Classes of Linear Operators Vol. 2 (Operator Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Basel

作者:Israel Gohberg

出品人:

页数:2

译者:

出版时间:1993-10-1

价格:USD 299.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783764329440

丛书系列:

图书标签:

• 泛函分析
• 泛函
• Operator Theory
• Linear Operators
• Functional Analysis
• Spectral Theory
• Banach Spaces
• Hilbert Spaces
• Mathematical Analysis
• Operator Algebras
• Abstract Algebra
• Topology

《有限维线性算子理论与应用》 本书深入探讨了有限维线性算子在现代数学和科学计算中的核心地位及其广泛应用。本书旨在为读者构建扎实的理论基础，并展示这些理论在解决实际问题中的强大能力。 第一部分：有限维向量空间与线性变换 本部分首先回顾和深化了有限维向量空间的基本概念，包括基、维数、子空间等。重点在于引入线性变换（或称线性映射）的概念，并详细阐述其性质，如核空间、像空间、秩-零度定理等。本书将通过大量的例子，帮助读者理解抽象的线性变换如何具体地作用于向量，并强调其在坐标表示下的矩阵形式。 向量空间的概念深化： 详细讲解了域、向量的加法和标量乘法等基本运算，以及它们的性质。 基与维数的确定： 提供了多种方法来寻找向量空间的基，并计算其维数，包括线性无关组的判定和生成组的约简。 线性变换的性质： 深入分析了线性变换的可加性、齐次性，并引入了同构、同态等概念。 核空间与像空间： 详细阐述了核空间（零空间）和像空间（值域）的定义、性质以及它们与线性变换的紧密联系。 秩-零度定理的证明与应用： 提供了秩-零度定理的多种证明方法，并展示了如何利用该定理解决线性方程组的解的存在性与唯一性问题。 线性变换的矩阵表示： 详细讲解了如何根据选定的基来表示线性变换的矩阵，以及基变换对矩阵形式的影响。 第二部分：矩阵理论与特征值问题 在掌握了线性变换的矩阵表示后，本书将重点聚焦于矩阵理论。这一部分将涵盖矩阵的运算、行列式、逆矩阵等基础知识，并在此基础上深入探讨矩阵的对角化、相似矩阵、Jordan 标准型等核心概念。特征值和特征向量的理论是本书的重中之重，将详细介绍其计算方法、几何意义以及在不同问题中的应用。 矩阵运算的性质： 详细讨论了矩阵的加法、数乘、乘法，以及它们的结合律、分配律和非交换性。 行列式的计算与性质： 介绍了计算行列式的各种方法，包括代数余子式展开法、行（列）变换法等，并深入探讨了行列式的几何意义和应用。 逆矩阵的存在性与计算： 讲解了逆矩阵的定义、性质，以及如何通过初等行变换、伴随矩阵等方法计算逆矩阵。 相似矩阵与矩阵的对角化： 详细解释了相似矩阵的概念，并引入了可对角化矩阵的判别条件。对角化不仅简化了矩阵的运算，更是理解矩阵性质的关键。 Jordan 标准型： 对于不可对角化的情况，本书将详细介绍 Jordan 标准型的概念、构造方法，以及其在研究矩阵性质中的重要性。 特征值与特征向量的计算： 提供了计算特征值（通过特征多项式）和特征向量（解齐次线性方程组）的系统方法。 特征值与特征向量的几何意义： 探讨了特征向量在变换下的不变性，以及特征值与变换的伸缩因子之间的关系。 应用： 引入了特征值在常微分方程组、稳定性分析、主成分分析（PCA）等领域的初步应用。 第三部分：内积空间与正交性 本部分将引入内积空间的概念，将几何的直观性融入抽象的向量空间。重点将放在内积的性质、长度、角度、正交性、正交基以及 Gram-Schmidt 正交化等内容。这些概念对于理解傅里叶分析、数值方法以及许多物理和工程问题至关重要。 内积的定义与性质： 详细讲解了实内积和复内积，以及它们的线性性、对称性（或共轭对称性）和正定性。 向量的长度与距离： 定义了向量的范数（长度），并基于范数定义了向量间的距离。 角度与正交性： 探讨了向量间的角度概念，以及正交向量的定义和性质。 正交基与标准正交基： 引入了正交基和标准正交基的概念，并强调了它们在简化计算和理论分析中的优势。 Gram-Schmidt 正交化： 详细介绍了 Gram-Schmidt 正交化过程，证明了任何有限维向量空间都存在标准正交基，并提供了具体的算法。 正交补： 讨论了子空间的“正交补”概念，以及它与原空间的关系。 投影定理： 阐述了投影定理，并展示了如何将向量投影到子空间上。 第四部分：线性算子在内积空间中的性质 本部分将重点研究在内积空间中的线性算子。我们将深入探讨自伴随算子（厄米算子）、正定算子、酉算子（正交算子）等特殊类型的算子。这些算子在量子力学、信号处理和优化问题中扮演着至关重要的角色。我们将详细分析它们的谱性质，并阐述谱定理在这些算子分类和应用中的作用。 伴随算子： 严格定义了线性算子的伴随算子，并证明了其关键性质，特别是自伴随算子的定义。 自伴随算子（厄米算子）： 详细讨论了自伴随算子的重要性质，如其特征值为实数，不同特征值对应的特征向量正交。 谱定理（有限维情况）： 深入阐述了有限维自伴随算子的谱定理，证明了任何自伴随算子都可以被一组标准正交特征向量张成的空间所对角化。 正定算子： 定义了正定算子，并探讨了其与正定二次型的联系，以及其在优化问题中的应用。 酉算子（正交算子）： 引入了酉算子（在实向量空间中称为正交算子）的概念，并证明了它们保持内积和长度，对应于坐标系的旋转和反射。 算子函数的概念： 引入了多项式函数、指数函数等在算子上的应用，为后续深入研究打下基础。 算子分解： 探讨了如极分解等算子分解的初步概念。 第五部分：应用与计算方法 本书的最后一部分将结合前几部分的内容，展示有限维线性算子理论在实际问题中的具体应用。我们将介绍一些重要的数值计算方法，如最小二乘法、奇异值分解（SVD）等，并解释它们与线性算子理论的内在联系。此外，还将涉及一些更高级的应用领域，如线性系统稳定性分析、数据降维（PCA）等。 最小二乘法： 详细讲解了如何利用线性算子理论解决超定方程组的最小二乘问题，并展示其在数据拟合中的应用。 奇异值分解 (SVD)： 深入介绍 SVD 的定义、计算方法及其重要性质。SVD 将任何矩阵分解为三个特殊矩阵的乘积，在图像压缩、推荐系统、噪声消除等领域有着广泛应用。 线性方程组的数值求解： 讨论了迭代法和直接法在求解大型线性方程组中的优缺点，以及它们与矩阵性质的关系。 线性系统稳定性分析： 利用特征值理论来分析常微分方程组的稳定性，判断系统的平衡点是稳定、不稳定还是渐近稳定。 主成分分析 (PCA)： 阐述了 PCA 如何利用协方差矩阵的特征值和特征向量来降低数据的维度，同时保留尽可能多的信息，在机器学习和数据科学中是基础技术。 张量分析简介： 简要介绍张量作为多线性映射的推广，以及它在物理和工程中的初步应用。 信号处理中的应用： 探讨了傅里叶变换与酉算子之间的联系，以及它们在信号分析中的作用。 本书力求理论严谨，论证清晰，并配以丰富的例题和习题，旨在培养读者解决复杂数学和工程问题的能力。通过对有限维线性算子理论的系统学习，读者将能够深入理解现代数学的许多分支，并为进一步探索无限维算子理论打下坚实的基础。

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我是在一个非常紧张的项目收尾阶段接触到这本书的，当时急需对某些非自伴算子的谱特性有一个更直观的理解，尤其是那些涉及到紧凑性假设被移除后的奇异行为。坦白说，一开始我被它的厚度和密集的公式阵吓到了，感觉就像面对一座难以逾越的数学高峰。然而，当我翻开到关于紧算子理论扩展的那一部分时，我的感觉彻底改变了。作者对这些“边缘情况”的处理简直是教科书级别的。他没有回避那些棘手的、非标准的例子，反而把它们作为理解整个理论结构的关键切入点。书中对某些经典结果的重新阐述，特别是那些需要用到更高级拓扑工具的证明，比我之前读过的任何教材都要来得更具洞察力。那种“原来如此”的豁然开朗感，是只有在面对真正优秀的数学著作时才会有的体验。这本书绝对不是那种可以轻松浏览的书籍，它需要你坐下来，备好纸笔，投入几个小时甚至几天的时间去消化一个段落。但正是这种投入感，让你感觉自己真正地与数学大师进行了深度对话，而不是仅仅被动地接收信息。那种对细节的执着和对逻辑严谨性的极致追求，体现了作者深厚的学术功底。

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说实话，这本书的阅读体验是带着一种挑战性的愉悦。它不是那种为了迎合初学者而特意降低门槛的读物。我记得有一次，我试图在不查阅其他资料的情况下理解书中关于“不可约性”在一般Banach空间上的推广，结果碰了一鼻子灰。我不得不退回到前面的章节，重新温习了关于格结构和序理论的部分。正是这种被迫的回溯，让我对算子理论的结构有了更深层次的理解——原来这些看似分离的概念，在更高维度上是如此地相互依赖。这本书的伟大之处在于它构建了一个宏大而自洽的理论体系，它把算子理论的各个分支，从有限维空间延伸到最广义的函数空间，都用一套统一的语言串联了起来。这种体系感，在当代数学著作中是越来越少见的。它迫使你走出自己熟悉的那个狭窄领域，去领略整个领域的美丽和复杂性。对于希望真正成为该领域专家的读者来说，这本书与其说是一本教科书，不如说是一份通往精深理解的“路线图”。它要求你付出，但回报也是成倍的知识深度。

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这本书的封面设计真的很有意思，那种深邃的蓝色调和抽象的线条，初看之下就给人一种严谨而又充满神秘感的数学氛围。我记得我是在图书馆的角落里偶然发现它的，当时正在寻找一些关于泛函分析的更深入的资料。这本书的排版非常清晰，尽管内容本身是相当硬核的数学理论，但作者在细节的处理上非常到位，大量的符号和定理的引用都井井有条，这对于我们这些需要频繁查阅公式和证明的人来说，简直是福音。我花了一段时间来适应它的节奏，主要是因为某些章节的跳跃性比较大，需要读者具备非常扎实的预备知识，比如对拓扑空间和勒贝格积分有深刻的理解。不过，一旦你跟上了作者的思路，你会发现他对线性算子的分类和性质的探讨是如此的精妙和全面。它不像某些教材那样只是简单地罗列定理，而是深入挖掘了这些概念背后的深刻联系，比如它如何与量子力学的某些表述相契合。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的循序渐进的方式，尽管整体难度很高，但每一步的逻辑推导都非常严密，让人忍不住想继续往下读，哪怕只是为了解开下一个谜团。这本书的参考文献部分也是一个宝库，提供了通往更前沿研究的有效路径。

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这本书的价值，对我这个侧重于应用数学研究的人来说，更多地体现在它对基础理论的“打地基”作用上。很多时候，我们在处理实际问题时，会遇到一些定义上模棱两可或者性质不明确的算子。翻阅这本书，就像是去查阅一份关于这些“怪兽”的权威档案。我特别关注了关于不稳定算子和无界算子的讨论，这些在随机过程和偏微分方程的某些极端情况下非常常见。作者似乎有一种能力，能将那些抽象到几乎失去物理意义的数学结构，用一种极为精确但又不失几何直觉的方式呈现出来。例如，书中对某些算子半群的正则性讨论，虽然推导过程极其繁复，但其最终结论对于我们评估数值方法的收敛性和稳定性有着直接的指导意义。它的语言风格非常正式和冷静，几乎没有多余的修饰词，完全聚焦于数学对象的本质。这使得我们在引用其中的结论时，可以非常自信，因为你知道支撑这些结论的是最坚固的逻辑基石。这本书的阅读体验，更像是在解构一个复杂的机械装置，每拆下一个零件，都能看到它如何与其他部分精密咬合。

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我对这本书的纸质版本情有独钟，尽管电子版更方便携带，但厚实的纸张和略带磨砂的封面触感，似乎更能衬托其内容的重量感。我发现，不同时间段阅读这本书，会有完全不同的收获。在我职业生涯的早期，我更多地关注于那些可以直接转化为计算工具的定理和公式，那些关于有界性和闭包的明确结论。但最近几年，我更倾向于钻研那些关于算子理论的“哲学”部分——例如，为什么某些代数结构自然地倾向于生成我们观察到的谱特性。这本书的某些章节，特别是关于非交换几何和算子代数的交界处的探讨，非常耐人寻味。作者对这些交叉领域的处理非常审慎，既没有过度简化，也没有陷入晦涩难懂的术语泥潭。它提供了一种平衡的视角，让你既能看到理论的深度，又能感受到它在不同数学分支中回响的力量。读完这本书，你会感觉自己的思维框架被重新搭建了一遍，看待线性问题的方式也变得更加成熟和广阔，这对于任何致力于理论研究的人来说，都是无价的财富。

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