现代计算机代数(英文版) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:J.Von zur Gathen

出品人:

页数:753

译者:

出版时间:2001-4

价格:116.0

装帧:平装

isbn号码:9787506249720

丛书系列:

图书标签:

• Computer Algebra
• Symbolic Computation
• Mathematics
• Algorithms
• Computer Science
• Calculus
• Linear Algebra
• Discrete Mathematics
• Programming
• Scientific Computing

现代计算机代数（英文版）图书简介 领域前沿的权威综述与深度解析 本书旨在为读者提供一个全面、深入且高度聚焦的视角，审视现代计算机代数（Computer Algebra）领域的理论基础、核心算法与前沿应用。它不是对特定软件工具的简单操作手册，而是对支撑这些工具的数学原理和计算方法的严谨学术探讨。本书的结构设计，旨在引导读者从基础的代数结构出发，逐步深入到复杂的计算模型与高效的算法实现。 第一部分：基础理论与结构 本书的开篇部分致力于构建坚实的理论框架。我们首先回顾了计算代数所需的必备离散数学和抽象代数知识，重点关注环论、域论以及多项式环的结构。 1. 多项式环与理想的计算 深入探讨了多项式环上的运算，特别是如何高效地处理多变量多项式。核心内容包括格勒布纳基（Gröbner Bases）的理论与构造。我们详细分析了布赫伯格（Buchberger）算法的原理、终止性证明以及其在理想成员问题（Ideal Membership Problem）和求解多项式方程组中的应用。此外，本书也涵盖了不同的阶（Ordering）对格勒布纳基性质的影响，并比较了Lexicographic、Graded Reverse Lexicographic等典型阶的计算效率与几何意义。 2. 线性代数的高效算法 虽然线性代数是经典数学的一部分，但本书关注其在计算机代数环境下的高效实现。重点在于矩阵的符号计算，如符号行列式的计算、矩阵的符号化约（Symbolic Reduction）以及符号特征值问题的处理。我们探讨了如何避免数值方法中的精度损失，转而使用如Bareiss算法等确保整数或有理数运算精确性的方法。对于大规模稀疏矩阵，本书也引入了基于特定域（如有限域）上的快速算法。 第二部分：核心算法与计算范式 本部分是本书的精髓，聚焦于现代计算机代数系统中实际部署的核心算法。 3. 模函数与同调代数 本书对计算模论（Computational Module Theory）给予了充分的重视。这包括模的自由分解（Free Resolutions）的计算，特别是利用Koszul复形和Syzygy关系来确定模的结构。对于代数几何中的应用，我们详细阐述了如何利用这些分解来计算张量积、内积以及求解模的特定性质问题。这部分内容对理解计算代数几何的基础至关重要。 4. 场扩张与代数方程的求解 在求解代数方程组方面，本书深入研究了伽罗瓦理论（Galois Theory）在计算中的体现。重点在于如何确定一个有限域上的多项式是否可约，以及如何构造扩域（Field Extensions）。我们详细分析了Lattice Basis Reduction技术，尤其是在计算代数数域（Algebraic Number Fields）的基底表示和理想因子分解中的应用，这对于处理代数数域上的算术至关重要。 5. 积分与微分方程的符号方法 本书专门辟出章节讨论微积分的符号化处理。在不定积分方面，我们重点讨论了Risch算法的结构和复杂性，阐述了如何判断一个初等函数的原函数是否仍能用初等函数表示。在常微分方程（ODE）领域，本书详述了Gosper-Zeilberger算法及其在寻找特定函数序列的超级几何求和（Hypergeometric Summation）中的应用，这直接催生了许多高效的计算机代数求解器。对于线性偏微分方程（PDEs），我们探讨了基于格林函数或特定算子分解的符号求解框架。 第三部分：高级主题与应用 本书的最后部分将读者带入当前研究的热点领域，展示计算机代数在跨学科应用中的强大潜力。 6. 组合学与生成函数 计算机代数在组合对象计数中扮演核心角色。本书详细介绍了多变量生成函数（Multivariate Generating Functions）的代数表示法，以及如何利用对称群的表示论和Schur多项式来计算复杂的组合恒等式。我们还探讨了如何利用计算机代数工具来解析和验证组合结构的性质，例如通过格勒布纳基处理组合限制条件。 7. 密码学与计算数论的交集 现代密码学严重依赖于大数论和有限域上的复杂计算。本书讨论了椭圆曲线离散对数问题（ECDLP）的计算复杂性分析，以及如何在有限域上高效地执行多项式运算和矩阵求逆。同时，也涉及了基于格（Lattice）的密码学方案（如后量子密码学）中，如何利用格约化算法来分析和构造安全性。 8. 算法的效率与实现考量 一个重要的主题是算法的实际效率。本书不仅仅停留在理论层面，还深入讨论了渐近复杂度分析，例如使用FFT/NTT（快速傅里叶/数论变换）来加速多项式乘法，从而显著降低高精度算术和多项式运算的开销。对于整数运算，我们比较了不同大整数乘法算法（如Karatsuba, Toom-Cook, Schönhage-Strassen）的适用性。 总结 《现代计算机代数（英文版）》是一部面向高级本科生、研究生以及专业研究人员的参考著作。它要求读者具备扎实的代数背景，并致力于揭示支撑现代符号计算系统的深层数学原理。本书的广度和深度使其成为掌握计算机代数理论与实践的必备资源。

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