数量概念的训练 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:明天出版社

作者:

出品人:

页数:80

译者:

出版时间:1998-01

价格:6.50

装帧:平装

isbn号码:9787533224578

丛书系列:

图书标签:

• 古典
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几何结构与拓扑的深度探索 本书《几何结构与拓扑的深度探索》旨在为读者提供一个深入、系统的现代数学分支——几何学与拓扑学的导论。它不仅仅是一本教科书，更是一次对空间、形状、连续性和内在属性进行哲学性与精确化审视的旅程。本书的撰写风格力求严谨又不失启发性，引导读者从直观的几何想象过渡到抽象的代数和分析工具。 第一部分：欧几里得空间的精细化与微分几何的基石 本书的开篇聚焦于我们最熟悉的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$，但视角将立即提升至更高阶的分析层面。我们不会停留于基础的向量代数，而是直接引入微分流形的概念。 第1章：流形的基本结构与局部性质 本章详细阐述了流形（Manifold）的正式定义，包括拓扑基础、坐标图集（Atlas）和可微性要求。我们探讨了切空间（Tangent Space）的构造，将其视为流形上所有方向的线性空间，这是后续微分几何分析的决定性基础。读者将学习如何利用切向量来描述曲线的瞬时变化率，并理解切空间的维度如何保持局部上的欧几里得特性。我们还将引入向量场的概念，并讨论向量场在流形上的一般积分曲线问题。 第2章：张量分析与曲率的度量 从切空间出发，本书自然过渡到张量（Tensor）的代数结构。我们详尽地解释了协变张量、逆变张量以及混合张量的定义和指标运算规则。重点将放在度量张量（Metric Tensor）上，它是赋予流形长度、角度和距离概念的核心工具。通过度量张量，我们定义了黎曼几何（Riemannian Geometry）的基石——协变导数（Covariant Derivative）和克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols）。本章的核心高潮在于黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的构建，它精确地量化了流形在各方向上的弯曲程度。我们将通过高斯绝妙定理（Theorema Egregium）来阐释曲率的内在性。 第3章：测地线与变分原理 本章将测地线（Geodesic）——流形上“最短路径”的推广——置于核心地位。我们不仅从微分方程的角度求解测地线方程，更重要的是，我们从变分原理（Calculus of Variations）的角度推导出测地线是能量泛函的临界点。这展示了几何结构与分析优化的深刻联系。我们还会探讨测地线完备性（Geodesic Completeness）这一拓扑和分析交织的重要概念。 第二部分：拓扑空间的本质与不变性 在奠定了微分几何的分析基础后，本书转向拓扑学，专注于那些不依赖于度量、只依赖于开集结构的性质——拓扑不变量。 第4章：基础拓扑结构与连续性的抽象 本章从集合论基础出发，严格定义了拓扑空间。我们详细区分了闭集、开集、邻域和凝聚点。关键概念如紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）将被引入，并展示它们在分析中的关键作用（如魏尔斯特拉斯定理的拓扑推广）。我们还将探讨分离公理（Separation Axioms），从 $T_1$ 到完全正则性空间，理解不同拓扑空间对“分离点”的能力。 第5章：连续映射与拓扑同胚 拓扑学的核心在于研究在连续映射下保持不变的性质。本章聚焦于拓扑同胚（Homeomorphism）的概念，将其作为拓扑学中“形状相同”的严格定义。我们将分析拓扑不变量，例如维度（在特定条件下）、连通分支数等。本章将引入同伦（Homotopy）的概念，作为一种更弱的形变等价关系，为后续代数拓扑打下基础。 第6章：代数拓扑的入门：基本群 本书的最后部分开始融合代数工具来解决拓扑问题。基本群（Fundamental Group），即 $pi_1(X, x_0)$，被定义为基于环（Loops）的群。我们展示了如何计算一些经典空间的$pi_1$群，例如圆周 $S^1$（利用覆盖空间理论的初步思想）和环面 $T^2$。本章旨在说明，通过将拓扑对象转化为代数对象（群论），我们可以精确地判断两个空间是否拓扑等价，例如证明球面 $S^2$ 和环面 $T^2$ 不是同胚的。 总结与展望 《几何结构与拓扑的深度探索》在结构上呈现出从“度量化的局部”到“非度量化的全局”的递进关系。它要求读者具备扎实的微积分和线性代数基础，并鼓励读者以一种跨越分析、代数和几何的眼光看待空间。全书的论证流程是自洽且严密的，目标是让读者能够清晰地理解现代几何学和拓扑学概念的起源、相互联系及其在理论物理和高级数学中的应用潜力。全书内容聚焦于对空间结构和形状不变性的严格数学描述，不涉及任何关于数量计算、数字系统、集合运算或基础算术的特定训练方法或应用场景。

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这本书的阅读体验简直是一场智力上的探险，它完全颠覆了我对传统数学读物的所有期待。作者的叙事风格极其个人化，仿佛是在与一位睿智的长者进行深夜长谈，充满了对人类认知局限性的反思。他没有过多地纠缠于复杂的公式推导，而是将焦点放在了“如何形成数量概念”这一认知心理学的核心问题上。我印象最深的是他对原始社会人类如何从混沌中抽象出“数量”这一概念的精彩描述，那种基于生存需要和环境互动的进化视角，让我对数字的起源有了全新的认识。这种跨学科的融合，使得原本冰冷的数学概念变得鲜活而富有生命力。阅读过程中，我常常需要停下来，凝视窗外，思考书中提出的那些关于“无限”和“有限”的悖论，感觉自己的心智在不断地被锤炼，变得更加敏锐和富有洞察力。

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这本书的排版和设计也颇具匠心，虽然内容深邃，但整体呈现出一种极简主义的美感，这与它探讨的主题——抽象与纯粹——高度契合。我常常在阅读涉及“连续性”和“离散性”的章节时，感受到一种强烈的画面感，仿佛那些数字和集合正在我眼前进行着复杂的、永不停歇的舞蹈。作者的表达方式非常具有启发性，他擅长提出那些尖锐的问题，而不是急于给出标准答案，这极大地激发了读者的主动思考。例如，他对于“零”的引入和定义，就引发了我对“虚无”与“存在”的深层思考。这本书更像是一本思想的催化剂，它不直接灌输知识，而是通过精妙的引导，让你自己去构建起属于自己的数量认知大厦。

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这本书的语言真是充满了哲学的思辨，读起来让人仿佛置身于一个纯粹的逻辑空间。作者在探讨数字的本质时，并未停留于简单的计数，而是深入挖掘了“多”与“少”背后的存在论意义。我尤其欣赏他对集合论基础的阐述，那种抽丝剥茧般的严谨，将原本抽象的概念具象化为一个个可以触摸的思维结构。它不是那种直接告诉你“一加一等于二”的教材，更像是一本引导你重新审视我们习以为常的数学世界的哲学随笔。读完后，我对那些看似理所当然的数学公理产生了全新的敬畏感，感觉自己的思维维度被拓宽了，能够以一种更深刻、更本质的眼光去看待数量关系。这本书的结构安排也十分巧妙，层层递进，从最基本的单元概念，逐步构建起复杂的数量体系，每一步都恰到好处地激发读者的好奇心和求知欲，让人忍不住想一探究竟，探究数字的终极奥秘。

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这本书的价值远超一本单纯的学术著作，它更像是一部关于人类思维如何自我构建的编年史。作者的笔触时而宏大，追溯到古希腊数学家的精神遗产，时而又微观到孩童学习的初始阶段，这种跨越时空的叙事手法极具感染力。我尤其欣赏他对“度量”这一行为的批判性审视，它揭示了我们习惯性地用数字来量化一切背后的潜在偏见。这本书迫使我跳出“工具理性”的窠臼，去思考数字本身作为一种语言的局限性。读完后，我对待日常生活中那些基于数量的判断，都多了一层审慎的目光，不再轻易接受表面的数值结果，而是探究其背后的逻辑结构和哲学根基。这是一部能真正改变你看待世界方式的力作。

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坦白说，这本书的文字密度非常高，需要反复咀嚼才能品出其中的韵味。它不是一本适合快速浏览的读物，更像是一件需要耐心打磨的艺术品。作者对概念的界定极其精确，每一个词语的选择都仿佛经过了千锤百炼，不容许一丝一毫的模糊。对于那些习惯了快餐式知识的读者来说，这本书的节奏可能会显得有些缓慢，但正是这种缓慢，成就了其深厚的内涵。我特别喜欢其中关于“序数”和“基数”差异性的探讨，作者用一系列精妙的类比，将它们之间的微妙区别阐释得淋漓尽致，彻底解决了困扰我多年的疑惑。这本书对细节的执着，体现了一种对知识纯粹性的不懈追求，读罢让人感到一种由内而外的充实和满足，仿佛完成了一次高强度的智力健行。

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