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出版者:Addison Wesley

作者:Roman Maeder

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:1996-12-27

价格:GBP 27.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780201854497

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Mathematica
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• 编程
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• 计算机代数
• 符号计算
• 算法
• 函数式编程
• Wolfram语言
• 数据科学
• 科学计算

《深入理解数学编程：理论、实践与创新》 一、 前言：跨越理论鸿沟，拥抱计算的艺术 在信息爆炸的时代，数学不再是束之高阁的抽象概念，而是驱动科学发现、工程创新乃至商业决策的核心引擎。然而，将深奥的数学理论转化为可执行的计算模型，往往是阻碍知识传播和技术应用的关键瓶颈。本书《深入理解数学编程：理论、实践与创新》，正是一座连接数学理论与计算实践的桥梁。它旨在为读者提供一套系统、深入的数学编程方法论，通过实践性的指导，引导读者掌握运用现代计算工具解决复杂数学问题的能力。本书并非仅仅罗列枯燥的代码，而是深入剖析每一项编程技术的背后所蕴含的数学思想，揭示计算的效率与优雅，帮助读者在编程的实践中，升华对数学原理的理解。 本书的目标读者群体广泛，包括但不限于： 数学专业学生和研究人员： 希望将理论知识应用于实际计算，进行数值模拟、数据分析、符号计算，以加速研究进程，探索更深层次的数学结构。 计算机科学和工程领域从业者： 需要借助数学工具解决复杂的算法设计、模型优化、系统仿真等问题，提升解决实际工程挑战的能力。 对数学与计算交叉领域感兴趣的学习者： 渴望理解如何利用计算的力量来探索数学之美，学习如何将数学概念转化为可操作的算法。 希望提升编程技能，特别是在科学计算和数值分析方面具有更高追求的程序员。 我们坚信，数学编程是一门需要理论深度和实践广度兼备的艺术。本书正是致力于培养这种艺术家的素养。 二、 第一部分：计算思维的基石——理论基础与核心概念 本部分将为读者构建坚实的数学编程理论基础，确保读者能够理解编程操作背后的数学原理，而非仅仅停留在“知其然”的层面。 1. 计算模型的数学演进： 从图灵机到现代计算架构： 回顾计算理论的发展历程，理解算法的本质及其可计算性限制。 数值计算与符号计算的辩证关系： 深入探讨这两种计算范式在解决不同类型数学问题时的优势与局限，以及它们如何相互补充。 精度、收敛性与稳定性： 系统阐述数值计算中的关键概念，理解误差传播机制，掌握评估算法性能的数学指标。 离散化与近似方法： 介绍如何将连续数学模型转化为离散形式，以及各种近似技术（如泰勒展开、插值、拟合）的数学原理和应用场景。 2. 核心数学概念的计算化视角： 线性代数在计算中的应用： 向量与矩阵运算的底层原理：深入解析矩阵乘法、求逆、分解（如LU、QR、SVD）等运算的计算复杂度与数值稳定性。 特征值与特征向量：探讨其在降维（PCA）、稳定性分析、图论等领域的计算应用。 线性方程组的求解：分析不同方法的优劣（如高斯消元法、迭代法），理解其在物理模型、信号处理中的重要性。 微积分与数值分析： 数值积分与微分：介绍梯形法则、辛普森法则、有限差分法等，并分析其误差分析。 常微分方程（ODEs）的数值求解：深入讲解欧拉法、龙格-库塔法等经典方法的原理、收敛性与稳定性，及其在动力系统模拟中的应用。 偏微分方程（PDEs）的离散化方法：初步介绍有限差分法、有限元法等核心思想，为后续复杂模型分析奠定基础。 概率论与统计计算： 随机数生成与蒙特卡洛方法：理解伪随机数生成器的数学原理，以及蒙特卡洛方法在积分计算、优化、风险评估中的强大力量。 统计模型的计算实现：讲解参数估计（如最大似然估计）、假设检验等统计方法的计算流程。 离散数学与组合优化： 图论的计算表达：如何用数据结构表示图，以及图遍历（DFS, BFS）、最短路径（Dijkstra, Floyd-Warshall）、最小生成树（Prim, Kruskal）等算法的实现原理。 组合优化问题的计算方法：介绍动态规划、贪心算法、回溯法等解决组合问题的思想。 3. 算法复杂度与效率分析： 渐进符号（Big O, Big Omega, Big Theta）： 学习如何量化算法的时间和空间复杂度。 常见算法复杂度类别的分析： O(n), O(n log n), O(n^2), O(2^n) 等，以及它们对实际计算性能的影响。 优化策略： 如何通过改进算法设计、数据结构选择来提升计算效率。 三、 第二部分：实践者的工具箱——核心编程技术与高级应用 本部分将聚焦于具体的数学编程技术，通过大量案例分析，帮助读者将理论知识转化为解决实际问题的能力。 1. 高效数据结构与算法实现： 数组、列表、矩阵的计算优化： 深入理解不同数据结构的内存管理和访问效率，掌握高效利用内置数据结构的方法。 稀疏矩阵的处理： 介绍稀疏矩阵的存储格式（如CSR, CSC）及其在求解大型线性方程组、图算法中的重要性。 排序与搜索算法的实现与分析： 手动实现并分析快速排序、归并排序、二分查找等经典算法，理解其在数据处理中的作用。 高级数据结构： 哈希表、树（二叉搜索树、平衡树）、堆（优先队列）等在特定问题中的应用。 2. 数值计算的深度实践： 线性方程组的高精度求解： 深入实践各种矩阵分解技术（Cholesky, SVD），并讨论其在工程仿真、图像处理中的应用。 特征值分解与应用： 详细实现PCA、谱聚类等算法，理解其在降维、数据分析中的作用。 常微分方程（ODEs）的数值模拟： 针对不同类型的ODE系统（如刚性方程、非线性方程），选择和实现合适的数值求解器，并进行稳定性与精度分析。 偏微分方程（PDEs）的数值求解入门： 有限差分法的深入应用： 详细讲解如何离散化求解一维、二维热传导方程、波动方程等，并分析其边界条件的处理。 有限元法的概念与基本框架： 介绍有限元法的核心思想，及其在模拟复杂几何形状和边界条件下的优势。 优化问题的计算求解： 无约束优化： 梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法等算法的实现与分析。 约束优化： 拉格朗日乘子法、序列二次规划（SQP）等方法的计算原理。 全局优化： 模拟退火、遗传算法等启发式搜索方法。 3. 符号计算与代数操作： 多项式运算与方程求解： 符号化地进行多项式加减乘除、因式分解、求解代数方程。 微积分的符号计算： 符号化地进行积分、微分、求极限。 变量代换与表达式化简： 自动进行复杂的代数表达式化简，处理三角函数、指数函数等。 符号解微分方程： 探讨使用符号计算工具求解解析解的可能性。 4. 概率统计的计算实现： 概率分布的生成与采样： 实现各种离散和连续概率分布的随机采样，如二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布等。 蒙特卡洛模拟的应用： 运用蒙特卡洛方法求解复杂的积分问题、估计概率、进行风险分析（如Black-Scholes模型）。 贝叶斯统计的计算推断： 介绍马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法（如Metropolis-Hastings算法）的基本思想及其在模型推断中的应用。 时间序列分析的计算模型： ARMA、ARIMA模型等的实现与预测。 5. 可视化与结果呈现： 数学函数的二维与三维绘图： 掌握绘制复杂函数曲线、曲面、等高线的技巧。 数据可视化： 散点图、直方图、箱线图、热力图等，用于直观展示数据特征和模型结果。 动态可视化与交互式图形： 制作能够展示系统动态演化过程的动画，或提供用户交互式探索的图形界面。 科学图表的规范绘制： 学习如何生成符合学术发表要求的精美图表。 四、 第三部分：进阶探索与创新应用 本部分将引导读者将所学知识融会贯通，应用于更广泛的领域，并激发读者进行自主创新。 1. 高性能计算与并行化： 并行计算模型概述： 共享内存模型、分布式内存模型。 向量化计算： 利用SIMD指令集加速大规模数据处理。 多线程与多进程编程： 提升 CPU 密集型任务的执行效率。 分布式计算的基本概念： MPI, Spark 等框架的初步介绍。 2. 数学建模与算法设计： 从现实问题到数学模型： 学习如何识别问题中的关键因素，并将其转化为数学描述。 模型的验证与修正： 如何通过计算实验来检验模型的准确性，并根据反馈进行迭代优化。 设计高效算法解决实际问题： 结合理论基础，为具体问题量身定制算法。 3. 跨领域应用实例剖析： 物理学： 模拟粒子运动、流体动力学、电磁场。 工程学： 有限元分析（FEA）在结构力学、热传导中的应用，控制系统设计。 金融学： 期权定价模型（Black-Scholes-Merton）、风险管理、投资组合优化。 生物学： 生物序列比对、基因组学分析、系统生物学建模。 机器学习与数据科学： 线性回归、逻辑回归、支持向量机（SVM）、神经网络等算法背后的数学原理与计算实现。 4. 开源生态与社区协作： 利用现有科学计算库： 介绍NumPy, SciPy, Matplotlib, Pandas, Scikit-learn等主流科学计算库的强大功能。 理解开源项目的贡献与协作模式： 鼓励读者参与到开源社区中，贡献代码，学习他人经验。 5. 面向未来的思考： 计算的边界与挑战： 探索当前计算能力面临的极限，以及潜在的突破方向（如量子计算）。 人工智能与数学编程的融合： 探讨AI技术如何赋能数学研究，以及数学工具如何支持AI的发展。 持续学习与探索的路径： 引导读者建立终身学习的习惯，不断拓展数学编程的疆域。 五、 结语：计算即语言，编程即创造 《深入理解数学编程：理论、实践与创新》不仅仅是一本技术手册，更是一次关于计算思维与数学之美的探索之旅。我们希望通过本书，激发读者对数学编程的热情，赋予读者用计算创造新知、解决复杂问题的力量。在这个计算驱动的时代，掌握数学编程，就是掌握一种强大的语言，一种通往科学前沿、技术创新的钥匙。愿本书成为您在数学编程道路上不可或缺的伙伴，引领您在计算的海洋中，扬帆远航，发现无限可能。

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这本书的叙事风格非常具有启发性，它不像一本冷冰冰的技术手册，更像是一位经验丰富的大师在循循善诱。作者擅长使用类比和直觉性的解释来阐述那些乍看起来非常抽象的数学和计算概念。我尤其对其中关于“即时函数”（Immediate vs. Delayed Evaluation）的深入探讨印象深刻，这种对语言核心机制的剖析，是区分普通用户和高级开发者的关键点。很多时候，我们写出的代码运行缓慢或者得到意外结果，往往就是因为对评估规则理解不到位。这本书用清晰的例子揭示了这些“陷阱”，并且提供了规避的最佳实践。此外，书中对面向对象编程在Mathematica环境下的实现方法也进行了介绍，这极大地拓宽了我对这门语言的想象空间。它鼓励读者去构建模块化、可维护性高的代码库，而不是写一堆杂乱无章的脚本。如果你想真正掌握Mathematica的精髓，理解它背后的哲学思想，这本书是绕不开的必读经典。

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作为一个在学术界摸爬滚打多年的研究者，我最看重的是工具的灵活性和扩展性。这本书在“扩展”这一块做得尤为出色。它详细讲解了如何利用C/C++或Python等外部语言与Mathematica进行高效的互操作（Interfacing），这为处理那些Mathematica本身计算效率不高的特定任务提供了完美的解决方案。书中的“系统调用”和“外部语言接口”章节，结构严谨，代码示例可以直接运行并用于生产环境。更令人惊喜的是，它并没有止步于基础的外部函数调用，还深入讨论了如何为Mathematica编写自定义的动态界面（Dynamic Interfaces），使得我们能为非专业背景的合作者开发出直观易用的交互式工具。这种对生态系统整合的重视，表明作者深刻理解现代计算环境的复杂性。这本书为我打开了一扇通往更强大、更定制化计算环境的大门，极大地提升了我研究工作的自动化水平。

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这本关于Mathematica编程的书简直是为我量身定做的，我一直都在寻找一本既能深入浅出讲解基础概念，又能触及高级应用技巧的教材。作者在内容组织上展现了极高的专业素养，它不仅仅罗列了函数和语法，更重要的是，它构建了一套完整的编程思维框架。我特别欣赏书中对符号计算和数值计算之间关系的探讨，这种深度剖析在其他同类书籍中是极为罕见的。每当遇到一个复杂的数学问题，我总能从书中找到用Mathematica优雅解决的思路。比如，在处理微分方程组时，书中提供的例子清晰地展示了如何利用内置的高效算法，避免了手动推导的繁琐和潜在错误。对于初学者来说，开篇的几章内容设计得非常友好，逐步引入了Notebook界面的操作和基本的数据结构，确保了读者能够平稳过渡到真正的编程逻辑中去。而对于有一定经验的读者，深入的性能优化章节和元编程的介绍，则提供了宝贵的进阶资源。这本书的价值，在于它真正教会了读者如何“像Mathematica一样思考”，而不是仅仅学会如何输入命令。它是一本可以伴随我职业生涯不断成长的参考书。

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坦白说，这本书的厚度让人望而生畏，但翻开之后才发现，每一页内容都是沉甸甸的知识。我发现自己不得不放慢阅读速度，因为很多复杂的算法和数据结构都需要时间去消化吸收。它最强大的地方在于，它不仅教授了“如何做”，更重要的是解释了“为什么这么做是最好的”。例如，在讲解列表操作时，作者对比了不同方法在处理大型数据集时的性能差异，并从底层原理上分析了背后的时间复杂度。这种严谨的计算科学视角，让这本书远超了一般的编程指南。对于那些追求极致性能和代码优雅性的硬核开发者来说，这本书提供了足够的深度和挑战。阅读完此书，我最大的感受是思维的拓展——我不再满足于只用Mathematica的快捷方式来解决问题，而是开始思考如何利用其底层机制来设计更高效、更具原创性的计算方案。这是一本需要反复研读，并且每次重读都能有新发现的宝藏之作。

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我必须承认，最初我对这本书的期望值并不高，市面上关于特定软件编程的书籍，很多都沦为枯燥的API手册。然而，这本书彻底颠覆了我的认知。它最引人注目的特点是其对实际工程问题的关注度极高。书中包含了大量来自物理、金融和工程领域的真实案例，这些案例的解析过程极其详尽，不仅仅给出了代码，更重要的是解释了为什么选择这种特定的编程范式和函数组合。例如，书中关于蒙特卡洛模拟的应用部分，不仅展示了如何高效地生成随机数序列，还深入讨论了如何利用Mathematica的并行计算能力来加速收敛速度，这对于处理大数据集的我来说，无疑是金矿般的存在。它的排版和图示设计也十分出色，复杂的流程图和代码块之间的逻辑关联一目了然。这种将理论与实践紧密结合的方式，极大地提升了我的学习效率和解决实际问题的信心。我感觉自己正在从一个单纯的“Mathematica使用者”蜕变为一个能够驾驭其强大计算潜能的“构建者”。

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硕士期间在亚马逊中国居然买到了，就利用晚上时间陆续看完了这本书。自己当时已经属于Mathematica的高级用户，所以这本书难度对我正好，但是不建议入门的同学看。

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硕士期间在亚马逊中国居然买到了，就利用晚上时间陆续看完了这本书。自己当时已经属于Mathematica的高级用户，所以这本书难度对我正好，但是不建议入门的同学看。

评分☆☆☆☆☆

比Gaylord那一本难很多，做independent study看的。

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硕士期间在亚马逊中国居然买到了，就利用晚上时间陆续看完了这本书。自己当时已经属于Mathematica的高级用户，所以这本书难度对我正好，但是不建议入门的同学看。

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