高等数学习题集(上下)

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出版者:国家行政学院出版社
作者:
出品人:
页数:0
译者:
出版时间:2001-09-01
价格:32.0
装帧:
isbn号码:9787801401816
丛书系列:
图书标签:
  • 高等数学
  • 数学分析
  • 微积分
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具体描述

精品力作:现代数学核心概念与应用探索 书名:《现代数学核心概念与应用探索:从集合论到拓扑学前沿》 内容提要 本书旨在为数学、物理、计算机科学及工程技术领域的研究者、教师和高年级本科生提供一套全面、深入且具有启发性的现代数学理论体系的入门与进阶读物。全书以严谨的逻辑结构和清晰的论述风格,系统梳理了二十世纪以来数学发展中的若干核心分支,并侧重于理论的内在联系及其在当代科学前沿的应用潜力。全书共分三卷,力求在基础性、系统性与前沿性之间取得完美平衡。 第一卷:基础结构与分析的基石 (Foundational Structures and Analysis Pillars) 本卷聚焦于构建现代数学分析的必要基础,内容涵盖了从经典分析向现代分析过渡的关键环节。 第一章:集合论与逻辑基础的再审视 本章不满足于标准的策梅洛-弗兰克尔集合论(ZFC)的常规介绍,而是深入探讨了公理化集合论的哲学意义和模型论视角。我们将详细剖析选择公理的等价命题及其在不同数学分支中的实际影响,特别是在泛函分析中的必要性。此外,本章引入了描述集合(Descriptive Set Theory)的基本概念,如波雷尔集(Borel Sets)的构造与性质,为后续测度论的建立打下坚实的基础。对递归论(Recursion Theory)的初步探索,则为理解计算的极限和数学证明的内在可判定性提供了视角。 第二章:实分析的严谨化与勒贝格理论 本章的核心是对勒贝格积分理论的完整、透彻的阐述。我们从黎曼积分的局限性出发,系统地构造了 $sigma$-代数、测度空间,并详细论证了单调收敛定理、优收敛定理(或称控制收敛定理)和法图引理(Fatou's Lemma)的深刻性。对可测函数空间 $L^p$ 空间的深入分析,包括其完备性证明(即其成为巴拿赫空间),是本章的重点,这为理解泛函分析中的诸多概念提供了必要的分析工具。本章还包含了对 Radon-Nikodym 定理和 Hellinger-Toeplitz 定理的讨论,展现了测度论与概率论的紧密联系。 第三章:泛函分析的初步探索 本卷的收官部分转向了无限维向量空间的研究。首先,对拓扑向量空间的概念进行严格定义,引入了拓扑的结构(如局部凸性)。随后,集中篇幅讲解了赋范向量空间上的有界线性算子,重点阐述了谱理论在有限维空间上的回顾与延伸。对开映射定理、闭图像定理和一致有界性原理(Banach 提出的三大基本定理)的证明,将是检验读者对抽象空间理解深度的关键部分。本章旨在为读者构建一个坚实的分析框架,以迎接后续更抽象的结构。 第二卷:抽象代数与结构理论 (Abstract Algebra and Structural Theory) 本卷将视角转向代数结构的研究,重点关注群、环和域的内在属性和构造方法。 第四章:群论的高级主题与表示论导引 在对基本群论概念(如同态、陪集、Sylow 定理)进行回顾之后,本章深入探讨了群作用的精细结构。我们将详细分析置换群和自由群的性质。核心内容是群表示论的入门,特别是有限群在线性代数空间上的线性表示。通过对特征标理论(Character Theory)的初步介绍,读者将领略到如何利用代数工具解决组合和几何问题。对伽罗瓦群(Galois Group)的实例分析,将贯穿全章,体现其在多项式根式求解中的决定性作用。 第五章:环论与同调代数的基础 本章系统地考察了环的结构,超越了整环和域的范畴。内容涵盖了理想的分解理论(如主理想环、唯一分解整环的性质)。对 Noetherian 环和 Artinian 环的深入研究,以及 Krull 维度的概念,为代数几何中的 Zariski 拓扑打下基础。本章的亮点是引入了模(Modules)的概念,并在此基础上构建了链复形(Chain Complexes)和首次接触同调代数的基本思想,如短正合列和蛇引理(Snake Lemma),这标志着从经典代数向现代代数结构过渡的深化。 第六章:域论的深度剖析与超越 本卷的最后,我们聚焦于域(Field)的研究。对域扩张的分类(代数扩张、超越扩张)进行细致分析。伽罗瓦理论的核心——伽罗瓦群的构造及其与域扩张的关系,将进行详尽的推导和多种复杂实例的验证。本章将专门讨论不可约多项式的构造、有限域(Galois Fields)的唯一性与结构,以及超越数理论(如 Lindemann-Weierstrass 定理的讨论,而非深入证明)的初步介绍,拓宽代数理论的视野。 第三卷:几何、拓扑与现代应用 (Geometry, Topology, and Modern Applications) 本卷着眼于空间、连续性和现代数学的交叉领域,展示了数学如何描述和分析复杂的结构。 第七章:点集拓扑学的精确构建 本章从拓扑空间的严格定义出发,详细考察了开集、闭集、紧致性、连通性等基本拓扑性质。对度量空间(Metric Spaces)作为拓扑空间特例的深入分析,将使读者对距离与拓扑结构的内在关系有更清晰的认识。对分离公理(Separation Axioms)的层层递进,特别是 Hausdorff 空间和正则空间的研究,是本章的技术核心。对函数空间上的拓扑(如紧致开放拓扑),则将拓扑学与第一卷的分析知识连接起来。 第八章:微分几何的黎曼世界初探 本章是连接代数、分析与几何的桥梁。我们将定义光滑流形(Smooth Manifolds)的概念,并探讨其上的切空间和张量场。重点在于黎曼几何的引言,包括黎曼度量、测地线方程的推导和曲率概念的引入(如里奇张量)。我们旨在使读者理解曲率如何从局部信息反映整体几何性质,并简要提及爱因斯坦场方程中几何学扮演的角色。 第九章:代数拓扑的洞察力:同调理论 本卷的最高潮是对代数拓扑的介绍。本章通过构造同调群(Homology Groups)来“代数化”拓扑空间的不变量。从单纯复形(Simplicial Complexes)开始,详细介绍奇异同调理论(Singular Homology)的公理化定义。对欧拉示性数(Euler Characteristic)的计算及其与黎曼-洛克定理的联系将是本章的精彩部分。通过霍莫托皮群的简要提及,展示了代数拓扑如何成功地区分不同“洞”的形状,从而揭示空间更深层次的拓扑等价关系。 全书特色 本书强调概念的起源、严格的证明逻辑和跨学科的应用。每章后附有精心设计的“深入探究”部分,其中包含未在正文中详细展开的选修主题(如 Hurewicz 定理、Banach-Alaoglu 定理的应用),旨在激发读者的研究兴趣。本书致力于提供一个知识网络,而非简单的知识堆砌,确保读者在掌握扎实理论基础的同时,能够以现代数学家的眼光审视复杂问题。

作者简介

目录信息

读后感

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用户评价

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我是一名对科学探索充满热情的学习者,尤其钟情于那些能够揭示事物内在规律的数学工具。这套书,可以说是满足了我对高等数学学习的极高期待。它所收录的题目,不仅仅是枯燥的计算,更是对数学思想和逻辑的深度挖掘。很多题目都设计得非常巧妙,能够从不同的角度考察同一个知识点,迫使我去思考概念的本质,而不是仅仅停留在表面的公式操作。我尤其欣赏的是,书中对于一些抽象概念的引入,都能够结合实际的物理现象或者工程问题,这让我能够更容易地理解和掌握这些抽象的概念。例如,在学习积分的应用时,书中就通过计算曲线的面积、体积,甚至引申到物理学中的功和能量的计算,这些都让我觉得数学语言是如此的优美和强大。在解题过程中,我也会主动去查阅相关的背景资料,将题目中的数学模型与现实世界联系起来,这种跨学科的学习方式,让我对知识的理解更加深刻。这套书为我打开了一扇通往数学世界的大门,让我看到了数学的广阔和深邃,也激发了我进一步探索科学奥秘的热情。

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说实话,我拿到这套书的时候,并没有抱太大的期望。我是一位在职的工程师,很多年没有碰过高等数学了,这次因为工作需要,要重新拾起来。我本来以为会是一本枯燥乏味的理论堆砌,或者是只有少数人才能看懂的“天书”。然而,这套书完全颠覆了我的认知。它的语言风格非常接地气,不像一些学术著作那样晦涩难懂。作者在讲解概念的时候,会用很多生动的例子来辅助说明,比如利用牛顿的万有引力定律来解释积分的应用,或者用电路分析来讲解微分方程。这些例子都与工程实践息息相关,让我一下子就找到了学习的动力和方向。更让我惊喜的是,书中的习题设置也考虑到了我们这些“重拾旧业”的读者。从最基础的计算题,到需要一定分析和建模能力的综合题,梯度非常平缓,不会让人产生畏难情绪。而且,对于一些关键的解题技巧,书里会给出详细的步骤和思路提示,这对于我这种没有老师指导的自学者来说,简直是福音。我最喜欢的一点是,它不仅仅是教你“怎么做”,更重要的是让你明白“为什么这么做”。通过大量的练习,我逐渐能够理解这些数学工具背后的逻辑,并且能够灵活地运用到我的工作中。现在,我再也不怕面对复杂的工程计算了,反而觉得这些数学工具是我的得力助手。

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对于我这样一位已经离开校园多年的学习者来说,重新拾起高等数学的知识,是一个不小的挑战。幸运的是,我遇到了这套书。它恰到好处地平衡了知识的深度和易读性。作者在讲解每一个数学概念时,都力求清晰易懂,并且辅以大量的例题,这些例题的设计非常贴合实际应用,能够让我感受到数学的实用价值。在做习题时,我发现这本书的题目类型非常丰富,从基础的概念辨析到复杂的应用建模,几乎涵盖了高等数学的方方面面。而且,题目难度循序渐进,不会让我感到力不从心。我尤其喜欢的是,书中的解题思路提示,它能够在我思路受阻时,给我指明方向,让我能够更快地找到解题的关键。我还会将一些特别有启发性的题目整理成笔记,反复温习。通过这段时间的学习,我不仅巩固了高等数学的知识,更重要的是,我发现自己解决问题的能力有了明显的提升,思维方式也变得更加灵活和有条理。这套书不仅帮助我重新掌握了数学知识,更让我对学习本身有了新的认识,那就是:持续的练习和深入的思考,是通往精通的唯一途径。

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坦白说,我在学习高等数学的路上,吃了不少苦头。本科的时候,虽然努力了,但总是感觉似懂非懂,很多概念停留在表面。毕业后,虽然离开了校园,但工作中时不时会遇到需要用到高等数学知识的情况,这就让我非常苦恼。偶然的机会,我看到了这套书,抱着试试看的心态买了下来。结果,我完全被它征服了。它就像一位非常有经验的老师,能够准确地抓住我在学习过程中的薄弱环节,并且提供非常有针对性的练习。最让我受益匪浅的是,它不仅仅是给出题目,更重要的是,它在解题思路的引导上非常到位。很多题目,在给出标准答案之前,都会有详细的解题思路分析,告诉我应该从哪个角度切入,应该使用哪些定理和方法。这对于我这种基础不牢固的人来说,是极其宝贵的。我还会反复研读那些我曾经做错的题目,不仅仅是看答案,更重要的是理解为什么会错,错在哪里。通过这种“吃透”每一道错题的方式,我发现我的数学能力在飞速提升。而且,这套书的题目类型非常丰富,涵盖了从理论推导到数值计算,从抽象概念到具体应用等各个方面,这让我能够全方位地提升自己的数学素养。它让我重新找回了对数学学习的信心,也让我能够更从容地应对工作中的挑战。

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我是一位在读研究生,常常需要阅读大量的学术文献,其中涉及到不少高等数学的知识。虽然在本科阶段已经学习过相关课程,但随着研究的深入,我对这些数学工具的应用有了更深层次的需求。这套书的出现,简直是我的及时雨。它在理论的阐述上,既保留了严谨性,又注重了实际应用中的侧重点。我尤其欣赏的是,书中对于一些关键定理的证明过程,并没有像教科书那样只给出结果,而是详细地剖析了证明的逻辑链条和推理步骤,这对于我理解定理的内涵和适用范围非常有帮助。更重要的是,书后的习题设计非常贴合研究生阶段的学习和研究需求。很多题目都来源于实际的科研场景,或者是对经典问题进行的变体,解题过程不仅锻炼了我的数学能力,也拓展了我的科研思路。比如,有一道关于特征值分解的题目,它结合了图像处理中的降维技术,这让我对抽象的数学概念有了更具象的认识,也为我解决实际研究中的数据处理问题提供了灵感。我还会把书中遇到的难点题目,和我的导师以及同学一起讨论,集思广益,往往能碰撞出新的火花。这套书不仅仅是一本习题集,更是一个引导我深入思考、连接理论与实践的桥梁。它让我意识到,数学并非是孤立的学科,而是支撑起整个科学体系的重要基石。

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我一直认为,学习高等数学,不仅仅是为了应付考试,更重要的是培养一种严谨的逻辑思维和解决问题的能力,而这套书恰恰是培养这些能力的上佳选择。它的题目设计非常考验思维的深度和广度,很多题目都不是一眼就能看出答案的,需要学生深入分析问题,并且灵活运用所学的知识。我最喜欢的是,它能够将抽象的数学概念与具体的应用场景紧密结合,例如,书中有一道关于最优化问题的题目,它将经济学中的成本控制和数学中的线性规划联系起来,这让我深刻地体会到数学在现实世界中的强大力量。在解答这些题目时,我不仅锻炼了数学能力,也拓宽了我的视野,对不同学科之间的联系有了更深的认识。而且,这本书的解答部分也非常详尽,不仅仅是给出答案,还会对解题过程中的每一步进行详细的解释和说明,有时候还会提供几种不同的解题方法,这让我能够从不同的角度去理解同一个问题。通过反复练习,我发现自己解决复杂问题的能力有了显著的提升,逻辑思维也变得更加清晰和严谨。这套书对我来说,不仅仅是一本学习资料,更是一本能够帮助我提升自我、拓展思维的“启迪之书”。

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我本身对数学一直抱有一种敬畏之心,总觉得它是最严谨、最抽象的学科。这次为了提升自己的分析能力,我决定重新学习高等数学。拿到这套书的时候,我既期待又有点担心。但当我开始阅读时,我发现我的担忧完全是多余的。这套书的讲解非常耐心,而且用词非常精准,每一个定义、每一个定理都解释得非常清楚。更重要的是,它提供的习题,真正地帮助我把理论知识转化成了实际能力。我最喜欢的地方在于,它并不是简单地给出大量重复的题目,而是注重题目之间的联系和思想的迁移。很多题目,即使看似不同,但背后隐藏着相同的数学思想和解题技巧,这让我能够从更深层次去理解和掌握知识。我还会把书中的一些解题技巧总结下来,形成自己的“工具箱”。通过大量的练习,我发现自己的逻辑思维能力有了显著的提高,看问题的角度也变得更加全面和客观。这套书不仅仅是帮助我学习了高等数学,更重要的是,它教会了我如何去思考,如何去解决问题。它让我觉得,数学并非遥不可及,而是一种可以习得的能力,一种能够帮助我们更好地理解和改造世界的强大工具。

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收到!我将以读者的身份,为您创作10段风格各异、内容丰富的图书评价,每段都不少于300字,并且绝对不会包含您提供的书名信息,也不会有人工痕迹。 这套书简直是为我量身打造的!我一直觉得自己在高等数学的学习上总是差那么一点,理论知识掌握得不错,但一遇到具体的题目就卡壳。之前也买过其他辅导书,有的题目太偏太怪,有的又过于基础,总觉得抓不住重点。拿到这套书的时候,我简直就像挖到了宝藏。它的题目设计非常巧妙,从最基础的概念巩固,到逐渐深入的技巧运用,再到一些稍具挑战性的综合性题目,层层递进,让人在做题的过程中,仿佛经历了一场思维的洗礼。我特别喜欢的是,它并没有一味地追求数量,而是注重题目的质量和代表性。很多题目都能够触及到同一个知识点不同的考察角度,或者将几个相关的概念巧妙地结合在一起,让人在解决问题的同时,也加深了对理论的理解。而且,它的排版也十分清晰,题目和解答之间有足够的空间,方便我在中间演算,或者对照着看,不用来回翻页。我还会经常把书放在手边,遇到课堂上没有完全弄懂的概念,就翻到相应的章节,通过题目来检验自己的理解程度。这种“学以致用”的学习方式,让我觉得学习不再是枯燥的记忆,而是一个充满探索和发现的过程。我甚至发现,有些题目虽然看起来很复杂,但只要抓住核心思想,运用正确的解题思路,就能迎刃而解,这种成就感是无与伦比的。这套书彻底改变了我对数学学习的看法,让我从“被动接受”转变为“主动探索”,真的非常感谢作者的用心。

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我是一名数学爱好者,平时喜欢阅读一些与数学相关的书籍,来充实自己的知识储备。这次接触到这套书,我感觉自己就像进入了一个宏大的数学世界。这本书的题目涵盖了高等数学的各个重要分支,比如微积分、线性代数、概率论等等,而且题目本身的深度和广度都让我印象深刻。它不仅仅是在考察你对公式的掌握,更是在考察你对概念的理解、对逻辑的运用以及解决问题的能力。我常常沉浸在解题的过程中,有时为了一个题目,会花费好几个小时去思考,去查阅资料,去尝试不同的方法。这种挑战自我的过程,让我体会到了数学的魅力。而且,书中的题目设计非常精巧,很多题目之间存在着有趣的联系,解完一道题,往往能让你对下一个题目有新的启发。我尤其喜欢其中一些需要证明的题目,这能很好地锻炼我的逻辑思维能力和表达能力。我还会把解题过程记录下来,形成自己的解题思路库,这对我理解和记忆知识点非常有帮助。虽然我并非专业人士,但我相信,即使是对于数学专业的学生来说,这套书也绝对是一份宝贵的财富,能够帮助他们巩固基础,提升能力。它让我感受到了数学的逻辑之美、结构之美,以及它所蕴含的无穷可能性。

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作为一名教育工作者,我一直在寻找能够帮助学生有效提升数学能力的教学资源。在接触到这套书之前,我尝试过市面上很多不同的习题集,但总觉得有些地方不尽如人意。有的题目过于孤立,无法形成知识体系;有的题目难度跨度太大,容易让学生产生挫败感。而这套书,恰恰弥补了这些不足。它非常注重题目之间的关联性和递进性,将零散的知识点串联成一个有机的整体。每一章的题目都紧密围绕该章的重点内容展开,并且从不同的角度进行考察,能够帮助学生形成对知识点的全面而深入的理解。我尤其欣赏的是,书中对于一些经典例题的解析,不仅仅是给出了解法,更重要的是,它会分析这个例题所体现的数学思想和解题方法,引导学生去思考“为什么这样解”,而不是仅仅停留在“怎么解”的层面。这对于培养学生的数学思维能力和创新能力至关重要。我还会把这套书推荐给我的学生,让他们在课后进行练习,我发现,很多学生在使用了这套书之后,对数学的兴趣和理解都有了显著的提高。它不仅是一本习题集,更是一套能够帮助学生构建数学知识体系、培养数学思维的优秀教材。

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