Mathematik für das erste Semester pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Spektrum Akademischer Verlag

作者:Mike Scherfner

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2011-10-7

价格:EUR 24.95

装帧:Taschenbuch

isbn号码:9783827425041

丛书系列:

图书标签:

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• 德國
• 2014
• 数学
• 微积分
• 线性代数
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• 理工科
• 数学基础

好的，这是一份针对一本名为《面向第一学期数学》之外的、更深入的数学书籍的详细简介。我们将聚焦于介绍那些通常在入门级课程之后才会深入探讨的主题，力求内容详实、专业。 --- 进阶微积分与多变量分析：理论的深化与应用的拓展 本书面向对象： 已经掌握了标准微积分I和微积分II（包括单变量的极限、导数、积分及其基本应用）的本科生、工程学学生、物理学专业学生以及对数学原理有深刻探究需求的自学者。 本书定位： 本书旨在作为经典微积分课程的延伸与深化，着重于将单变量分析的严谨性推广至多维空间，并引入更高级的分析工具，为后续的线性代数、微分方程、复变函数及理论物理奠定坚实的数学基础。我们不重复基础的导数和积分计算技巧，而是将重点放在为什么这些技巧有效，以及它们在更高维度上的几何和拓扑意义。 --- 第一部分：严谨性与实数系统回顾（Bridging to Rigor） 虽然第一学期的课程通常侧重于计算，但本部分将快速回顾并深化对微积分基础的分析性理解。 1. $epsilon-delta$ 语言的精炼与序列收敛性： 重新审视极限的正式定义，但重点放在多重极限、路径无关性以及柯西序列（Cauchy Sequences）的概念。讨论完备性（Completeness）在实数系统中的核心作用，为后续分析中的收敛性论证打下基础。 2. 函数空间与拓扑初步： 介绍开集、闭集、紧集（Compactness）等基本拓扑概念，并探讨它们在 $mathbb{R}^n$ 空间中的体现。理解紧集上的连续函数性质（如极值定理）的严谨证明，而不仅仅是接受结论。 --- 第二部分：向量分析与空间几何（Vector Calculus in $mathbb{R}^n$） 这是本书的核心部分，将单变量微积分的工具提升到 $n$ 维空间，侧重于高维空间中的“流”与“形变”。 3. 偏导数与方向导数： 从梯度（Gradient）的几何意义出发，深入探讨梯度场作为函数增长最快的方向。引入法向量与切平面在任意曲面上的推广。 4. 多重积分的本质与坐标变换： 二重、三重积分的严谨建立： 讨论黎曼和在 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 上的推广，重点分析积分的Fubini定理的条件与局限性。 雅可比行列式（Jacobian Determinant）： 详细推导并解释为什么在变量替换时需要乘以雅可比行列式的绝对值。这不仅仅是一个换元公式，而是局部面积或体积元素在变换下的缩放因子。我们将探讨雅可比在几何上的含义——局部线性近似下的面积/体积比。 5. 线积分与面积分： 保守场与势函数： 深入分析线积分与路径无关性的内在联系，并严格证明“如果梯度场是保守的，则其旋度为零”。 曲面参数化与面积分： 详细介绍曲面的单位法向量场，以及如何计算通过曲面的通量（Flux）。 6. 向量微积分三大定理的统一： 这是本书的理论高潮。我们将详尽分析格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理的几何意义、适用条件和内在联系。 格林公式（二维）： 视为场在边界上的环积与场在区域内的旋度的关系。 斯托克斯公式（三维）： 将边界曲线上的线积分（环流）与曲面上的旋度积分联系起来，阐释了“旋度是积分的边界效应”。 散度定理（高斯定理）： 将区域内部源汇（散度）的总量与区域边界上的净流出（通量）联系起来，这是理解流体动力学和电磁场的基础。 --- 第三部分：函数空间与隐函数理论（Analysis of Mappings） 本部分关注更高维度的函数映射，以及如何处理复杂约束条件下的优化问题。 7. 隐函数定理与反函数定理： 局部逆定理的建立： 这一部分将不再停留在“只要行列式不为零”的经验层面，而是利用迭代法（如巴拿赫不动点定理的推广）来严格证明局部可逆性存在的充分条件——偏导数矩阵的满秩性。 隐函数定理的几何推导： 探讨在约束曲面或曲线上进行变量消元的可行性与局部性质。 8. 拉格朗日乘数法（Lagrange Multipliers）的分析基础： 几何解释的深化： 理解约束优化问题本质上是寻找目标函数梯度与约束函数梯度平行的点。 严格推导： 基于隐函数定理，严格推导出拉格朗日函数法的必要条件，并讨论其在非线性约束下的适用性。 9. 泰勒定理的多变量推广： 推导二阶泰勒公式在 $mathbb{R}^n$ 上的形式，并利用Hessian矩阵来分析多元函数的局部极值点（鞍点、极大/极小值）的分类标准。 --- 第四部分：基础测度论与黎曼积分的局限（Paving the Way for Lebesgue） 为了更好地理解现代分析，本部分会简要探讨传统黎曼积分的缺陷，并引入更强大的积分概念的雏形。 10. 黎曼可积性的限制： 分析那些虽然有界但不可黎曼积分的函数（例如狄利克雷函数）。 11. 测度论的直觉引入： 简要介绍长度、面积、体积的“测度”概念。虽然不深入勒贝格积分的全部细节，但会提供一个清晰的对比，说明测度论如何克服黎曼积分在处理“病态”函数时的困难。 --- 本书特点： 强调证明： 每项主要定理都附有详细的、可供验证的分析证明，而非仅仅是直观解释。 几何驱动： 所有代数操作都与高维空间中的几何对象（曲面、通量、旋转）紧密联系。 理论衔接： 明确指出各章节内容与后续高等数学（如傅里叶分析、微分几何和实分析）之间的桥梁作用。 通过系统学习本书内容，读者将能够从“如何计算”微积分，跨越到“为什么”微积分在更高维度上依然有效，并具备严谨分析复杂物理和工程问题的能力。

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作为一名即将步入大学的学子，我对于如何衔接高中数学与大学数学感到迷茫。而这本《Mathematik für das erste Semester》恰好填补了这一空白。它清晰地梳理了大学数学的入门知识，并巧妙地与高中数学中的相关内容进行了联系。这让我能够更顺畅地过渡到新的学习阶段，并且对大学数学的整体框架有了初步的认识。书中对一些概念的引申和拓展，也让我看到了数学的广阔天地，激发了我进一步探索的欲望。

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这本书的语言表达是其最大的亮点之一。作者用一种非常平易近人的方式来解释深奥的数学理论，避免了过于艰涩的术语。即使是一些在高中阶段让我感到头疼的概念，在这本书的讲解下也变得容易理解。我特别喜欢书中对一些证明的分析，它不仅仅是展示了证明的步骤，更重要的是解释了证明的思路和背后的逻辑。这种“授人以鱼不如授人以渔”的教学理念，让我学会了如何独立思考和分析问题。

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这本书的习题集是其不可或缺的一部分，它提供了一个极好的练习平台。习题的难度梯度设置得非常合理，从简单的概念辨析到复杂的综合运用，应有尽有。我发现，通过反复练习，我不仅能够熟练掌握各种计算技巧，更重要的是能够培养自己分析和解决数学问题的能力。许多习题还提供了详细的解题思路和步骤，这让我能够从中学习到不同的解题方法和技巧，极大地提升了我的数学解题效率。

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我特别欣赏这本书在数学符号使用上的规范性。在大学数学中，严谨的符号使用是必不可少的，而这本书在这方面做得非常出色。每一个符号的定义都清晰明确，并且在后续的讲解中保持了一致性，这避免了许多不必要的混淆和误解。此外，书中还提供了大量的图示和图形，它们不仅仅是装饰，更是帮助理解抽象概念的关键辅助工具。例如，在讲解微积分的几何意义时，书中那些精美的导数和积分的几何解释图，让我瞬间豁然开朗。

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这本书的内容编排非常具有启发性。它不仅注重数学知识本身的讲解，还强调了数学思维的培养。例如，在介绍逻辑推理和证明方法时，作者提供了大量的范例，并详细分析了其中的逻辑链条，这对于培养我的数学思维能力非常有帮助。我不再仅仅是被动地接受知识，而是开始主动地去思考，去理解数学的逻辑严谨性。这种学习方式让我对数学产生了更深层次的理解和欣赏。

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我非常欣赏这本书在细节上的严谨性。每一个定义、每一个定理都经过了反复的推敲和验证，没有任何含糊不清的地方。即使是对于一些看似简单的概念，书中也进行了深入的剖析，让我能够从不同的角度去理解它们。这种严谨的态度，让我对数学这门学科充满了敬畏，也让我认识到，在学习任何知识时，都应该保持一种严谨求实的态度。这本书不仅仅是一本教材，更是我学习数学道路上的一位良师益友。

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我必须承认，在拿到这本《Mathematik für das erste Semester》之前，我对大学数学充满了敬畏，甚至有些恐惧。然而，这本书的出现彻底改变了我的看法。它的语言风格亲切而不失专业，即使是对于那些在高中阶段对数学感到吃力的人，也能够找到学习的乐趣。书中的习题设计也非常巧妙，从易到难，循序渐进，每一道题都像是对前面所学知识的一次有力巩固和拓展。完成习题后，我不仅掌握了知识点，更培养了解决问题的能力，这种成就感是无与伦比的。作者在讲解过程中，也经常穿插一些数学史的小故事，让我了解到这些伟大的数学概念是如何被发现和发展起来的，这种人文关怀让学习过程更加有趣和有深度。

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这本书简直是数学世界的一扇窗户，让我这个初次踏入大学数学殿堂的读者，既感到新奇又充满信心。它的编排逻辑清晰得令人称赞，从最基础的概念出发，层层递进，仿佛一位经验丰富的向导，耐心地引领我穿越抽象的数学森林。每一个定理的引入都伴随着详尽的推导过程，而不是生硬的给出结论，这让我能够真正理解数学的内在美和严谨性。我尤其喜欢书中对概念的解释，使用了大量生动形象的比喻，例如将积分比作“累加的魔法”，将向量比作“指向方向的箭头”，这些形象的描述极大地降低了理解门槛，让我能够更直观地把握抽象的数学思想。

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对于我这样一名对数学充满好奇但基础相对薄弱的学生来说，这本《Mathematik für das erste Semester》无疑是量身定做的。它没有上来就抛出复杂的概念，而是从最基础的集合论、逻辑推理讲起，一步一个脚印。让我感到欣慰的是，这本书的每一章都建立在前一章的基础之上，知识体系非常完整且连贯。我发现自己能够逐渐建立起对整个数学框架的认知，而不是零散地学习孤立的知识点。这种系统性的学习方式，让我对未来的数学学习充满了信心。

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初翻开这本书，就被其简洁大方的排版所吸引。每一个公式、每一个定理都清晰地呈现在眼前，没有丝毫的杂乱感。更重要的是，作者在讲解每一个数学概念时，都非常注重其在实际应用中的价值，这让我意识到数学并非是空中楼阁，而是与我们的生活息息相关。例如，在介绍线性代数时，书中就提到了它在图像处理、数据分析等领域的广泛应用，这极大地激发了我学习的动力。我开始主动去思考，如何运用书中所学的知识去解决实际问题，这种主动学习的态度是任何枯燥的填鸭式教学都无法比拟的。

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