创新思维(高3数学)/学习新坐标书系 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:吉林教育出版社

作者:孙立文

出品人:

页数:432

译者:

出版时间:2000-7-1

价格:14.00

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787538341294

丛书系列:

图书标签:

• 高中数学
• 创新思维
• 高考数学
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• 尖子生

突破传统：高中数学思维深度拓展与应用精讲 面向对象： 高中阶段，尤其高三学生，以及对数学思维训练有强烈需求的学习者。 书籍定位： 本书并非对现有教材知识点的简单复述或习题堆砌，而是致力于构建一个更高维度的数学思维框架，深度剖析数学核心概念背后的逻辑结构，并提供切实可行的思维工具，帮助读者实现从“知道怎么做”到“理解为什么这么做”的飞跃。 --- 第一部分：构建思维的基石——数学本质的重构 本部分着眼于高中数学知识体系中的核心概念，但切入点完全不同于常规的章节讲解。我们不满足于公式的记忆和定理的套用，而是深入探究这些工具是如何被“发明”出来的，它们在更宏大的数学世界中扮演着怎样的角色。 第一章：集合论的拓扑视角——概念的边界与无限的量化 我们从集合的结构性而非单纯的运算性入手。本章将详细阐述集合论如何作为现代数学的通用语言，讨论潜无穷与实无穷的哲学辩证，并将其与高中阶段处理的数列极限、函数定义域的精确边界联系起来。 1.1 集合的“拓扑感”： 如何用邻域和开闭集的基本概念（以非正式的方式引入）来理解函数的连续性和极限的严格定义。 1.2 集合的构造性思维： 讨论构造性证明（如反证法、反向归纳法）在集合论中的应用，并以高中圆锥曲线的定义如何本质上是一种集合的轨迹描述为例进行剖析。 第二章：函数的灵魂——从代数到分析的桥梁 函数是贯穿高中数学的中心主题。本书将函数视为一种动态关系和映射机制，而非静态的图像或解析式。 2.1 映射的“方向性”与“满射性”： 深入解析单射、满射、双射的几何意义，探讨它们对解方程、求反函数、复合函数求导的内在影响。 2.2 导数：瞬间的变化率与运动的几何学： 不仅是切线斜率，更是对函数行为的局部线性近似。我们将用微分思想来解释牛顿迭代法（不涉及复杂计算，重在理解其收敛的逻辑）如何实现对超越方程的快速求解。 2.3 积分：累积的艺术与黎曼和的直观构建： 从微积分的起源出发，阐述定积分如何将不规则的量（面积、体积）转化为可操作的算术过程，重点强调微积分基本定理的“反向操作”美感。 第三章：空间想象力的拓展——解析几何的立体化训练 解析几何是代数与几何思想的交汇点，但高三阶段的复习往往停留在公式演算。本书强调的是坐标系的选择如何影响求解的复杂度。 3.1 坐标系的自由度： 讨论如何根据图形的对称性选择最有利于计算的坐标系（例如，处理斜边与坐标轴的图形时，使用旋转坐标系或特殊基底的思维转换）。 3.2 向量的本质：方向与伸缩： 向量不仅是计算工具，更是描述空间关系的“箭头”。分析点积（投影）和叉积（垂直性）在空间几何关系判断中的本质作用，而非仅仅是公式运算。 --- 第二部分：高阶思维工具箱——解决复杂问题的策略 本部分专注于传授那些在竞赛和高难度高考题中频繁出现的、需要跨学科整合的通用解题策略。 第四章：对称性与不变性原理——问题的简化之道 对称性是自然界和数学中最深刻的规律之一。掌握如何识别和利用对称性，能极大简化问题。 4.1 几何中的对称： 讨论轴对称、中心对称、旋转对称在平面几何、解析几何中的应用，尤其是反演变换思想的初步引入。 4.2 代数中的对称： 深入探讨韦达定理的对称性在多元方程组和多项式根问题中的应用，展示如何通过代换将复杂问题转化为关于对称多项式的问题。 4.3 动态过程中的不变性： 如何在数列、概率模型（如随机游走）中寻找守恒量或稳定状态，这体现了微分方程思想的萌芽。 第五章：极端化与构造性检验——论证的锐利视角 在证明题中，找到“反例”或“临界条件”往往是突破口。 5.1 极端情形的模拟： 如何通过考察极限情况（如变量趋于零、无穷大，或图形退化为直线、点）来推测一般结论的正确性，并指导证明方向。 5.2 反例构造法： 学习如何根据猜想的薄弱环节，有目的地构造特定的数学对象（函数、数列、几何体）来否定一个命题。这是一种主动质疑的思维方式。 5.3 凹凸性与一次逼近： 深入理解Jensen不等式（以伽马函数或对数函数的性质为例）背后的几何意义——曲线上任意两点的连线与函数图像的关系，以及它如何成为处理不等式的强大武器。 第六章：信息压缩与转化——从几何到代数，再到概率 本章探讨如何在高三阶段将不同数学分支的语言进行流畅转换，以达到最简洁的表达。 6.1 概率统计的“去确定性”训练： 概率论并非关于“运气”，而是关于长期频率的稳定趋势。重点训练如何将复杂的、不确定的事件转化为可计算的期望值和方差，从而做出理性决策。 6.2 几何问题的代数建模： 深入分析如何利用三角代换、三角函数组来简化涉及圆、三角形的复杂几何关系，实现从几何直觉到代数演算的有效映射。 6.3 空间几何的降维打击： 讨论投影原理和截面法在处理三维立体问题时的优势，如何通过找到合适的投影面，将复杂的空间关系简化为二维平面上的关系，大大降低运算难度。 --- 第三部分：思维的迁移与实战训练 本书的最后一部分旨在将所学思维工具应用于实际的复杂问题解决中，培养学生在压力下快速选择最优解题路径的能力。 第七章：复杂问题的解构与整合训练 本章精选了数百个跨越多个知识模块的“综合题”，但讲解重点不在于步骤，而在于解题前的思维路径选择。 7.1 命题意图的反推： 如何从最终要求解的结论，逆向分析出命题者希望考察的知识点和最简洁的思维链条。 7.2 “陷阱”识别： 详细分析常见题型中的逻辑误区和计算陷阱，教会读者如何通过敏感数据测试（如特殊值代入）来验证自己思路的鲁棒性。 第八章：面向未来的数学视野 结尾章将目光投向更广阔的数学领域，激励读者保持对数学探索的热情。 8.1 数学建模的初步认知： 介绍如何将现实世界的模糊问题转化为数学模型，例如，简单的人口增长模型或最优资源分配问题。 8.2 逻辑的严谨性： 强调数学思维的最终目标是清晰的逻辑表达。本节将通过分析经典数学证明中的逻辑结构，提升读者论证的严密性和说服力。 本书特色总结： 本书拒绝碎片化知识点的罗列，着重于提升读者的结构化思维能力、抽象概括能力和跨域转化能力。它提供的是一套通用的、能够应对未来所有数学挑战的“思维操作系统”，而非一次性的解题指南。阅读本书，将使您对高中数学产生全新的、更深刻的理解。

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