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出版者:Springer

作者:Thomas Banchoff

出品人:

页数:308

译者:

出版时间:1993-9-10

价格:USD 74.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387975863

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 代数
• S_统计学习
• 线性代数
• 几何
• 向量空间
• 矩阵
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• 特征值
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• 应用数学

深入理解线性代数：从代数结构到几何直觉的桥梁 书名：《深入理解线性代数：从代数结构到几何直觉的桥梁》 作者： [此处留空，暗示作者为领域专家] 出版社： [此处留空，暗示专业学术出版社] --- 导言：超越公式的代数世界 线性代数，作为现代数学和应用科学的基石，其重要性不言而喻。然而，许多学习者在初次接触这门学科时，往往会陷入纯粹的符号操作和矩阵运算的泥沼，难以建立起对向量空间、线性变换以及行列式背后深刻几何意义的直观理解。本书的宗旨，正是要弥合这种代数形式与几何直觉之间的鸿沟，为读者构建一座坚实的桥梁，使他们能够真正“看见”代数运算的几何内涵。 我们相信，只有当读者能够将抽象的向量空间想象成多维空间中的点和线，将矩阵乘法理解为空间的形变（旋转、拉伸、投影），线性代数的学习才会真正变得富有洞察力和创造力。 第一部分：向量空间的基石与内在结构 本书的开篇聚焦于线性代数最核心的概念——向量空间。我们不会停留在 $mathbb{R}^n$ 的二维或三维直观想象中，而是会深入探讨任意域上向量空间的抽象定义及其性质。 1. 什么是向量？重新定义基础 我们从向量的代数定义出发，随后迅速过渡到向量空间公理的严格阐述。重点讨论子空间的概念，以及如何通过生成集和线性无关性来界定子空间的边界。我们花费大量篇幅探讨了线性组合的力量，并将其与物理学和工程学中的叠加原理紧密联系起来。 2. 基与维度：空间的坐标系 维度是如何确定的？本书将基的选取视为在向量空间中建立一套“坐标系”的过程。我们详细分析了基变换的内在机制，解释了为什么不同基下的坐标表示不同，而向量本身所代表的几何对象却保持不变。基的选取是理解坐标无关性，即线性代数概念的本质属性的关键所在。 我们会深入探讨同构的概念，展示不同看似不同的向量空间（例如多项式空间与函数空间）在结构上是如何等价的。 3. 四大基本子空间：矩阵的骨架 对于任何线性变换（由矩阵 $A$ 表示），其背后隐藏着四个至关重要的子空间：列空间（Column Space）、零空间（Null Space）、行空间（Row Space）和左零空间（Left Null Space）。本书将这四个子空间视为矩阵的“几何骨架”。我们运用直观的几何语言，解释了它们如何相互正交（通过弗雷德霍姆替代定理的几何解读），以及它们如何共同决定了线性方程组 $Amathbf{x}=mathbf{b}$ 的解的存在性和结构。秩-零度定理不再是一个孤立的公式，而是关于信息输入和信息损失的几何平衡。 第二部分：线性变换的几何视角 线性变换是线性代数的灵魂。本书将矩阵视为作用于空间上的“几何操作者”，而非仅仅是数字的排列。 4. 矩阵的本质：空间形变 我们详细分析了标准基上的线性变换如何通过矩阵的列向量直接定义。矩阵乘法被清晰地解释为变换的复合——一个变换接一个变换，空间如何被连续地扭曲、拉伸或旋转。我们强调了可逆性的几何意义：一个可逆变换是一个保持维度、不将空间“压扁”的形变。 5. 行列式：体积的缩放因子 行列式（Determinant）的几何解释是本书的亮点之一。我们摒弃了繁琐的代数定义，而是将其直接定义为线性变换对体积（或面积）的缩放因子。对于二维空间，它是面积的改变比；对于三维空间，它是体积的改变比。行列式为零意味着体积被压缩成了零维（一个平面、一条线或一个点），从而几何上解释了矩阵的奇异性。我们还将行列式与外积（Exterior Product）的几何意义进行了初步的联系。 6. 特征值与特征向量：空间的“轴线” 特征值和特征向量是理解动态系统和稳定性分析的关键。我们将特征向量定义为在特定线性变换作用下，方向不发生改变的特殊向量——它们是空间变换的“不变轴线”。特征值则量度了这些轴线上发生的拉伸或压缩的程度。通过特征分解，我们将复杂的矩阵运算分解为在这些固有轴上的简单缩放操作，极大地简化了对高维系统的理解。 第三部分：正交性与几何投影 正交性是构建稳定、高效结构的基石。在几何中，垂直关系是最简洁、最稳定的关系。 7. 内积空间与正交性 本书将内积推广到任意向量空间，使其成为衡量两个向量之间“角度”或“投影”的通用工具。我们深入探讨了欧几里得空间的几何特性，并将其应用于更抽象的空间（如函数空间，通过积分定义内积）。 8. 正交基与最小二乘法 正交基和规范正交基（Orthonormal Bases）因其简化计算和增强数值稳定性的特性而备受推崇。我们展示了如何利用格拉姆-施密特过程（Gram-Schmidt Process）从任意基构建正交基，从而简化投影计算。最小二乘法不再是求解超定方程组的“技巧”，而是寻找向量空间中一个点到子空间投影的几何问题——即寻找“最近的”解。 9. 对称矩阵与主轴定理 对称矩阵在几何上具有特殊意义：它们代表的线性变换对应的变换轴线（特征向量）总是相互正交的。我们详细阐述了谱定理（Spectral Theorem），它保证了任何线性形变都可以被分解为一系列正交的旋转和平移（拉伸），这在主成分分析（PCA）等降维技术中起着核心作用。 第四部分：从抽象到应用——结构与联系 最后一部分将视角从纯粹的几何和代数结构扩展到更广泛的应用领域，展示线性代数的普适性。 10. 张量与多线性映射的几何直觉 在讨论了向量和线性映射之后，我们引入了张量的概念，将其视为多线性形式的自然延伸。张量被赋予了描述空间中更复杂几何关系的能力，例如曲率和应力。我们通过将张量视为多重内积的推广，帮助读者建立起对高阶结构的基本直观认识。 11. 线性代数在微分几何中的萌芽 我们简要地展示了线性代数如何作为理解微积分中局部线性的工具。在光滑曲面上，切平面（一个向量空间）上的线性近似就是对曲面局部行为的线性代数描述，为读者衔接高等数学奠定了坚实的基础。 总结：构建你的几何直觉 本书的读者群体包括对数学本质有深刻追求的本科生、研究生，以及需要夯实基础以应对数据科学、工程和物理学挑战的专业人士。我们避免了过度依赖繁复的代数证明，而是将精力集中在为什么这些代数工具如此强大——因为它们精确地捕捉了我们对空间、形变和投影的几何直觉。学完本书，读者将不再仅仅是会计算行列式和解方程组的“计算员”，而是能够用几何语言思考和设计复杂系统的“空间架构师”。

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我一直认为，学习数学的关键在于理解概念的本质，而不仅仅是掌握解题技巧。在这一点上，《Linear Algebra Through Geometry》这本书做得非常出色。它巧妙地将线性代数中的抽象概念与直观的几何图形联系起来，让学习过程变得更加生动有趣。我尤其欣赏书中对向量空间的描述，它不仅仅是定义了向量的加法和标量乘法，更重要的是通过几何的视角，将向量空间描绘成一个无限延伸的“场地”，向量就像这个场地中的“点”或者“箭头”，而向量的运算则对应着场地中的“移动”和“缩放”。这种直观的理解，让我轻松地掌握了线性无关、基、维度等重要概念。书中对线性方程组的几何解释也让我印象深刻，它将方程组的解集看作是几何空间中的一个子集，并解释了系数矩阵的行空间、零空间与解的存在性、唯一性之间的关系。这种几何化的解读，让原本枯燥的代数问题变得易于理解和记忆。这本书不仅仅是一本教科书，更像是一位经验丰富的向导，带领我深入探索线性代数的美妙世界，让我能够用几何的眼睛去“看见”数学的真谛。

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我是一个对数学的视觉化呈现情有独钟的人，所以《Linear Algebra Through Geometry》这本书对我来说简直是福音。它不仅仅是在文字上讲解概念，更是在潜移默化中引导读者去“看见”数学。书中大量的插图和图形，并非简单的辅助，而是构成理解数学概念不可或缺的一部分。我记得在学习行列式时，除了它作为系数矩阵的乘法和除法属性的体现，书中还将其几何意义描绘成了由一组基向量张成的平行体的体积（或面积），这种视觉化的解释，瞬间让我理解了行列式为什么不能为零——因为一旦为零，就意味着基向量共面（或共线），无法张成一个具有体积（或面积）的空间。类似地，当讲解线性映射的核（Kernel）和像（Image）时，书中用图形展示了向量是如何被映射的，以及哪些向量会被映射到零向量，哪些向量的集合构成了映射的像空间。这种方式极大地降低了理解难度，也让我对这些概念的理解更加深刻和牢固。它让我意识到，数学的美丽，往往就隐藏在那些精心设计的图形和直观的几何解释之中。

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作为一名对数学有着浓厚兴趣的学生，我一直在寻找一本能够将线性代数中的抽象概念与直观的几何理解相结合的书籍。《Linear Algebra Through Geometry》无疑满足了我的这一需求。这本书没有回避线性代数中一些核心的理论和证明，但它以一种极其巧妙的方式，通过几何的语言来解读这些抽象的数学原理。例如，书中对于矩阵的讲解，不仅仅将其视为一串数字，更是将其看作一种几何变换的载体，通过旋转、剪切、缩放等直观的图形来解释矩阵乘法的意义。这使得我在理解线性变换的复合时，能够拥有非常清晰的几何图像，而不是仅仅停留在代数运算的层面。我特别喜欢书中对特征值和特征向量的几何解释，它揭示了特征向量在进行线性变换时保持方向不变的特性，而特征值则代表了向量在这些方向上的伸缩因子。这种几何化的理解，让我能够更深刻地把握矩阵的内在含义，并为我在处理相关问题时提供了宝贵的直觉。这本书不仅仅教授了知识，更重要的是培养了我一种用几何的思维方式去理解和解决数学问题的能力。

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这是一本真正能够“看见”数学的书。我一直觉得，如果学习数学只是在纸上写写画画，那未免太过枯燥乏味。而《Linear Algebra Through Geometry》这本书，则通过其精妙的几何解释，让我仿佛拥有了一双“透视眼”，能够穿透那些冰冷的符号，直达数学概念的内在本质。《Linear Algebra Through Geometry》这本书，在讲解线性代数中的核心概念时，总是会辅以直观的几何图像和变换。比如，在介绍向量空间时，作者并没有仅仅停留在集合和运算的抽象定义上，而是将其具象化为几何空间中的“点”和“方向”，向量的加法变成了“路径的连接”，标量乘法变成了“方向的伸缩”。这种将抽象概念转化为具体视觉化的过程，极大地降低了我的理解门槛，也让我对线性代数中的许多定理和性质有了更深刻的洞察。尤其是我对书中关于子空间的讲解印象深刻，它不仅仅介绍了子空间的代数性质，更通过图形展示了子空间在几何空间中的形态，如直线、平面等，以及向量在子空间内的“运动”轨迹。这让我明白了为什么有些向量的集合能够构成一个子空间，而有些则不能。这本书的价值在于，它教会了我如何用几何的语言去思考和理解代数问题，为我的数学学习开启了一扇全新的大门。

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我必须说，这本《Linear Algebra Through Geometry》彻底改变了我对矩阵的看法。以往，面对一堆数字组成的矩阵，我总是觉得它们只是复杂的计算工具，其内在含义晦涩难懂。然而，这本书巧妙地将矩阵的运算，如矩阵乘法、矩阵的转置、矩阵的求逆等，都与几何变换联系了起来。例如，矩阵作为线性变换的代表，其乘法对应于多个几何变换的复合，这种理解方式比纯粹的代数推导要直观得多。我能清晰地看到，一个旋转矩阵乘以另一个旋转矩阵，就相当于先执行一个旋转，再执行另一个旋转。书中对坐标系变换的讲解也尤为精彩，它揭示了矩阵如何改变我们观察向量和空间的方式，而这一切都离不开几何的支撑。尤其是对矩阵的特征值和特征向量的几何解释，让我对矩阵的“不变方向”有了深刻的理解。通过对相似矩阵和对角化过程的几何阐释，我明白了如何通过改变基来简化线性变换，使之在新的坐标系下呈现出最简单的形式，例如，将一个复杂的旋转加缩放变换，通过找到其特征向量作为新的基，就能将其表示为一个简单的对角矩阵，这在实际应用中具有巨大的意义。这本书让我体会到，数学的深刻之处往往蕴藏在直观的几何图像之中，而线性代数恰恰是连接代数抽象与几何直观的一座重要桥梁。

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当我开始阅读《Linear Algebra Through Geometry》这本书时，我并没有抱太高的期望，因为我之前学习线性代数时，总是感觉自己像是在和一堆枯燥的符号打交道，缺乏一种融会贯通的感觉。然而，这本书的出现彻底改变了我的看法。它将线性代数从纯粹的代数演算提升到了一个全新的几何层面。我发现，当作者用几何的语言来解释向量空间的结构时，我能够立刻理解为什么某个操作是合法的，或者某个性质为何成立。例如，关于线性无关性的概念，书中并没有仅仅给出代数定义，而是通过展示一组向量是否能够“独立”地张成一个空间，是否可以通过线性组合来表示空间中的任何一点，来帮助我们建立直观的理解。这种几何的视角，让我能够轻松地理解维度、基变换等概念，并体会到它们在几何空间中的实际意义。书中对线性变换的讲解也尤其出色，它将矩阵视为一种几何变换，并通过旋转、剪切、缩放等图像来解释矩阵乘法的含义，这比死记硬背代数运算要有效得多。这本书不仅仅是传授知识，更重要的是培养了我一种用几何直觉去理解抽象数学概念的能力，这对我未来的学习至关重要。

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我曾几何时对线性代数感到过畏惧，因为它总是充斥着大量的符号和抽象的定义，让我觉得脱离了实际的意义。直到我遇到了《Linear Algebra Through Geometry》这本书，我才真正开始领略到线性代数的美妙之处。这本书巧妙地将线性代数的抽象概念与几何直观紧密地结合起来，让学习过程充满了发现的乐趣。我非常欣赏书中对向量空间的概念的几何化阐述，它将向量空间描绘成一个无限延伸的“画布”，向量则是在这个画布上的“点”或“箭头”。向量的加法和标量乘法，也都被赋予了清晰的几何意义，例如平移、伸缩等等。这种直观的理解，使得我对基、维度、线性无关性等概念有了深刻的认识。书中对线性方程组的讲解也同样令人称道，它将方程组的解集视为几何空间中的一个子集，并清晰地阐述了系数矩阵的行空间、零空间与解的存在性和唯一性之间的几何关系。这种从几何角度审视代数问题的能力，让我在解决复杂的线性代数问题时，能够更加游刃有余，也激发了我对数学探索的更深层次的兴趣。

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这是一本令人着迷的书，它用一种我从未想过的方式将线性代数的核心概念与几何直觉紧密地联系起来。在很多传统的线性代数教材中，向量、矩阵、线性变换这些概念往往被描绘成抽象的符号和代数运算，虽然最终能够推导出正确的答案，但却常常让人感觉脱离了它们最初的几何意义。而这本书，则完全颠覆了我的这种感受。它开篇就从点、线、面的几何关系出发，循序渐进地引入了向量空间的概念，让我能够直观地理解向量的加法、数乘如何对应于几何上的平移、伸缩，以及向量的线性组合如何构成一个空间。尤其让我印象深刻的是，书中对基、维度、线性无关性等概念的阐述，不再是生硬的定义和证明，而是通过旋转、投影等几何变换，清晰地展示了这些概念的几何意义。例如，当解释线性无关性时，作者并没有仅仅依赖于行列式不为零这样的代数条件，而是通过几个向量能否“张成”一个区域，或者它们是否能够通过线性组合来表示空间中的每一个点，来帮助我们建立起直观的理解。即使是像特征值和特征向量这样看似抽象的概念，在书中也被赋予了鲜明的几何解释——它们代表了线性变换作用下保持方向不变的向量，以及对应的伸缩因子，这使得我们在处理实际问题时，更容易抓住问题的本质。这本书的数学严谨性与几何洞察力完美结合，让我对线性代数这门学科有了全新的认识，也激发了我进一步探索的兴趣。它不仅仅是一本教科书，更像是一位经验丰富的向导，引领我在线性代数的几何世界中自由翱翔。

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对于我这样一个喜欢探究事物本质的学生来说，《Linear Algebra Through Geometry》提供了一种前所未有的视角。我一直认为，学习数学不仅仅是为了掌握解题技巧，更重要的是理解数学概念背后的逻辑和意义。这本书在这方面做得非常出色。它没有回避线性代数中的一些核心定理和证明，但却用几何的语言来解读这些抽象的证明过程。例如，当书中讨论线性方程组的解空间时，它会将解空间描绘成一个几何集合，如直线、平面或更高维度的子空间，并解释系数矩阵的行空间、零空间与方程组解的存在性和唯一性之间的关系。这种几何的具象化，让原本枯燥的代数推导变得生动有趣，也更容易记忆和理解。我特别喜欢书中关于子空间的概念，它通过对向量加法和标量乘法在子空间内的封闭性进行几何描述，让我能够清晰地理解为什么某些向量的集合可以构成一个子空间。书中对向量投影的讲解也是一大亮点，它将投影视为在某个子空间上的“最近似”表达，这在数据分析和机器学习等领域有着广泛的应用。这本书教会了我如何用几何的语言来思考代数问题，也让我体会到，数学的统一性在于不同分支之间深刻的内在联系。

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我一直认为，数学的魅力在于其严谨的逻辑和抽象的美感，而《Linear Algebra Through Geometry》这本书则完美地展现了线性代数中这两者是如何通过几何直觉得以统一的。这本书并没有回避线性代数中一些相对复杂的证明和定理，但它总是能够用清晰的几何语言来辅助解释，使得抽象的数学原理变得容易理解和消化。例如，在讲解矩阵的秩（rank）时，书中将其与由矩阵的列向量（或行向量）张成的子空间的维度联系起来，并用图形直观地展示了列空间和行空间是如何由一组线性无关的向量构成。这种几何化的解释，让我能够更深刻地理解矩阵的“有效”维度，以及它在变换中的作用。此外，书中对线性映射的核（kernel）和像（image）的讨论，也充满了几何的智慧。它通过展示向量在映射下如何被“压缩”到零向量，以及映射后的向量所能达到的“范围”，来帮助读者建立起对这些重要概念的直观认识。这本书让我体会到，几何不仅仅是线性代数的一个应用领域，更是理解线性代数核心思想的一把钥匙。它让我能够用一种更加全面和深刻的方式去学习和掌握线性代数。

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