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出版者:Macmillan

作者:Martin M.Zuckerman

出品人:

页数:423

译者:

出版时间:1974

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9780024321107

丛书系列:

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《集合与超限数》是一部探索数学基石——集合论——的著作，它不仅仅是对抽象概念的梳理，更是一次深入数学思想腹地的旅程。本书旨在为读者揭示集合论如何构建起我们现代数学的宏伟殿堂，以及其中蕴含的深刻的无限思想。 本书的开篇，我们将从集合的最基本概念出发，审视“集合”这一朴素却至关重要的数学对象。我们将讨论集合的定义、描述方式（外延公理和内涵公理），以及一些基本的集合运算，如并集、交集、差集和补集。这些基础知识如同建造摩天大楼的地基，为后续更复杂、更抽象的理论铺平道路。读者将理解，看似简单的“一组事物”可以被严谨地定义，并在此基础上进行逻辑推理。 随后，本书将重点关注集合的大小，即集合的基数。我们将从有限集合的计数引入，逐步过渡到对无限集合的度量。这里，康托尔的开创性工作将是核心。我们不仅会介绍集合的相等概念（一一对应），更会深入探讨不同“大小”的无限集合。读者将亲眼见证，即使是无限，也存在着层级之分。例如，自然数集和有理数集虽然都是无限的，但它们具有相同的基数，即可数无限。然而，实数集的基数却比它们大，它代表了不可数无限。这种对无限的量化和区分，是人类数学史上一次伟大的飞跃，本书将带领读者一步步理解其精妙之处。 超限数，作为集合论中最令人着迷的部分之一，将占据本书的相当篇幅。我们将在理解了集合基数的基础上，进一步探索序数。序数不仅仅是描述集合大小的基数，它们更关注集合元素的“顺序”。通过引入超限序数，我们能够对无限的序列进行排序和计数。例如，第一个超限序数 ω（omega）代表了自然数集 0, 1, 2, ... 的“终点”，而 ω+1, ω+2, ... 则代表了在这个终点之后继续延伸的序数。本书将详细阐述序数的构造方法，以及它们在良序集合上的应用。我们将看到，序数理论为我们提供了一种理解和操作无限序列的强大工具。 在深入探讨超限序数和超限基数的同时，本书也将触及一些集合论中的经典问题和重要概念。例如，我们将讨论良序原理，它声称任何集合都可以被良序化，并解释良序原理与选择公理的关系。选择公理，作为集合论中最具争议也最强大的公理之一，其含义和影响将在本书中得到详尽的解析。我们将探讨选择公理的等价命题，如良序定理和最大元定理，以及它在数学各个领域中的应用，例如在证明一些看似不相关的定理时，选择公理能够提供简洁而深刻的解决方案。 此外，本书还将涉及集合论中的一些进阶主题，为有兴趣的读者提供更广阔的视野。这可能包括： 康托尔悖论与罗素悖论的探讨： 我们将回顾集合论早期遇到的深刻悖论，理解它们是如何暴露了朴素集合论的内在矛盾，并引导数学家们发展出公理化集合论。 策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）与策梅洛-弗兰克尔集合论加上选择公理（ZFC）： 本书将详细介绍现代数学赖以建立的公理系统，包括外延公理、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、替换公理模式、无穷公理、正则公理以及选择公理。我们将解析每个公理的作用，以及它们如何共同构建起一个自洽的集合理论体系。 可达基数和层级宇宙（V）： 本书将带领读者进入更抽象的集合论结构，探讨集合的层级构造，以及可达基数在描述某些集合性质时的作用。 内模型理论（Optional）： 对于希望深入理解集合论一致性证明的读者，本书可能还会简要介绍内模型理论的概念，展示如何构造集合论的模型来证明某些公理系统的一致性。 本书的写作风格旨在清晰、严谨且富于启发性。我们力求在保持数学严格性的同时，通过恰当的比喻和生动的例子，让抽象的数学概念变得易于理解。每章都配有精心设计的习题，旨在巩固读者对所学知识的掌握，并鼓励他们进行更深入的思考和探索。 《集合与超限数》不仅仅是一本教材，更是一扇通往数学深层思想的窗口。通过研读本书，读者将： 建立扎实的集合论基础： 掌握集合论的核心概念、运算和公理系统，为进一步学习数学打下坚实基础。 深刻理解无限的思想： 摆脱对无限的直观误解，认识到无限的复杂性和多样性，并掌握处理无限集合的数学工具。 领略数学抽象的魅力： 体验从具体到抽象的数学思维过程，欣赏数学概念的简洁与力量。 培养严谨的逻辑思维： 在学习集合论的推理过程中，锻炼和提升逻辑分析能力。 激发对数学的探索热情： 了解集合论在现代数学中的核心地位，以及它与其他数学分支的紧密联系，从而激发对数学更广泛的兴趣。 无论您是初次接触集合论的学生，还是希望加深对数学基础理解的研究者，亦或是仅仅对无限的奥秘充满好奇的求知者，《集合与超限数》都将是您一次富有成效的阅读体验。本书将引领您在数学的广袤宇宙中，探索集合的奥秘，并与那些令人敬畏的超限数字进行对话。

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阅读这本关于集合与超限数的著作，给我带来的最直接感受是“逻辑的纯净”。它很少使用那些花哨的现代数学语言，而是回归到一种非常纯粹的、基于形式语言的论证。书中的章节安排非常精妙，从最基本的集合操作，到选择公理的引入，再到对不同大小的无限的精确分类，每一步都像在解一个巨大的、优雅的谜题。我尤其欣赏作者在证明过程中，对“构造性”与“非构造性”的区分所持有的审慎态度，这在处理如选择公理这类非构造性工具时尤为重要。不过，这本书的文字量相当大，而且几乎没有彩图辅助，这对于习惯了多媒体教学的现代读者来说，是一个不小的挑战。阅读时必须保持极高的专注度，稍有走神就可能错过一个至关重要的逻辑跳跃。尽管如此，对于那些渴望真正理解集合论的“骨架”而非仅仅停留在表面概念的读者，这本书提供了最扎实的基础训练。它不迎合读者，而是挑战读者，最终让你获得对无限世界更深刻、更本质的洞察力。

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这本书的特点在于其高度的结构化和内在的逻辑美感。它不是一本平铺直叙的教材，更像是一部精心编排的音乐作品，不同的章节如同乐章，层层递进，和谐统一。我对它处理超限序数和极限过程的章节印象深刻，作者巧妙地运用了类比和图形化的语言，来帮助读者把握那些超越日常直觉的概念。例如，在讲解第一个不可数序数$omega_1$的构造时，它所展示的不仅仅是符号的堆砌，更是一种数学构造的艺术。然而，我必须指出，书中对于集合论在数理逻辑其他分支，如模型论或证明论中的交叉点着墨不多，这使得这本书的疆域相对集中于基数和序数的理论本身。对于想要了解集合论如何与其他逻辑领域深度互动的读者，可能会感到意犹未尽。总而言之，这是一部严肃的学术作品，它要求读者全身心地投入，但它所回报的知识体系的完整性和深度，是极少有同类书籍能够比拟的。它像一座坚固的灯塔，指引着我们在无限的海洋中辨明方向。

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这套关于集合论和超限数的书籍，从我个人的阅读体验来看，绝对是一次深入心智的旅程。它的叙述方式非常古典，仿佛是在引导读者重新发现数学的基石。作者在讲解皮亚诺公理和集合的基本构造时，那种细致入微的推导过程，让人感觉每一步都踏实可靠。我尤其欣赏它在处理罗素悖论那一段的处理方式，没有采取过于简化或故作高深的态度，而是将不同学派的处理思路清晰地并列出来，供读者自行思考。书中对于良序定理的证明部分，篇幅适中，既保证了严谨性，又避免了陷入无休止的符号游戏中。读完这些基础内容后，我对“数”的本质有了更深层次的理解，不再仅仅停留在小学时对自然数的机械计算上，而是体会到了其背后的哲学重量。这本书的排版和图示设计也相当出色，那些复杂的维恩图和集合关系图，在黑白印刷下依然清晰可辨，极大地帮助了空间想象力的构建。对于初学者来说，它可能略显厚重，但对于任何想要系统性夯实数学基础的人来说，这本书无疑是一份沉甸甸的财富，值得反复研读。它带来的知识的广度，远超出了书名所暗示的范围，它实际上是一部关于现代数学思维方式的入门指南。

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说实话，这本书的风格更像是上世纪中叶出版的经典著作，那种严谨到近乎苛刻的语言风格，让人联想到早期数学家们对精确性的不懈追求。它没有太多现代数学著作中常见的“趣味性”或“启发性”的叙述，一切都以证明和定义为核心。我特别喜欢它对不同集合论公理系统的历史背景的梳理，那些关于“什么是真正的集合”的争论，被还原得栩栩如生，仿佛历史就在眼前重演。书中对无限集合的基数进行比较的那几章，文字密度极高，每句话都可能隐藏着一个关键的逻辑步骤，因此我发现自己不得不放慢阅读速度，并备着大量的草稿纸进行辅助演算。对于已经熟悉了ZFC系统的读者来说，这本书提供了一个绝佳的“反思”平台，让你重新审视那些被视为理所当然的公理的真正含义。它的缺点可能在于，对于那些仅仅想了解“集合论能做什么”的读者来说，它提供的“为什么”的深度可能过剩了，过于专注于内在逻辑的自洽性，而较少关注外部世界的映射。

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我必须坦白，这本书在某些章节的难度曲线是相当陡峭的，尤其是在进入超限序数和基数运算的那部分。作者似乎默认读者已经对形式逻辑有着相当的把握，导致我在阅读早期章节时不得不频繁地查阅附录中的逻辑符号表。然而，一旦你跨越了最初的障碍，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。它对康托尔对角线论法的阐述，简直是教科书级别的精准，那种从有限到无限的飞跃感，被描述得淋漓尽致。我注意到书中对于选择公理的讨论非常深入，不仅探讨了它的等价命题，还花了不少篇幅去探讨那些拒绝接受它的“替代”理论框架的可能性，这显示了作者开阔的学术视野。遗憾的是，关于集合论在拓扑学或分析学中的具体应用案例相对较少，使得这本书的导向性偏向纯数学理论建构，对于应用型研究者来说，可能需要补充其他参考资料来衔接实际领域。尽管如此，它为构建一个稳固的、基于公理的数学大厦所提供的蓝图，是无可替代的。这本书更像是一部工具书，而不是一本轻松的小说，需要读者投入大量的时间和精力去“消化”它。

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