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出版者:东北财经大学出版社

作者:白同亮

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:2003-2-1

价格:16.00

装帧:精装(无盘)

isbn号码:9787810842129

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 高等教育
• 教材
• 数学
• 大学
• 理工科
• 21世纪高等教育
• 标准教材
• 基础课程
• 学科教材

深度探索：现代数学的基石与应用 本书旨在为读者提供一个全面而深入的数学基础，特别侧重于那些在现代科学、工程、经济乃至数据科学领域扮演核心角色的学科。我们聚焦于如何构建严谨的逻辑体系，并运用这些工具来解决现实世界中的复杂问题。 第一部分：离散数学与逻辑基础 本部分将奠定读者在数学思维上的基石，重点关注有限结构与形式化推理。 第1章 集合论与证明方法 本章从集合论的基本概念出发，包括集合的运算、幂集以及常见的集合类型（如可数集与不可数集）。我们详尽探讨了数学证明的几种基本范式：直接证明、反证法、数学归纳法（包括强归纳法）和构造性证明。此外，还将引入皮亚诺公理，作为自然数理论的严密基础。 第2章 关系、函数与序结构 关系是描述对象间联系的数学语言。本章详细分析了各种类型的关系，特别是等价关系及其划分的性质，以及偏序关系（Poset）与格（Lattice）的结构。函数部分不仅涵盖了基本函数的定义、性质与复合运算，还将重点讲解双射、单射和满射的概念，以及它们在集合大小比较中的应用。 第3章 图论基础 图论是描述网络结构和关系的最有力工具之一。本章从图、有向图、多重图的定义入手，深入探讨了图的连通性、通路、回路、割点和桥的概念。我们将详细分析欧拉路径与哈密顿回路的存在性问题，并介绍树（Tree）的基本性质，包括生成树的构造算法（如普里姆算法和克鲁斯卡尔算法）。对于平面图，我们将讨论欧拉公式及其推论。 第4章 组合数学：计数的力量 计数是解决概率和离散优化问题的基础。本章系统介绍了排列（Permutations）和组合（Combinations），包括带重复元素的排列组合。重点讲解了鸽巢原理及其在证明中的巧妙应用。此外，还将深入剖析二项式定理、容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion），并引入生成函数（Generating Functions）作为求解递推关系的关键工具。 第二部分：微积分：变化率的精确描述 本部分致力于构建对连续性、变化率和累积量的深刻理解，这是所有定量分析的支柱。 第5章 极限与连续性 本章从$varepsilon-delta$语言出发，严格定义了数列的极限和函数的极限。我们详细分析了极限的代数性质、单侧极限，以及无穷极限。连续性被定义为函数在每一点的极限值等于函数值，并探讨了连续函数的性质，如介值定理和极值定理，这些定理是分析函数行为的关键工具。 第6章 导数：瞬时变化的度量 导数被引入作为函数变化率的精确度量。本章系统推导了基本函数的求导法则（乘法法则、商法法则、链式法则）。随后，重点讨论导数在优化问题中的应用，包括局部最大值与最小值、拐点与凹凸性，以及洛必达法则（L'Hôpital's Rule）在处理未定式极限中的应用。 第7章 积分学：累积效应的计算 积分被引入作为对函数在某一区间上“量”的累积计算。本章基于黎曼和定义了定积分。我们详细阐述了微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus），该定理揭示了微分与积分之间深刻的对偶关系。本部分还将介绍积分技巧，包括替换法、分部积分法，并探讨反常积分（Improper Integrals）的概念。 第8章 多变量微积分入门 面对现实世界中的多维问题，本章将一元函数分析扩展到二元和三元函数。我们定义了偏导数，并利用梯度向量来描述函数在多维空间中的变化方向。本章将介绍多重积分（二重积分和三重积分）的概念及其在计算体积和质量等物理量中的应用，并简要介绍线积分和面积分的基础思想。 第三部分：概率论与统计推断 本部分将数学工具应用于不确定性环境下的决策与建模，是现代数据分析的理论基础。 第9章 概率论基础 本章从样本空间、事件与概率的公理化定义开始。重点分析了条件概率与独立性事件，并深入探讨了贝叶斯定理（Bayes' Theorem）在信息更新中的强大作用。 第10章 随机变量及其分布 我们区分了离散型和连续型随机变量，并详细介绍了它们的概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）。核心内容包括常见的重要分布：二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布（高斯分布）。期望值和方差的性质及其在度量随机性中的作用将得到充分阐述。 第11章 统计推断与大数定律 本章连接了理论概率与实际数据。我们将介绍大数定律和中心极限定理（Central Limit Theorem），这些定理解释了为什么正态分布在统计中如此普遍。最后，本章将介绍参数估计的基本概念，包括点估计、置信区间和假设检验的基本思想。 本书的编写风格力求清晰、严谨，注重概念的几何或物理意义，而非仅仅停留在形式化的推导上。每章末尾都附有大量的练习题，以确保读者能够通过实践巩固所学知识。

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这本书在语言风格上给我带来的惊喜是，它成功地避开了传统教材那种过于刻板和冰冷的学术腔调。作者的文字有一种鼓励探索和质疑的精神。当我第一次看到某个推导过程时，我可能会感到疑惑，但这书的论述方式总能引导我去思考“为什么是这样？”而不是简单地接受“就是这样”。它在解释一些关键的转折点时，会加入一些富有洞察力的评论，这些评论往往能瞬间点亮我脑中的困惑。举个例子，在讲解正交投影时，作者引入了一个关于“信息损失最小化”的类比，这比单纯的公式推导要来得深刻和人性化得多。总的来说，这是一本能让你在学习过程中保持好奇心和求知欲的教材，它不只是知识的搬运工，更像是一位耐心的、富有激情的领路人，引领你探索这个迷人而强大的数学领域。

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说实话，市面上很多线性代数的教材都给人一种“陈旧”的感觉，仿佛停留在上个世纪的计算方法中。然而，这本书在内容的前沿性上做得非常到位。它不仅仅是关于矩阵乘法和行列式的教科书，它还非常自然地将现代计算科学对线性代数的需求融入了进来。例如，在讨论矩阵分解时，它会提及这些方法在数据压缩、图像处理乃至机器学习中的实际应用，而不是仅仅停留在理论推导的层面。这种与时俱进的视角，让学习过程充满了动力，因为它让你真切地感受到你所学的知识不是“死”的数学，而是支撑现代科技发展的“活”的工具。我尤其欣赏它在讲解数值稳定性和计算效率时所采取的谨慎态度，这对于未来有志于从事计算密集型工作的人来说，是极其宝贵的职业素养的培养。

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对于自学者来说，这本书的排版和章节设计简直是福音。它没有那种让人望而生畏的厚重感，结构划分得极其清晰，每一章的知识点都像被精心整理过的乐高积木，可以独立拆分又可以完美组合。我发现自己可以非常灵活地根据自己的薄弱环节进行“靶向学习”。如果我对向量空间的概念理解不深，我可以直接跳到相关章节进行强化训练，而不用担心破坏整个章节的逻辑连贯性。更赞的是，习题的设计极具层次感。初级的练习旨在巩固基本运算，中级的开始考察概念的灵活运用，而最后的“挑战性”题目则往往需要综合运用前几章的知识点，甚至涉及到一些跨学科的背景知识，这极大地锻炼了我的分析和综合能力。我很少遇到一本教材的习题能让我既感到痛苦挣扎，又在解出来后产生巨大的成就感。

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这本书简直是为那些初次接触线性代数，或者感觉自己数学基础不太扎实的读者量身打造的“救星”。它从最基础的概念讲起，比如向量和矩阵的几何意义，而不是上来就丢一堆复杂的公式。我记得我以前学别的教材时，光是理解“基”和“线性无关”这些概念就卡壳了，但这本书里，作者用了大量的图示和直观的例子，把抽象的数学语言转化成了我们能理解的视觉模型。特别是关于特征值和特征向量的部分，它没有仅仅停留在代数计算上，而是深入探讨了它们在系统演化中的实际意义，比如动态系统的稳定性分析。对于很多工程和科学领域的学生来说，这种“知其然，更知其所以然”的学习方式，才是真正建立起扎实理解的关键。这本书的叙述风格非常平易近人，读起来完全没有那种枯燥的学术论文的冰冷感，更像是一位经验丰富的老师在耐心地为你拨开迷雾，让人有种“原来如此”的豁然开朗。

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我特别欣赏这本书在处理抽象理论时所展现出的严谨性与实用性的完美平衡。很多教材要么过于注重理论的完备性，导致内容晦涩难懂，要么为了追求易读性而牺牲了数学推导的严密性。但这一本却做得相当出色，它在介绍完一个定理或性质后，通常会紧接着给出几个不同复杂度的应用实例。比如，在讲到行列式的几何意义时，它不仅解释了行列式值代表的面积或体积的缩放因子，还立即将其应用于求解线性方程组的 Cramer 法则，并讨论了该方法在数值计算中的局限性。这种“理论—实例—应用延伸”的结构，极大地增强了知识的可迁移性。我感觉自己不仅仅是在学习一门数学工具，更是在掌握一套解决问题的思维框架。即便是那些我原本认为只会出现在高级课程中的概念，比如奇异值分解（SVD），这本书也给出了非常清晰的铺垫和应用背景介绍，为后续深入学习打下了坚实的基础。

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