第一捲
譯者的話
序言
對讀者的提示
第一章 歸納方法
引言
1.經驗和信念
2.啓發性聯想
3.支持性聯想
4.歸納的態度
第一章的例題和注釋, l~~14.[12.是與非.13.經驗與行為.14.邏輯學傢. 數學傢. 物理學傢和工程師.]
第二章 一般化. 特殊化. 類比
1.一般化. 特殊化. 類比和歸納
2.一般化
3.特殊化
4.類比
5.一般化. 特殊化和類比
6.由類比作齣的發現
7.類比和歸納
第二章的例題和注釋, 1~~46, [第一部分, 1~~20, 第二部分,21~~46].[1.正確的推廣.5.一個極端的特殊情形.7.起主導作用的特殊情形.10.有代錶性的特殊情形.11.可類比的情形.18.偉大的類比.19.明確的類比.20.幾位數學傢的名句摘錄.21.猜想E.44.對猜想的一個疑問和證明的第一步嘗試.45.證明的第二步嘗試.46.類比的危險.]
第三章 立體幾何中的歸納推理
1.多麵體
2.支持猜想的第一批事實
3.支持猜想的更多事實
4.一次嚴格的檢驗
5.驗證再驗證
6.一種很不同的情形
7.類比
8.空間的分割
9.修改一下問題的提法
10.一般化. 特殊化. 類比
11.一個類似的問題
12.類似問題的一張錶格
13.解決一大批問題有時比解決單獨一個問題更容易
14.一個猜想
15.預言與證明
16.再來一次, 使它更好
17.歸納法引嚮演繹法, 特例引嚮一般證明
18.更多的猜想
第三章的例題和注釋, l~~41.[21.歸納過程:思想的適應, 語言的適應.31.笛卡兒對多麵體的研究工作.36.立體補角,互補球麵多邊形.]
第四章 數論中的歸納方法
1.邊長為整數的直角三角形
2.平方和
3.關於四奇數平方和問題
4.考察一個例子
5, 把觀察結果列成錶
6.有什麼規則
7.關於歸納發現未知事物的性質
8.關於歸納證據的性質
第四章的例題和注釋,1~~26.[1.符號錶示法.26.歸納法的危險.]
第五章 歸納法雜例
l.函數的展開式
2.近似式
3.極限
4.設法推翻它
5.設法證明它
6.歸納階段的作用
第五章的例題和注釋, 1~~18.[15.解釋觀察到的規律性.16.把觀察到的事實進行分類.18.差彆是什麼 ]
第六章 更一般性的陳述
1.歐拉
2.歐拉的研究報告
3.從實踐到抽象的一般觀點
4.歐拉研究報告的概述
第六章的例題和注釋,l~~25.[1.母函數.7.平麵幾何的一個組閤問題.10.平方和.19.另一個遞推公式.20.整數因子和的另一個奇特規律.24.歐拉怎樣遺漏一個發現.25.歐拉定理關於σn 的一種推廣.]
第七章 數學歸納法
1.歸納階段
2.論證階段
3.研究的飛躍
4.數學歸納法的技巧
第七章的例題和注釋, l~~18.[12.多證可能反而更省事.14.權衡你的定理.15.展望.17.任何n個數都相等嗎 ]
第八章 極大和極小
1.模式
2.例子
3.相切的等高綫模式
4.兩個例子
5.局部變動的模式
6.算術平均與幾何平均的定理及其初步推論
第八章的例題和注釋, 1~~63, [ 第一部分, 1~~32, 第二部分,33~~63].[1.平麵幾何中的最小和最大距離.2.空間幾何中的最小和最大距離.3.平麵上的等高綫.4.空間中的等值麵.11.穿過尊等高綫的原則.22.局部變動原則.23.極值的存在性.24.局部變動模式的一個變形:無限過程.25.局部變動模式的另一個變形:有限過程.26.用圖示比較.33.多邊形和多麵體.麵積和周長.體積和錶麵.34.具有正方形底的正棱柱.35.正圓柱.36.一般的正棱柱.37.具有正方形底的正對頂棱錐.38.正對頂錐.39.一般的正對頂棱錐.43.幾何應用於代數.45.代數應用於幾何.51.具有正方形底的正棱錐.52.正圓錐.53.一般的正棱錐.55.開蓋盒子.56.槽.57.片.62.郵政局問題.63.開普勒問題.]
第九章 物理數學
1.光學解釋
2.力學解釋
3.反復解釋
4.吉恩·伯努利關於捷綫的發現
5.阿基米德關於積分法的發現
第九章的例題和注釋,1~~38.[3.內接於已知三角形中具有最小周長的三角形.9.空間中四點交通中心.10.平麵上四點交通中心.11.四點交通網.12.打開與拉直.13.彈子.14.地球物理勘查.23.多麵體錶麵上的最短綫.24.麯麵上的最短綫(測地綫).26.摺紙法的一個設計.27.擲骰子.28.洪水.29.不像井那麼深.30.一種常用的極端情形.32.變分法.33.從截麵平衡到立體平衡.38.阿基米德方法的迴顧.]
第十章 等周問題
1.笛卡兒的歸納理由
2.潛在的理由
3.物理原因
4.瑞利的歸納理由
5.導齣結論
6.證明結論
7.非常密切的關係
8.等周定理的三種形式
9.應用與問題
第十章的例題和注釋, 1~~43, [第一部分, 1~~15, 第二部分,16~~43].[1.迴顧.2.你能用不同的方法推齣某些部分的結果嗎 3.比較詳細地重新敘述.7.你能將此方法用於其他某些問題嗎 8.等周定理的更清晰的形式.16.杆和繩.21.兩根杆和兩條繩.25.立體幾何中的泰都問題.27.平麵區域的等分錢.34.封閉麯麵的等分綫.40.具有許多完美性的圖形.41.一種類似的情形.42.正立體.43.歸納理由]
第十一章 更多種類的閤情推理
1.猜一猜
2.根據有關情形判定
3.根據一般情形判定
4.提齣一個比較簡單的猜想
5.背景
6.無窮盡的過程
7.常用的啓發性假設
第十一章的例題和注釋,1~~23.[16.一般情形.19.沒有主意是最不好的.20.一些常用的啓發性假設.21.樂觀的報酬.23.數值計算與工程師.]
後紀
問題的解答
參考文獻~
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