具体描述
经济应用数学基础。
深入浅出：现代数学基础与应用探索 图书名称：现代数学基础与应用探索 ISBN： 978-7-5080-9876-5 出版社： 启明高等教育出版社 定价： 128.00 元 图书开本： 16 开 页数： 650 页 --- 内容概要 《现代数学基础与应用探索》是一本旨在为理工科、经济学、计算机科学以及相关交叉学科的学生和研究人员提供坚实数学基础的综合性教材。本书突破了传统数学教材的壁垒，系统性地构建了从基础微积分到现代离散结构与概率论的知识体系，强调概念的深刻理解、逻辑推理的严密性，以及数学工具在实际问题中的灵活应用。全书结构清晰，内容涵盖面广，力求在深度与广度之间找到最佳平衡点。 本书的撰写团队由多位在各自领域享有盛誉的资深教授和青年学者组成，他们不仅在理论研究上造诣深厚，更拥有丰富的教学经验，深谙如何将复杂的数学概念以直观易懂的方式传达给学习者。我们摒弃了纯粹的公式堆砌，转而采用“问题驱动—概念引入—理论阐述—案例分析”的教学范式，确保读者在学习过程中始终保持高度的参与感和探索欲。 第一部分：核心分析学进阶 (Core Analysis Progression) 本部分着重于对微积分概念的深化与拓展，为高等数学中的严谨性奠定基础。 第一章：实数系统与拓扑基础 (The Real Number System and Topological Foundations) 本章从集合论的视角重新审视实数系统，引入了实数域的完备性公理。重点讨论了数列的极限、函数的连续性，并引入了基础的拓扑概念，如邻域、开集与闭集。通过对 $epsilon-delta$ 语言的严格训练，读者将建立起对微积分概念的精确理解，避免了直观理解可能带来的谬误。 第二章：多元函数的微分学 (Multivariable Differential Calculus) 超越了单变量函数的范畴，本章系统阐述了偏导数、梯度、方向导数、链式法则在高维空间中的推广。泰勒公式在多元函数中的应用，以及对极值点（鞍点、局部极小/大值）的判别方法，如黑塞矩阵（Hessian Matrix）的性质，将作为重点内容进行详尽解析。 第三章：积分理论的深化 (Deepening the Theory of Integration) 本章不仅复习了定积分的黎曼和概念，更深入探讨了反常积分的收敛性判别准则。重中之重在于介绍勒贝格积分的初步思想，虽然不进行过于艰深的测度论推导，但会阐述其相比黎曼积分的优越性，为后续学习泛函分析打下基础。曲线积分、曲面积分（格林、斯托克斯、高斯散度定理）作为物理和工程中的核心工具，将通过大量的几何背景解释其物理意义。 第二部分：代数结构与抽象思维 (Algebraic Structures and Abstract Thinking) 本部分旨在培养读者对抽象代数体系的认知能力，理解数学对象的内在结构与变换规律。 第四章：群论导论 (Introduction to Group Theory) 本章是代数学习的起点。从二元运算的性质出发，系统定义了群、子群、陪集、正规子群。拉格朗日定理、同态与同构是本章的理论核心。通过对对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$ 的具体分析，展示了抽象结构如何描述现实世界中的对称性问题。 第五章：环与域的概念扩展 (Extension to Rings and Fields) 在群论的基础上，本章引入了环和域的定义。重点讨论了理想（Ideals）的概念及其在商环构造中的作用，并详细阐述了唯一分解整环（UFD）和欧几里得整环的性质。域扩张的概念（包括有限域的构造）将为学习编码理论和密码学提供必要的代数背景。 第六章：向量空间与线性变换的本质 (The Essence of Vector Spaces and Linear Transformations) 不同于传统教材侧重于矩阵计算，本章更强调向量空间的抽象定义和线性变换的几何意义。基、维数、子空间投影、相似矩阵之间的关系被深入探讨。特征值和特征向量的求解不再是孤立的计算步骤，而是作为线性映射对空间进行结构化分解的必然结果。本章将用大量的图示来辅助理解特征子空间和对角化过程。 第三部分：概率、统计与离散建模 (Probability, Statistics, and Discrete Modeling) 面向现代数据科学和信息技术对概率论和离散数学的需求，本部分提供了强大的理论支撑。 第七章：概率论的公理化基础 (Axiomatic Foundation of Probability Theory) 本章严格遵循柯氏公理体系，从样本空间到概率测度进行阐述。重点区分了离散型、连续型随机变量的概率密度函数和分布函数。期望、方差的计算被纳入更广阔的数学框架下。条件概率和贝叶斯公式在信息论中的应用将作为高级话题进行讨论。 第八章：随机过程初步 (Introduction to Stochastic Processes) 本章引入了时间序列分析的基础。马尔可夫链（Markov Chains）作为重要的离散时间随机过程，其转移概率矩阵、稳态分布的求解方法将得到详尽的讲解。这为建模排队论、随机游走和信息传播提供了直接工具。 第九章：图论与网络分析 (Graph Theory and Network Analysis) 本章聚焦于离散结构中的核心内容——图论。从基础的连通性、树结构到欧拉回路和哈密顿回路的判定。本章的侧重点在于算法的应用，包括最短路径算法（如 Dijkstra 算法）和最小生成树算法（如 Prim 和 Kruskal 算法）。这些内容直接服务于网络优化和资源分配问题。 特色与优势 1. 理论的深度与广度兼顾： 本书内容覆盖了从分析到代数，再到离散结构的经典与现代数学分支，确保读者不仅掌握计算技巧，更能理解背后的数学原理。 2. 严格的逻辑推导： 所有重要定理均提供了完整的证明，强调数学的严谨性，培养学习者的批判性思维和逻辑构建能力。 3. 跨学科应用导向： 每章节末尾均附有“应用案例透视”专栏，例如使用群论分析晶体结构、利用随机过程模拟金融波动、运用图论解决物流路径问题等，直观展示数学工具的实际效力。 4. 丰富的例题解析： 书中精心挑选了大量具有代表性的例题，这些例题的设计旨在引导学生逐步消化复杂概念，而非仅仅展示计算过程。 本书是高等数学课程的理想后续教材，也是自学者建立坚实现代数学框架的权威参考。阅读本书后，读者将能更自信地进入专业领域学习，并有效地利用数学工具解决工程、科学及经济学中的复杂挑战。
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