Tr}( ho(g))$ 具有与群元素相关的代数数值。我们探讨了特征标如何继承表示的同态结构，例如 $chi(g^{-1}) = overline{chi(g)}$（在复数域上）。 5.2 共轭类与特征标的联系： 本书的关键发现是特征标的数量恰好等于群的不可约表示的数量，并且特征标的线性无关性构成了判断两个表示是否等价的强大判据。我们详细构建了特征标表（Character Table），展示了它如何直接编码了群的共轭类结构以及群阶的分解信息。 5.3 特征标的正交性关系： 这是特征标理论的基石。本书深入推导了两个正交性关系（即对不同不可约特征标的内积为零，对同一不可约特征标的内积为一）。这一代数工具的使用，使得从特征标表重建群结构成为可能。 结语：从抽象到具象的统一 全书贯穿始终的主线是：利用向量空间（线性代数）的几何和算术性质，来精确描述和分类抽象群（群论）的内部构造。 通过对表示的分解和对特征标的分析，读者将掌握一套强大的数学工具，能够以前所未有的清晰度“看穿”有限群的复杂表象，并理解其与线性变换之间不可分割的联系。本书的最终目标是培养读者将代数对象几何化的思维方式。

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《有限群表示论》是一本能够真正激发读者数学创造力的书籍。我非常喜欢书中对于“顶点代数”和“张量积”的讲解。作者并没有将这些概念作为独立的数学分支来介绍，而是将其巧妙地融入到表示论的语境中，展示了它们在理解和构造更复杂的表示时的巨大威力。例如，书中对于如何通过张量积来构造新的表示，以及如何从一个已知表示中提取出新的不可约表示，进行了非常详尽的阐述。这种方法让表示的构造过程变得不再是盲目的尝试，而是有章可循的数学运算。我记得书中有一个章节专门探讨了“对称群”的表示，特别是如何利用Young图来描述和计算对称群的不可约表示。Young图这种几何化的方法，极大地简化了抽象的代数计算，让我能够直观地理解对称群的表示结构。作者通过大量的图示和具体的例子，将抽象的代数概念具象化，使得学习过程更加生动有趣。此外，书中对“群的自同构”如何影响其表示的讨论，也给我留下了深刻的印象。作者展示了，通过研究群的自同构，我们可以更深入地理解群的内部结构，以及这些结构如何映射到其表示空间。读完这本书，我感觉自己不仅掌握了表示论的工具，更重要的是，我学会了如何运用这些工具去探索和发现新的数学规律。

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《有限群表示论》这本书的魅力在于其深刻的哲学思考。作者不仅仅是在传授知识，更是在引导读者去思考数学的本质。我非常欣赏书中对于“群表示的分类”这一主题的探讨。作者并没有简单地列出各种类型的表示，而是深入分析了不同类型表示之间的联系和区别，以及它们是如何相互转化的。例如，书中对于“不可约表示”和“可约表示”的区分，以及“齐次表示”和“非齐次表示”的概念，进行了非常清晰的界定。让我印象深刻的是，书中在讲解“诱导表示”时，引入了“特殊子群”的概念。这个概念的引入，不仅使得诱导表示的构造更加具体，也揭示了子群结构在表示论中的特殊地位。作者通过对不同子群性质的分析，展示了它们如何影响表示的性质，以及如何利用这些性质来简化表示的计算。此外，书中关于“表示的模”和“表示的维度”之间的关系的讨论，也让我豁然开朗。作者通过严谨的推导，证明了表示的维度不仅仅是一个数字，而是蕴含着深刻的代数信息。读完这本书，我感觉自己对数学的理解上升到了一个新的高度，我不仅仅是在学习数学，更是在与数学进行对话。

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《有限群表示论》这本书的结构设计非常精巧，它能够引导读者一步步地深入理解抽象的数学概念。我非常欣赏书中对于“群代数”的全面阐述。作者并没有将群代数作为一个独立的数学分支来介绍，而是将其自然地融入到表示论的语境中，展示了群代数如何成为理解表示理论的核心。例如，书中在讲解“群代数的结构”时，详细阐述了它与群本身之间的深刻联系，以及这种联系如何体现在表示的性质上。让我印象深刻的是，书中在探讨“表示的构造”时，引入了“直和”的概念。这种将不同的表示组合成新的表示的方法，极大地丰富了表示的种类，也揭示了群本身的复杂性。作者通过对直和的性质的分析，展示了如何从已知的表示中构造出新的表示，以及这些新的表示如何能够揭示出群本身的结构。此外，书中关于“表示的性质”和“表示的计算”之间的关系的讨论，也让我受益匪浅。作者通过大量的例子，展示了如何利用群的结构来计算其表示，以及这些计算如何能够揭示出群本身的性质。读完这本书，我感觉自己不仅仅掌握了表示论的工具，更重要的是，我学会了如何用数学的语言去思考和解决问题。

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《有限群表示论》是一本能够真正提升数学思维的书籍。我非常喜欢书中对于“特征标理论”的深入挖掘。作者并没有将特征标视为一个孤立的概念，而是将其与表示的性质、群的结构紧密地联系在一起。例如，书中在讲解“特征标的性质”时，详细阐述了它们如何满足正交关系，以及这些关系如何能够用来计算表示的维数和判断表示的不可约性。让我印象深刻的是，书中在探讨“群的表示和几何”时，引入了“球谐函数”的概念。这种将抽象的代数概念与具体的几何对象联系起来的方法，极大地增强了学习的趣味性和直观性。作者通过对球谐函数的分析，展示了有限群的表示如何能够描述旋转、对称等几何变换，以及这些表示在物理学中的应用。此外，书中关于“表示的分解”和“表示的性质”之间的关系的讨论，也让我受益匪浅。作者通过大量的例子，展示了如何利用群的结构来分解其表示，以及这些分解如何能够揭示出群本身的性质。读完这本书，我感觉自己不仅掌握了表示论的工具，更重要的是，我学会了如何用数学的语言去描述和理解世界。

评分☆☆☆☆☆

《有限群表示论》这本书的价值在于，它能够激发读者对数学的深刻洞察。我非常喜欢书中对于“特征标理论”的深入探索。作者并没有将特征标视为一个孤立的概念，而是将其与表示的性质、群的结构紧密地联系在一起。例如，书中在讲解“特征标与群的阶数”时，详细阐述了它们之间存在的深刻联系，以及这些联系如何能够用来计算表示的维数和判断表示的不可约性。让我印象深刻的是，书中在探讨“群的表示和算术”时，引入了“模p”的概念。这种将抽象的代数概念与具体的数论对象联系起来的方法，极大地增强了学习的趣味性和直观性。作者通过对模p的分析，展示了有限群的表示如何能够描述数论中的对称性，以及这些表示在数论中的应用。此外，书中关于“表示的性质”和“表示的计算”之间的关系的讨论，也让我受益匪浅。作者通过大量的例子，展示了如何利用群的结构来计算其表示，以及这些计算如何能够揭示出群本身的性质。读完这本书，我感觉自己不仅仅掌握了表示论的工具，更重要的是，我学会了如何用数学的语言去描述和理解世界。

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在浩瀚的数学文献海洋中，《有限群表示论》无疑是一颗璀璨的明珠，它以一种近乎艺术的方式，将抽象的群论概念与直观的线性代数工具巧妙地融合在一起。我第一次翻开这本书时，就被其严谨的逻辑和深刻的洞察力所折服。作者不仅仅是简单地罗列定理和证明，而是通过一系列精心设计的例子和生动的类比，带领读者一步步深入理解表示论的精髓。初学者可能会被书中充斥着的希腊字母和复杂的矩阵运算所吓倒，但请相信，只要你能坚持下去，耐心研读，书中蕴含的数学之美定会让你茅塞顿开。这本书的优点在于，它始终紧扣“表示”这一核心概念，从最基础的定义出发，逐步构建起一个完整的理论体系。例如，书中对特征标理论的阐述，我至今记忆犹新。作者并没有急于引入复杂的计算，而是先从表示的性质入手，例如不可约表示的完备性，以及它们的维数如何与群的阶数相关联。这种由表及里的讲解方式，让我能够更深刻地理解特征标为何是如此强大的工具，它不仅能够区分不同的表示，还能揭示群结构本身的奥秘。尤其是书中关于“基表示”的讨论，更是让我对表示论的应用有了全新的认识。作者通过具体的例子，如对称群的表示，展示了如何利用群的结构来构建和分类其表示，并进一步探讨了这些表示在物理学、化学等领域中的实际应用。读完这本书，我感觉自己仿佛获得了一把解锁隐藏在复杂现象背后数学规律的钥匙，这种感觉是难以言喻的。

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《有限群表示论》这本书给我的感觉是，它不仅仅是一本教材，更像是一份数学的“百科全书”。我特别欣赏书中对于“群代数”的深入讲解。作者并没有将群代数作为一个孤立的数学对象来处理，而是将其自然地融入到表示论的框架中，展示了群代数如何成为理解表示理论的关键。例如，书中在讲解“群代数的可约性”时，详细阐述了如何利用群的性质来判断其群代数是否可约，以及这些可约性与表示之间的关系。让我印象深刻的是，书中在探讨“表示的构造”时，引入了“群环”的概念。这种将群的运算转化为代数运算的方法，极大地简化了表示的构造过程。作者通过对群环的性质的分析，展示了如何从已知的表示中构造出新的表示，以及这些新的表示如何能够揭示出群本身的结构。此外，书中关于“表示的性质”和“表示的计算”之间的关系的讨论，也让我受益匪浅。作者通过大量的例子，展示了如何利用群的结构来计算其表示，以及这些计算如何能够揭示出群本身的性质。读完这本书，我感觉自己不仅仅掌握了表示论的工具，更重要的是，我学会了如何用数学的语言去思考和解决问题。

评分☆☆☆☆☆

《有限群表示论》这本书给我带来的最大感受是，它是一本能够真正点亮数学思维的书籍。我非常喜欢书中对于“特征标的性质”的深入探讨。作者并没有将特征标视为一个孤立的概念，而是将其与表示的性质、群的结构紧密地联系在一起。例如，书中在讲解“特征标的正交性”时，详细阐述了它们如何满足正交关系，以及这些关系如何能够用来计算表示的维数和判断表示的不可约性。让我印象深刻的是，书中在探讨“群的表示和几何”时，引入了“旋转群”的概念。这种将抽象的代数概念与具体的几何对象联系起来的方法，极大地增强了学习的趣味性和直观性。作者通过对旋转群的分析，展示了有限群的表示如何能够描述旋转、对称等几何变换，以及这些表示在物理学中的应用。此外，书中关于“表示的性质”和“表示的分类”之间的关系的讨论，也让我受益匪浅。作者通过大量的例子，展示了如何利用群的结构来分类其表示，以及这些分类如何能够揭示出群本身的性质。读完这本书，我感觉自己不仅仅掌握了表示论的工具，更重要的是，我学会了如何用数学的语言去描述和理解世界。

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作为一名对代数结构充满好奇心的读者，《有限群表示论》为我打开了一个全新的世界。这本书的伟大之处在于，它不仅仅是一本技术性的教科书，更是一部关于数学思想的深度探索。书中对“诱导表示”的讲解，是我认为最精彩的部分之一。作者并没有直接给出诱导表示的构造方法，而是先通过“商群”的概念，引出“子群”在表示中的作用。然后，再将这种思想延伸到“诱导”这个操作上，清晰地解释了如何从子群的表示构建出整个群的表示。我至今仍然记得书中关于诱导表示和限制表示之间关系的“ वेळी-麦基定理”，这个定理的证明过程虽然复杂，但作者的讲解非常到位，每一个步骤都经过了细致的论证。这个定理深刻地揭示了群与其子群之间的表示理论之间的内在联系，让我对群的子结构如何影响其整体表示有了更深刻的理解。此外，书中对“二次剩余”和“群的中心”在表示论中的作用的讨论，也给我留下了深刻的印象。作者通过具体的例子，展示了这些看似简单的代数概念，如何在表示理论中扮演着至关重要的角色。例如，群的中心元素是如何作用于表示的，以及这些作用的性质如何反过来揭示出群的结构。读完这本书，我感觉自己不仅仅学会了如何计算和分析群的表示，更重要的是，我学会了如何从更抽象的层面去思考数学问题。

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《有限群表示论》这本书的结构安排堪称典范，它层层递进，逻辑严密，几乎没有多余的篇幅。我个人尤其欣赏书中对于“群代数”的处理。作者并没有将群代数作为一个独立的章节来讲解，而是将其自然地融入到表示论的论述中，使得群代数成为理解表示理论的内在逻辑。这种处理方式的好处在于，它避免了读者在理解表示理论时产生“孤立感”。通过将群的运算转化为群代数中的乘法运算，书中清晰地展示了群的结构如何反映在群代数的结构中，进而又如何通过表示的定义，将这种代数结构映射到线性空间中。我记得书中有一个章节专门探讨了“模”的概念，这在许多初学表示论的书籍中可能被简化或一带而过。然而，《有限群表示论》却对此进行了深入细致的讲解，它不仅定义了模的概念，还详细阐述了模与表示之间的对应关系，以及自由模、投射模等概念在表示论中的作用。作者通过反复的推导和解释，让我理解了为什么模的结构能够如此直接地反映出表示的性质。这本书的语言风格非常清晰，虽然内容深奥，但作者总是用最准确的数学语言来描述，同时又不失一定的可读性。例如，在讲解Maschke定理时，作者并没有止步于证明其正确性，而是深入探讨了其含义，即任何有限群在特征为零的域上的表示都可以分解为不可约表示的直和。这一结论的重要性不言而喻，它为后续的特征标理论和表示分类奠定了坚实的基础。

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很容易

评分☆☆☆☆☆

我真心不喜欢这样的书籍，完全不能理解他在是否讲的数学，我还以为是符号学，定理之后还是定理，这就是国内传统数学作者，仅仅把定理做一个编排，而不讲述其背后的意思，

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很容易

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