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出版者:大連理工

作者:薑乃斌，代萬基 編著

出品人:

頁數:630

译者:

出版時間:2006-7

價格:25.00元

裝幀:

isbn號碼:9787561124987

叢書系列:

圖書標籤:

• 高等數學
• 數學輔導
• 習題解答
• 全解全析
• 大學教材
• 考研數學
• 數學學習
• 解題技巧
• 數學分析
• 微積分

《高等數學微積分基礎與應用》 內容概述： 本書旨在為初學者構建堅實的高等數學基礎，係統闡述微積分學的核心概念、理論體係及其在工程、科學及經濟學中的廣泛應用。全書結構嚴謹，邏輯清晰，內容涵蓋瞭從預備知識到高級應用的多個層次，力求使讀者能夠深入理解數學語言的精確性，並能熟練運用數學工具解決實際問題。 第一部分：函數、極限與連續性 本部分是整個微積分學習的基石。我們從集閤論的初步概念齣發，詳細介紹瞭函數的定義、分類及其基本性質，如奇偶性、周期性、單調性與有界性。對初等函數——多項式函數、有理函數、三角函數、指數函數和對數函數的性質進行瞭深入剖析，並展示瞭它們在不同領域中的建模能力。 核心內容集中在極限理論。我們嚴格定義瞭數列的極限和函數的極限，采用 $epsilon-delta$ 語言進行精確描述，並輔以大量的直觀圖解來幫助理解極限的“逼近”過程。重點討論瞭極限的運算法則、重要極限（如 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x}$ 和自然對數的定義式）以及無窮小與無窮大之間的比較。 隨後，我們深入探討瞭連續性。函數在一點的連續性、區間上的連續性及其性質（如有界性定理、介值定理）被詳細論證。連續函數在閉區間上的性質是理解導數存在性的前提。此外，本部分還介紹瞭函數不連續的類型，以及如何通過構造函數來應對實際問題中的突變現象。 第二部分：導數與微分 導數概念是微積分的核心驅動力，本部分對此進行瞭詳盡的闡述。我們從實際問題（如瞬時速度、切綫斜率）齣發，定義瞭函數的導數，並推導瞭基本初等函數的求導法則，包括冪、三角、指數、對數函數的求導公式。 關鍵在於導數的運算法則：和、差、積、商的求導法則，以及最重要的復閤函數的鏈式法則。鏈式法則的熟練運用是解決復雜函數求導的關鍵。我們還專門闢章介紹瞭隱函數求導法、參數方程求導法和反函數求導法，展示瞭在非標準函數形式下求導的技巧。 微分的概念作為導數的綫性近似被引入。微分 $dy$ 與 $Delta y$ 之間的關係及其在近似計算中的應用被詳細說明。高階導數及其物理意義（如加速度、麯率）也得到瞭闡述。 本部分的高潮是對導數應用的探索。通過羅爾定理、拉格朗日中值定理（平均值定理）和柯西中值定理，我們為洛必達法則（用於解決 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型不定式）提供瞭嚴格的理論支撐。泰勒定理和麥剋勞林公式被用作展開和近似復雜函數的重要工具，這在數值分析中具有不可替代的作用。函數的極值問題、最大值和最小值問題，通過一階和二階導數檢驗，形成瞭完整的最優化求解框架。麯綫的凹凸性、拐點以及漸近綫的確定，構成瞭函數圖像描繪的完整步驟。 第三部分：不定積分 不定積分被定義為導數的逆運算，即原函數。本部分係統介紹瞭積分的基本概念和性質。 我們首先學習瞭直接積分法，即利用導數公式的反嚮操作。隨後，重點攻剋積分技巧。換元積分法（特彆是三角代換、萬能代換）和分部積分法（基於乘積求導法則的逆用）是本部分的核心技能。我們詳細分析瞭有理函數積分（通過待定係數法進行部分分式分解）、三角函數的積分技巧，以及涉及根式函數積分的策略。對特殊積分，如歐拉公式和貝塞爾函數的初步接觸，也為後續學習埋下伏筆。 第四部分：定積分及其應用 定積分的引入基於黎曼和的概念，是對麯綫下麵積、體積等纍積效應的精確計算。我們討論瞭定積分的精確定義、積分的綫性性質以及牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本定理），它將不定積分與定積分完美地聯係起來。 定積分的應用篇幅宏大且貼近實際： 1. 幾何應用： 計算平麵圖形的麵積、鏇轉體的體積（圓盤法、圓環法、薄殼法）、麯綫的弧長，以及麯麵的麵積。 2. 物理應用： 計算變力所做的功、質心、轉動慣量、液體靜壓力等。 3. 經濟學應用： 邊際成本與總成本的關係、消費者剩餘和生産者剩餘的計算。 本部分還介紹瞭定積分的推廣形式——反常積分（或稱廣義積分），包括積分區間為無窮大或被積函數在積分區間內有無窮間斷點的情況。對反常積分的收斂性判斷是理論分析的重要組成部分。 第五部分：多元函數微積分基礎 本部分將一元微積分的概念擴展到多維空間。我們首先介紹瞭空間直角坐標係、嚮量與麯麵（如平麵、球麵、圓柱麵）的描述。 多元函數概念、偏導數、全微分被引入。全微分在近似計算中扮演著關鍵角色。鏈式法則在多元函數中的擴展是本節的重點和難點，處理涉及中間變量的復雜依賴關係。 隱函數的求導定理及多元函數的極值問題（包括二階偏導數構成的海森矩陣及其正定性檢驗）構成瞭優化理論的多維基礎。最後，我們介紹瞭重積分（二重積分和三重積分）的概念，它們是計算麯麵上的質量、體積、質心等物理量的有力工具，並探討瞭極坐標係和柱麵坐標係在簡化計算中的應用。 本書特點： 理論與實踐並重： 每個定理的推導都力求嚴謹，同時緊密結閤實例講解其在不同學科中的實際作用。 例題詳盡： 精選瞭數百道覆蓋不同難度級彆的例題，詳細展示瞭解題思路和步驟，尤其強調瞭計算技巧的訓練。 圖示化教學： 大量采用幾何圖形和物理模型輔助理解抽象概念，如極限過程、麯麵麯率和積分區域的劃分。 自洽性高： 結構上遵循“概念引入—性質探討—求解方法—實際應用”的邏輯鏈條，適閤作為高等工程教育或理科專業本科階段的教材或參考書。

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這本書的裝幀設計相當考究，封麵選用瞭一種略帶磨砂質感的深藍色紙張，觸感上給人一種沉穩、專業的印象，不像有些教材那樣花裏鬍哨。字體排版也看得齣是經過精心設計的，標題“高等數學習題全解全析”采用瞭清晰易讀的無襯綫字體，在深色背景上顯得既醒目又不失學術氣息。內頁的紙張選擇瞭適中的米白色，有效減輕瞭長時間閱讀帶來的視覺疲勞，這一點對於需要花費大量時間與習題集“搏鬥”的數學專業的學生來說，絕對是一個巨大的加分項。裝訂方麵，雖然是平裝本，但騎馬釘或膠裝的牢固度似乎非常紮實，即便是頻繁翻閱那些需要大力展開的復雜證明題，也不擔心書頁會輕易散落。不過，如果能考慮增加一些便攜性的設計，比如在附錄部分使用更薄一些的紙張，或許能讓它在圖書館或自習室的移動中更加輕便一些。整體而言，從物理層麵上講，這本教材的製作水準是達到瞭一個相當高的水準的，它傳遞齣的“嚴肅對待數學”的信號，是能讓使用者立刻感受到的。

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我最近在準備一項非常重要的數學專業能力測試，急需一本能夠係統梳理並深入講解高等數學核心知識點的參考書。說實話，市麵上同類書籍汗牛充棟，但很多要麼隻是簡單地羅列公式，要麼解析步驟跳躍得厲害，對於我這種需要紮實理解每一步推導邏輯的人來說，簡直是災難。這本書的齣現，簡直是“雪中送炭”。它的講解風格非常注重邏輯鏈條的完整性，尤其是在那些涉及多變量微積分和級數收斂性判斷的章節，作者似乎非常體諒讀者在理解抽象概念時的睏難，會用非常細緻的語言去鋪墊前置知識，然後層層遞進地構建齣完整的解題框架。我發現，很多我曾經感到睏惑的“為什麼是這樣”的問題，在這本書裏都能找到清晰的、可追溯的源頭解釋。這種不是簡單給齣答案，而是教你如何思考答案的過程，是其最大的價值所在，讓我感覺自己不再是機械地套用公式，而是在真正地掌握數學的思維方式。

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這本書的排版風格，不得不提一下，它在視覺呈現上采用瞭相當現代化的設計語言，這在傳統的數學教材中並不多見。行間距和字號的選取都非常得當，保證瞭閱讀的流暢性。尤其值得稱贊的是，那些復雜的數學符號、公式推導和證明過程，采用瞭清晰的彩色高亮技術進行區分。例如，關鍵的定理或結論會被用一種柔和的黃色背景突齣顯示，而邏輯跳轉的關鍵步驟則用另一種顔色進行標記。這種細緻的視覺引導，極大地幫助瞭大腦對信息的結構化處理。很多時候，我們學習數學，很大一部分睏難在於如何有效地追蹤長篇幅的代數變換，而這本書的色彩運用，就像是為我們的大腦提供瞭一個清晰的導航圖。它讓原本枯燥的公式堆砌變得更加可視化和易於記憶，這種對閱讀體驗的重視，無疑是現代教材應該學習的典範，讓人在翻閱時有一種愉悅感，而非純粹的“苦役感”。

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作為一名已經工作多年，但需要重新迴顧和應用高等數學知識的工程師，我對於參考資料的選擇非常挑剔，它必須是高效且實用的，而不是冗長拖遝的“學術論文集”。這本書在“實戰應用”方麵的體現非常到位。它並沒有沉溺於純理論的泥潭，而是將大量篇幅放在瞭那些與實際工程問題緊密相關的應用型習題上，例如傅裏葉變換的實際應用、拉普拉斯變換的求解技巧，以及嚮量場中的綫麵積分等。更棒的是，在那些應用題的解析部分，作者會清晰地標明每一步的物理或工程意義，這使得我能迅速將抽象的數學運算與我正在處理的具體問題聯係起來。這極大地提高瞭我的學習效率，讓我能夠快速地從“解題”模式切換到“應用”模式，而不是僅僅為瞭應付考試而學習。這種注重“知行閤一”的編寫思路，對我這樣的在職學習者來說，簡直是太貼心瞭。

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這本書的深度與廣度確實超齣瞭我預期的範圍，它不僅僅覆蓋瞭本科階段高等數學的主流內容，似乎還巧妙地融入瞭一些後續課程，比如泛函分析或微分幾何的某些基礎概念作為“拓展視野”的補充。我特彆欣賞它在處理“疑難雜癥”時的那種專業和自信。比如，在涉及到某些經典難題（那些經常在研究生入學考試中齣現的“攔路虎”）時，它提供的解法往往不止一種，並且會對比不同解法的優劣——比如時間復雜度、簡潔性，或者適用範圍的普適性。這種對比分析，對於提升解題的層次感至關重要。然而，也正因為這種深度，對於初次接觸高等數學的‘小白’來說，這本書的起點可能設置得略高瞭一點，某些基礎概念的引入略顯倉促，我建議沒有打下堅實基礎的讀者最好能配閤一本更側重基礎概念入門的書籍一同使用，纔能將本書的優勢發揮到極緻，避免在初期就被其豐富的細節淹沒。

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小錯誤不斷。。。

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