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出版者:中国少年儿童出版社

作者:张景中

出品人:

页数:158

译者:

出版时间:2004-5

价格:8.50元

装帧:

isbn号码:9787500769583

丛书系列:中国科普名家名作·院士数学讲座专辑

图书标签:

• 数学
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从√2谈起：数学的无限边界与人类的认知探索 书籍名称： 从√2谈起 内容简介： 本书并非专注于对特定数学概念进行罗列或简单的科普解读，而是以一个看似基础却蕴含无限可能性的数学实体——无理数 $sqrt{2}$——为引子，深入探讨数学思维的本质、人类理性认知的边界、以及数学与其他学科交叉融合的广阔图景。全书结构严谨，逻辑推进如同数学证明般层层递进，力求展现数学作为一种严密而富有创造力的思维工具的深刻魅力。 第一部分：根号下的迷思——理性与非理性的交锋 本书开篇并非直接剖析 $sqrt{2}$ 的具体数值，而是首先构建一个历史与哲学的框架。我们追溯到古希腊毕达哥拉斯学派对“万物皆数”的信仰，以及他们发现对角线长度与边长存在不可通约关系时所经历的认知危机。这一发现，本质上是对当时数学世界观的根本性颠覆。 我们将详细论述“可通约性”与“有理数”的严格定义，并在此基础上，以欧几里得的几何论证为蓝本，重构 $sqrt{2}$ 的无理性证明。但这部分的重点不在于证明本身，而在于分析这种证明所揭示的：人类逻辑体系内部存在的“不可化约”的结构。我们将探讨，一个看似简单的几何问题，如何迫使人类第一次认识到，语言和计数系统所能覆盖的范围并非宇宙的全部。 进一步地，我们会将讨论延伸至数的本质。什么是数？数仅仅是人类定义和操作的符号系统，还是独立于人类意识而存在的客观实体？ $sqrt{2}$ 作为一个纯粹的、抽象的存在，其“真实性”位于何处？我们引入皮亚诺公理，考察自然数系统的自洽性，并以此为基石，审视有理数域的构建过程，为理解无理数域的必要性打下坚实基础。 第二部分：无限的展开——序列、极限与分析的诞生 如果说第一部分是关于“数的本质”的哲学拷问，那么第二部分则聚焦于“过程与变化”的数学描述。$sqrt{2}$ 的十进制（或任意进制）展开是一个无限不循环的小数序列。这个序列如何生成？它代表了何种数学意义？ 我们将深入探讨极限的概念，这是微积分乃至整个高等数学的基石。我们不会停留在直观的“越来越近”，而是严格遵循柯西的 $epsilon-delta$ 定义，解析一个无限序列收敛于一个确定值的严格要求。$sqrt{2}$ 的序列是理解收敛性的绝佳案例，它展示了如何用有限的、精确的步骤去定义和把握无限的趋近。 随后，我们将介绍连分数理论。连分数提供了一种与十进制截然不同的、但同样精确地逼近无理数的方式。通过 $sqrt{2}$ 的连分数展开 $[1; 2, 2, 2, ldots]$，我们可以观察到隐藏在无限重复背后的简洁结构。我们将分析连分数的逼近效率，引入“最好的有理逼近”的概念，并探讨其在数论和应用数学（如行星轨道计算）中的实际意义。这一部分旨在揭示，在看似随机的无限序列中，依然潜藏着深刻的、可被人类理性捕捉的规律。 第三部分：超越实数域——代数与拓扑的交汇 $sqrt{2}$ 的存在，促使数学家们不得不超越有理数域，构建实数系统 $mathbb{R}$。本书将详细阐述实数集的完备性要求，例如戴德金分割法，这一方法清晰地展示了如何通过对有理数的划分来“填补”数轴上的空隙，从而在逻辑上引入无理数。 然而，$sqrt{2}$ 的故事并未在实数域终结。我们将其置于更广阔的代数结构中考察。我们讨论“代数数”与“超越数”的概念。$sqrt{2}$ 是一个代数数，它是方程 $x^2 - 2 = 0$ 的根。我们将对比研究 $pi$ 和 $e$ 等超越数，分析超越性的定义及其对数论的挑战。这一对比，将加深读者对不同类型“不可公度性”的理解。 更进一步，我们将触及域扩张和伽罗瓦理论的边缘。 $sqrt{2}$ 定义了一个简单的域扩张 $mathbb{Q}(sqrt{2})$，这个结构如何在几何学中体现？它与二维欧几里得空间（平面）的内在结构有何关联？我们将探讨构造正方形对角线所需的这一扩张，在代数几何中扮演的基础角色，并展示数学结构如何层层嵌套，从一维的线性延伸到多维的代数空间。 第四部分：世界之桥——数学模型的普适性 在全书的收尾部分，我们将探讨 $sqrt{2}$ 如何作为一座桥梁，连接抽象的纯数学与具体的物理世界。 我们将讨论 $sqrt{2}$ 在欧几里得几何中的绝对地位，特别是在勾股定理的普适性证明中。但更重要的是，我们会考察 $sqrt{2}$ 在现代科学中的隐性身影： 1. 物理学： 在量子力学中，某些算符的本征值可能涉及无理数；在描述振动和波的傅里叶分析中，对周期性函数的分解需要依靠不同频率的叠加，其中无理数频率的组合可以构建出极其复杂的、无法被简单周期描述的波形。 2. 信息论与工程： 尽管在实际工程中我们必须使用有理数近似，但 $sqrt{2}$ 的无理性决定了许多信号处理和编码系统的内在限制和复杂性。例如，在数字信号处理中，我们必须面对采样定理的局限性，这些局限往往与连续域中无理数的性质有关。 3. 计算科学： 计算机处理 $sqrt{2}$ 时，会遇到浮点运算的精度问题。我们分析计算机如何用有限位来“近似”一个无限精确的概念，以及这种近似如何导致计算误差的累积。 $sqrt{2}$ 成为检验数值算法稳定性和精度的试金石。 结语：永恒的追问 《从$sqrt{2}$谈起》并非旨在提供终极答案，而是倡导一种探索性的数学精神。 $sqrt{2}$ 作为一个简单的起点，最终引导我们进入了集合论、拓扑学、代数和分析的宏大殿堂。本书旨在激发读者，跳出对数学的工具性认知，去欣赏和理解数学作为一种人类最纯粹的理性活动，对真理的不懈追求和对世界结构的不懈描摹。它是一部关于边界、关于无限、以及关于人类心智如何超越自身局限的思考之作。

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说实话，这本书的行文节奏感非常独特，它不像传统科普读物那样追求信息量的最大化堆砌，反而更像是一部结构精巧的交响乐。高潮迭起，低谷沉静，而贯穿始终的，是一种令人心神宁静的理性之美。我特别欣赏作者在处理复杂的几何证明和数论概念时所展现出的耐心与匠心。他似乎深谙“欲速则不达”的道理，总是在关键的转折点停下来，用非常生活化、甚至带着点哲思的语言来构建桥梁，确保即便是对数学背景不深的读者也能跟上思路，而不是被那些繁复的符号和公式吓退。尤其是在探讨那些关于“连续性”的悖论时，作者的笔触变得极其细腻，他没有直接给出“标准答案”，而是引导我们去体验那种思辨的过程，这才是真正的学习精髓所在。这种引导式的写作手法，让阅读过程充满了主动探索的乐趣，让人忍不住合上书本，走到窗边，对着天空或脚下的土地沉思片刻，试图在现实世界中捕捉到那些抽象数学概念的影子。这是一次精神上的洗礼，远超出了仅仅获取知识的范畴。

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这本书的装帧设计和内页排版也功不可没，它成功地营造了一种沉浸式的阅读体验，让人愿意长时间地沉浸其中，细细品味每一个章节。我留意到，作者非常注重细节的打磨，图表的选取和绘制都恰到好处，它们不是那种冷冰冰的教科书插图，而是具有强烈的视觉引导性，能够瞬间点亮你脑海中模糊的概念。例如，书中描绘欧几里得几何与非欧几何思想萌芽的部分，那几张关于空间弯曲的示意图，设计得极具艺术感，仿佛带着一种古典主义的优雅和现代科学的锋芒。更让我惊喜的是，作者在穿插历史轶事时，选取的角度非常新颖，避开了那些被反复嚼烂的陈旧典故，而是聚焦于那些被主流叙事所忽略的小人物的贡献，这使得整本书的叙事肌理变得更加丰富和立体。它提醒我们，任何伟大的思想都不是凭空产生的，而是由无数次微小的努力和不懈的坚持堆砌而成。这种对“人”的关注，让原本可能显得枯燥的数学史，焕发出令人动容的人性光辉。

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好的，这是一篇以读者口吻撰写的，针对一本名为《从√2谈起》的书籍的五段评价，每段风格和内容都力求不同，且字数接近300字： 这本书的出现，简直就像是为我打开了一扇通往数学世界奇妙大门的新窗口。我得说，当我第一次翻开它的时候，内心是带着一丝忐忑和好奇的。毕竟，“√2”这个概念，对于大多数人来说，可能停留在中学课本里那个略显抽象的无理数符号上，鲜少有人会深究其背后的哲学意味和历史波澜。然而，作者的叙述方式却异常的亲切自然，完全没有那种高高在上的学术腔调。他似乎不是在“教授”我们知识，而更像是在带着我们进行一场穿越时空的探险。书中对早期数学家们在面对√2这类“不可分割”的数字时所经历的心路历程描绘得入木三分，那种从柏拉图学园的和谐世界观被打破的震撼感，被文字生动地刻画出来。读者仿佛能真切感受到，这种对有限与无限、有理与无理的认知冲突，是如何驱动着整个数学体系向前发展的。它不仅仅是数学史的普及读物，更是一部关于人类认知边界不断拓展的史诗。读完第一部分，我开始重新审视那些习以为常的数字，它们不再是冰冷的符号，而是承载着人类智慧与挣扎的鲜活概念。这种将深奥理论与生动故事完美融合的能力，实在令人赞叹。

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老实讲，读完这本厚厚的书，我最大的收获并非是记住了多少个定理的证明过程，而是对“精确性”的理解有了一个更深层次的认识。在日常生活中，我们习惯于模糊的表达和大致的估算，但这本书清晰地展示了，正是对绝对精确的追求，促使人类文明完成了几次重大的飞跃。作者花了大量的篇幅去剖析“定义”的严格性是如何一步步建立起来的，从亚里士多德的朴素逻辑到柯西的极限分析，每一步的跨越都充满了艰辛的哲学辩论。这种对基础的夯实过程的细致描摹，让人对现代科学的严谨性产生了由衷的敬畏。这本书让我明白，那些我们如今视为不证自明的数学工具，其背后是多么漫长而痛苦的理性抗争。它提供了一种看待世界的新视角：任何看似坚固的认知体系，其根基都可能隐藏着需要不断被检验和重塑的“无理数”。对于任何一个追求深度思考的人来说，这本书提供的这种批判性思维的训练，是无价之宝。

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这本书的价值，绝不仅仅局限于数学爱好者的书架上。我向几个完全没有数学背景的朋友推荐了它，他们的反馈都出奇地一致：读起来竟然意外地引人入胜，并且极大地激发了他们对逻辑和结构化思维的兴趣。作者成功地将一个看似小众的主题，拓延到了关于哲学、艺术乃至宇宙观的讨论范畴。读到关于实数系统完备性的探讨时，那种“啊，原来世界可以这样被构建起来”的豁然开朗，是阅读过程中最令人兴奋的瞬间。它不像是一本知识传授的书，更像是一本激发好奇心的火花石。它没有试图去解答所有宏大的问题，而是聚焦于一个看似微小的起点——√2，然后沿着这个点，优雅地、不可阻挡地延伸出整个数学大厦的结构框架。对于那些渴望在日常的琐碎中寻找更深层规律和秩序感的人来说，这本书提供了一种极其有效和美妙的途径，去领略人类理性思维所能达到的高度与广度。它是一次高质量的心灵漫游。

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终于知道根号是什么东西了...

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很喜欢的一套数学书

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很适合中学生。

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数背后并不简单呢。

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经初中老师忽悠买了全套