A Course in Computational Number Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Bressoud, David; Wagon, Stan

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2008-6

价格:839.00元

装帧:

isbn号码:9780470412152

丛书系列:

图书标签:

• 数论
• 数学
• Mathematica
• Computational Number Theory
• Number Theory
• Algorithms
• Mathematics
• Computer Science
• Cryptography
• Discrete Mathematics
• Algebraic Number Theory
• Coding Theory
• Prime Numbers

《计算数论导论》 内容简介： 本书是一本关于计算数论的综合性教材，旨在为读者提供一个坚实的基础，以理解和应用数论中的算法和计算技术。它涵盖了数论的经典理论，并着重于这些理论如何在实际计算中得到实现和应用。本书适合具有一定数学背景（包括基本的数论、离散数学和算法分析知识）的学生和研究人员阅读。 第一部分：基础概念与工具 在本书的开篇，我们首先回顾和巩固了数论的一些基本概念和工具。这为后续深入的学习奠定了必要的基础。 整除性与同余： 我们从最基本的整除性概念入手，包括素数、合数、最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）等。紧接着，我们深入探讨了同余的概念，这是计算数论中最为核心的思想之一。我们将介绍模运算的性质，以及如何利用同余来解决各种数论问题。特别地，我们会讲解欧几里得算法及其扩展形式，它们是计算GCD和求解线性同余方程的基石。 数论函数： 我们将介绍一系列重要的数论函数，如欧拉 $phi$ 函数、Möbius $mu$ 函数、除数函数 $sigma_k$ 和 $omega, Omega$ 函数等。我们将详细分析它们的定义、性质以及它们在数论和组合学中的应用。其中，欧拉 $phi$ 函数尤其重要，它在群论和密码学中扮演着关键角色。 原根与离散对数： 本节将介绍模算术中的一个重要概念——原根。我们将定义原根，并证明在特定模数下原根的存在性。原根的概念直接引出了离散对数问题，这是一个在密码学中具有极高理论和实践价值的问题。我们将探讨离散对数的定义、性质，以及一些简单求解离散对数的方法。 平方剩余与二次互反律： 我们将引入平方剩余的概念，即一个整数是否是一个模 $n$ 的平方。我们将定义勒让德符号和雅可比符号，并深入研究二次互反律及其推广。二次互反律是判断平方剩余的一个强大工具，它在数论中有广泛的应用。 第二部分：数论中的计算算法 在掌握了基本概念之后，本书将重点介绍和分析一系列在计算数论中至关重要的算法。 素性测试： 确定一个大整数是否为素数是计算数论中的一个基础问题，但也是一个充满挑战的问题。我们将首先介绍一些确定性的素性测试算法，例如试除法和 the Miller-Rabin 算法（一种高效的概率性素性测试）。我们将详细分析这些算法的时间复杂度，并讨论它们在实际应用中的优缺点。 整数分解： 与素性测试相对应的是整数分解问题，即找到一个合数的所有素因子。我们将介绍几种经典的整数分解算法，包括 Pollard's Rho 算法、Pollard's p-1 算法和二次筛法。我们会深入分析这些算法的原理和渐近复杂度，并讨论它们在不同规模的整数分解问题上的适用性。 模幂运算与中国剩余定理： 模幂运算 $a^b pmod{m}$ 是许多数论算法的核心操作，尤其是在密码学中。我们将介绍高效的模幂运算算法，如平方乘算法。此外，我们将详细阐述中国剩余定理，它允许我们将一个模 $n$ 的问题分解成若干个模互素的模 $n_i$ 的问题来解决，并且能够有效地重构出原问题的解。 高次同余方程： 我们将进一步探讨高次同余方程的求解问题，包括如何利用同余理论和一些特殊算法来处理这类方程。 第三部分：应用与进阶主题 在本书的最后部分，我们将把前面学到的理论和算法应用到一些重要的数论领域，并介绍一些更高级的主题。 有限域： 我们将构建有限域（Galois Fields），这是抽象代数在数论中的一个重要体现。我们将讨论伽罗瓦域的构造、性质以及它们在纠错码、密码学和分组密码等领域的应用。 二次域与理想： 我们将介绍二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 的概念，以及其中整数环的结构。然后，我们将引入理想的概念，这是代数数论中的一个核心工具，用来研究二次域中整环的性质，并分析其分解律。 椭圆曲线上的计算： 椭圆曲线密码学是当前公钥密码学领域的研究热点。我们将介绍椭圆曲线的基本概念，以及在椭圆曲线上进行的加法运算。我们将探讨椭圆曲线上的离散对数问题，并简要介绍椭圆曲线密码体制的基本原理。 格与最近向量问题（CVP）和最短向量问题（SVP）： 格是数学中的一个重要结构，在计算数论和密码学中扮演着越来越重要的角色。我们将介绍格的基本概念，以及与格相关的两个重要计算问题：最近向量问题（CVP）和最短向量问题（SVP）。我们将讨论这些问题的计算复杂性，以及它们在密码学中的潜在应用和安全性分析。 学习建议： 为了更好地学习本书内容，建议读者在阅读前具备以下知识： 基本的数论知识： 例如整除性、素数、同余、模运算等。 离散数学基础： 包括集合论、图论、基本逻辑和证明技巧。 算法分析： 理解时间复杂度、空间复杂度的概念，熟悉基本的算法设计技巧。 本书包含大量的例题和练习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并培养解决实际问题的能力。我们鼓励读者积极思考，动手实践，并查阅相关文献，以加深对计算数论的理解。 本书特点： 内容全面： 涵盖了计算数论的核心理论和算法。 逻辑清晰： 循序渐进，从基础概念到进阶应用。 强调计算： 注重算法的实现和分析，以及实际应用。 数学严谨： 采用严谨的数学语言，并提供必要的证明。 适合自学： 配套的例题和习题有助于读者自主学习。 通过学习本书，读者将能够深入理解计算数论的理论基础，掌握解决数论问题的各种算法，并为进一步研究代数数论、密码学、编码理论等相关领域打下坚实的基础。

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我得说，这本书的魅力在于它对计算复杂性的关注，这在传统的数论教材中是相对少见的。作者不仅仅停留在理论证明的层面，而是非常务实地探讨了算法的效率和可行性。比如，在谈到因式分解算法时，他对 Shanks 的 BSGS 算法以及更高级的椭圆曲线方法进行了深入的比较分析，不仅仅是描述了步骤，还分析了它们在不同规模下的性能差异。这种将理论严谨性与实际计算能力相结合的视角，让整本书焕发出一种独特的实用主义光芒。对于希望从事密码学或者计算代数研究的人来说，这部分内容是无价之宝。我个人的感受是，每当我读完一个算法的描述，总有一种想要立刻打开电脑敲代码验证的冲动，这正说明了作者在引导实践应用方面的成功。它真正做到了连接理论与实践的桥梁。

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这本书在结构上的设计，坦白地说，非常具有“学院派”的风格。它遵循了一种从一般到特殊、从基础到前沿的线性推进模式，逻辑清晰，章节之间的衔接几乎是天衣无缝的。特别是它对模形式和椭圆曲线的介绍，那种层层递进、步步为营的构建方式，让人仿佛在搭建一座精密的数学结构。作者非常擅长在关键时刻引入一个巧妙的引理或定理来支撑后续的论证，使得整个论证链条异常牢固。对于那些注重结构和脉络的读者，这本书提供了无与伦比的清晰度。它不会让你在庞杂的知识海洋中迷失方向，而是始终为你指引着一条明确的、通往更深层次理解的路径。这是一本可以放在案头，需要时随时翻阅以重建知识体系的珍贵资料。

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阅读这本书的过程，就像是进行一次漫长而曲折的学术探险，沿途风景壮丽，但也时常迷雾重重。我对作者在选择例证方面的独到眼光印象深刻。他很少使用那些已经被用烂的、千篇一律的例子，而是挖掘了一些更具启发性的、甚至有些冷门的案例来阐释复杂的代数概念。这使得阅读过程充满了新奇感。然而，这种深度的代价也显而易见：某些段落的密度实在太高了。我经常发现自己需要反复阅读同一页，甚至需要查阅其他参考资料来完全理解作者意图表达的那个微妙的数学直觉。这本书更像是一本深思熟虑的参考手册，而不是一本轻松愉快的入门读物。它要求读者具备极高的专注力和自我驱动力，才能真正从其中汲取精华。

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这本书的叙述方式简直是数学家写给另一位数学家的情书，每一个定理的引入都像是精心编排的剧本。我花了大量时间去消化其中关于二次互反律和高斯和的部分，作者在处理这些经典难题时展现出的严谨性令人敬佩。尤其是对于代数数论基础的梳理，简直是一堂大师课，他没有简单地堆砌公式，而是深入挖掘了背后的代数结构，用一种非常清晰、逻辑连贯的方式将抽象的概念具体化。对于那些已经掌握了一些基础数论知识，并希望向更深层次迈进的读者来说，这本书无疑提供了一个坚实、可靠的跳板。不过，我必须承认，初学者可能会感到有些吃力，因为作者对“基础”的定义似乎比一般的教科书要高那么一截。他假设读者对抽象代数和域扩张已经有了一定的熟悉，这使得某些章节的阅读体验充满了挑战与惊喜交织的复杂感。

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这本书的语言风格，乍一看似乎平淡无奇，但细细品味却能发现其中蕴含着深沉的洞察力。它不是那种试图用花哨的辞藻来吸引读者的作品，而是通过精确而富有表现力的数学语言，传递出深刻的数学思想。我尤其欣赏作者在证明过程中偶尔流露出的那种“数学之美”的感悟，尽管这些感悟通常被包裹在严格的符号和逻辑推理之中，但敏感的读者依然能够捕捉到那种对和谐与简洁的追求。这本书的价值不在于它教给了你多少现成的结论，而在于它潜移默化地塑造了你对“什么是好的数学证明”的理解。它提升了读者的审美标准，让我开始用更挑剔的眼光去审视其他领域的数学著作。这是一本能够改变你思考方式的书，尽管这个改变过程需要时间和毅力去实现。

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