搞定幾何：問數學博士就對了 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:天下文化

作者:數學論壇＠卓克索大學

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:20041201

价格:NT$ 380

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isbn号码:9789864174058

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• 高中数学
• 几何
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深入理解与应用：经典代数与分析的现代视角 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的数学基础，聚焦于代数结构、连续性、极限与收敛性的核心概念。本书并非旨在介绍几何学的特定分支，而是致力于拓宽读者在抽象数学思维和严谨证明方面的能力，为进一步探索更高级的数学领域打下坚实的基础。 第一部分：集合论基础与逻辑推理 本部分从最基本的数学语言——集合论出发，构建起严谨的数学推理体系。我们首先探讨集合的定义、基本运算（并、交、差、补集）以及笛卡尔积。重点在于理解函数的本质：作为集合之间的特殊关系，以及函数的性质，如单射（一对一）、满射（映 onto）和双射（一一对应）。 随后，我们将深入研究逻辑推理的艺术。这包括对命题逻辑的分析，理解联结词（AND, OR, NOT, IMPLIES）的精确含义。随后，我们将过渡到谓词逻辑，引入量词（$forall$ 存在，$exists$ 任意）的使用，这是进行数学证明的基石。本书详细阐述了直接证明、反证法、逆否命题证明等核心证明技巧，并通过大量实例展示如何构建清晰、无懈可击的数学论证。我们还将讨论数学归纳法——一种对自然数集合进行证明的强大工具，并分析其在算法分析和数论中的应用。 第二部分：数系的构造与拓扑预备 在本章中，我们将追溯自然数、整数、有理数乃至实数的构造过程。我们不满足于将这些数系视为既定事实，而是通过皮亚诺公理（Peano Axioms）来严格定义自然数集 $mathbb{N}$，并在此基础上，通过等价关系和构造性定义来定义整数集 $mathbb{Z}$ 和有理数集 $mathbb{Q}$。 随后，我们将着重于实数系 $mathbb{R}$ 的完备性。实数的完备性是微积分和所有分析学的基础，它确保了“连续性”概念的可靠性。我们将探讨戴德金分割（Dedekind Cuts）或柯西序列两种主要的实数构造方法，并证明实数集满足上确界原理（Least Upper Bound Property）。这一原理是理解极限和收敛性的先决条件。我们还将介绍区间套定理和有界单调序列收敛定理，这些是分析学中处理实数序列行为的基本工具。 第三部分：极限、连续性与拓扑初步 本部分是本书分析学核心的起点，探讨函数行为的内在规律。 3.1 极限的严格定义 我们将从直观理解过渡到$epsilon-delta$ 语言的严格定义，精确刻画数列的极限和函数的极限。我们将详细分析极限的代数性质，如和、差、积、商的极限规律。对于函数，我们将讨论单侧极限，并证明极限存在性的充要条件。 3.2 连续性 基于极限的概念，我们定义函数的连续性。本书区分了函数在一点连续、区间内连续以及一致连续性。我们将深入探讨介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem），这些定理是理解连续函数图像特性的关键。一致连续性的引入，旨在揭示函数在整个定义域上行为的均匀性，这在后续的积分理论中至关重要。 3.3 度量空间与拓扑学导引 为了超越欧几里得空间，本章引入了更抽象的框架——度量空间（Metric Spaces）。我们定义了度量（距离函数），并基于度量定义了开集、闭集、邻域的概念。通过这些工具，我们将极限和收敛性的概念推广到任意度量空间。我们将研究度量空间中的一些重要性质，如紧致性（Compactness）和完备性（Completeness），并展示它们在分析问题中的强大应用。例如，紧致性是极值定理在一般度量空间中的推广基础。 第四部分：序列、级数与幂级数 本部分专注于无穷过程的收敛性分析。 4.1 序列与级数的收敛性 我们对序列的收敛性进行了深入的探讨，包括柯西序列的概念及其在完备空间中的重要性。随后，我们将焦点转向级数，即无限项之和。我们详细分析了正项级数的各种判别法，如比较判别法、比值判别法（Ratio Test）和根值判别法（Root Test）。对于一般级数，我们将区分条件收敛和绝对收敛，并引入黎曼重排定理，揭示绝对收敛与条件收敛在求和顺序上的根本区别。 4.2 幂级数与泰勒展开 幂级数（Power Series）是连接代数与分析的桥梁。我们推导了幂级数的收敛半径和收敛区间的计算方法。随后，我们将研究如何利用泰勒定理（Taylor's Theorem）来近似表示任意光滑函数。本书强调了泰勒定理的余项形式（如拉格朗日余项和皮亚诺余项），这对于评估近似的精度至关重要。最后，我们将讨论函数列和函数级数的收敛性，特别是一致收敛性，并证明了在一致收敛条件下，连续函数可以逐项求导和逐项积分的定理。 第五部分：线性代数基础：向量空间与线性变换 本书的最后部分转向了代数结构在向量空间中的体现，为更高级的线性代数打下概念基础。 5.1 域、向量空间与子空间 我们从域（Field，如 $mathbb{R}$ 或 $mathbb{C}$）的定义开始，然后严格定义向量空间（Vector Space）的公理体系。我们将探讨子空间的概念，以及线性组合、线性相关性和线性无关性。 5.2 基与维数 本章的核心在于基（Basis）的概念，即一组线性无关的生成集。我们将证明任何向量空间（有限维）的基的大小是唯一的，从而导出了维数（Dimension）的概念。本书将详述如何通过坐标变换来表示向量，以及矩阵在不同基下的表示变化。 5.3 线性变换与矩阵表示 我们将线性变换定义为保持向量空间结构（加法和标量乘法）的映射。随后，我们将证明有限维向量空间上的任何线性变换都可以表示为一个唯一的矩阵。我们还会介绍核（Kernel，零空间）和像（Image，值域）的概念，并应用秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）来建立这些重要子空间之间的关系。 本书通过这种由集合论到逻辑，由实数构造到极限分析，再到抽象代数结构的递进方式，旨在培养读者对数学概念的深刻理解和严格的逻辑驾驭能力，而非侧重于特定几何图形的计算或性质探索。

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坦白说，我之前尝试过几本号称是给“大众”写的几何科普书，结果都以失败告终，要么是内容太浅，浅到幼儿园水平，要么就是突然一个转折，抛出一个我完全没见过的名词，把我彻底甩下车。这本书的平衡感把握得非常好。它在保持数学严谨性的同时，又极大地降低了读者的入门门槛。我发现，很多我过去觉得特别抽象的概念，比如“射影变换”或者“拓扑学的基本概念”，在作者的笔下，都转化成了生活中的具象例子。比如，他会用拉伸橡皮泥来解释拓扑学中的“连续形变”概念，用皮影戏来说明投影与反投影的关系。这种“生活化”的处理，让这些高深的数学分支不再高不可攀。读完关于空间想象力的章节，我甚至开始对建筑设计和艺术构图产生了新的兴趣，这完全是意料之外的收获，说明作者确实在构建知识体系上下了大功夫，力求实现真正的“润物细无声”。

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这本书带给我最大的改变，是重新点燃了我对逻辑推理的热情。几何学本身就是逻辑的艺术，而很多教材把它写成了公式的堆砌。这本书却巧妙地把历史的演进、哲学的思考和纯粹的数学证明交织在一起。它不仅仅是教你“什么是几何”，更是在教你“几何学家是如何思考的”。例如，在讲述笛卡尔坐标系被引入几何学的过程时，作者详细描绘了当时数学家们思维上的挣扎与突破，这让我明白了，伟大的数学发现往往不是灵光一现，而是基于扎实的基本功和敢于打破旧有框架的勇气。这本书的叙事结构非常宏大，从古希腊的理想世界，一直延伸到现代的非线性空间，它给我建立了一个清晰的、有时间纵深的几何学全景图。读完之后，我感觉自己看待世界的方式都变得更具条理性和深度了，对任何一个复杂系统，我都会下意识地去寻找其背后的结构和关系，这种思维模式的提升，比记住多少个定理都要宝贵得多。

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这本书拿到手的时候，我其实挺忐忑的，毕竟“搞定几何”这个标题听起来就挺唬人的，我可不想再掉进那种把简单概念复杂化、把基础知识讲得云里雾里的数学书的坑里。但翻开第一页，那种如释重负的感觉就来了。作者的叙述方式简直像是在跟你聊家常，完全没有那种高高在上的学者腔调。他没有上来就抛出一堆复杂的定理和公式，而是从最直观的图形入手，比如一个简单的三角形，他会引导你去思考它为什么是稳定的，它的边长和角度之间到底藏着什么样深刻的联系。我记得有一次，讲到勾股定理的时候，他居然用了好几页篇幅，不是生硬地罗列证明过程，而是用几种完全不同的、图文并茂的方式去解释这个定理的几何意义，甚至还穿插了一些历史上关于这个定理的有趣八卦。这种讲法，让枯燥的代数推导瞬间变得生动起来，感觉像是亲手把知识的碎片拼凑完整，而不是被强行灌输。对于我这种对几何学一直有点“恐惧症”的人来说，这本书简直是打开了一扇新世界的大门，让人觉得原来数学的美感可以如此触手可及。

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这本书的排版和印刷质量也值得点赞。在阅读严肃的学术类书籍时，装帧设计往往是容易被忽视的一环，但这本在视觉上提供了极佳的享受。纸张的选择是哑光的，反射光线柔和，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。更重要的是，那些复杂的公式和图表，它们的位置布局非常考究，没有出现那种让人眼花缭乱的拥挤感。作者似乎深知阅读几何书籍时，读者的注意力资源是有限的，所以他总是在关键的数学论证旁边，留出足够的“呼吸空间”，让读者可以停下来消化一下。我个人非常喜欢它在某些章节末尾设置的“思考题集锦”，这些题目不是那种标准化的解题训练，而更像是开放式的讨论，鼓励读者去探索不同路径，甚至是去质疑书中的某个结论，这种互动性极大地提升了阅读的参与感和趣味性。

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这本书最让我欣赏的一点，是它对“为什么”的执着探索。很多几何教材，只告诉你“怎么做”，比如如何用尺规作图画一个角平分线，但很少有人会深入解释“为什么要这么做”，背后的逻辑根源是什么。这本书却把这一点做到了极致。比如在讨论非欧几何的引入时，作者并没有直接跳到黎曼几何的复杂性，而是先从欧几里得平行公理的“自洽性”入手，一步步地引导读者去质疑和推翻这个被奉为圭臬的假设。这个过程非常具有启发性，它教会我的不仅仅是几何知识，更是一种批判性思维——任何看似铁板钉钉的真理，都可能在特定的框架下被打破。阅读体验就像是参与了一场智力探险，每解开一个疑惑，都会带来巨大的成就感。而且，书中的图示设计也非常精妙，不是那种标准化的、死板的几何图形，而是充满了设计感，能让人一眼就抓住核心的几何关系，这一点对于视觉学习者来说简直是福音。

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