Banach空间上的基和框架 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:李登峰

出品人:

页数:241

译者:

出版时间:2007-5

价格:36.00元

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isbn号码:9787030188465

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《Banach空间上的基和框架》 本书深入探讨了Banach空间理论的核心概念——基和框架。它们是理解和操作Banach空间结构的关键工具，为分析和表示高维函数空间提供了强大的理论基础。 第一章：Banach空间基础 本章将为读者建立坚实的Banach空间理论基础。我们将从度量空间和完备性概念入手，逐步引入赋范线性空间、Banach空间的定义及其基本性质。我们将详细讨论一些重要的Banach空间实例，例如 $l^p$ 空间和 $L^p$ 空间，并介绍它们的范数性质和拓扑结构。线性算子和有界线性算子是Banach空间研究中的核心对象，本章也将对其进行详尽的阐述，包括算子范数、有界性判据以及一些重要的算子定理。此外，我们将初步介绍对偶空间的概念，为后续章节中对偶空间的深入探讨打下基础。 第二章：Banach空间的基 本章聚焦于Banach空间中的“基”这一重要概念。我们将首先定义Schauder基，并详细讨论其存在的充要条件。对于有限维Banach空间，基的存在性是显然的，但对于无限维空间，基的存在性并非普遍。我们将探讨存在Schauder基的Banach空间的性质，例如可分性和同构性。接着，我们将介绍一些特殊的基，如正交基（虽然在Banach空间中不如Hilbert空间中普遍）和单形基。本章的一个重点将是探讨Schauder基的唯一性以及基的等价性。我们将通过大量的例子来说明不同Banach空间中基的构造和性质，例如 $l^p$ 空间中标准基的特性，以及一些无法拥有Schauder基的Banach空间的例子。 第三章：基的存在性与构造 在本章中，我们将深入研究Banach空间基的存在性问题，并介绍一些构造基的方法。我们将详细阐述Riesz定理，它为某些Banach空间提供了Schauder基的存在性保证。我们将讨论连续选择定理在基的存在性证明中的作用。此外，本章还将介绍一些构造特定Banach空间基的方法，例如通过迭代构造或利用已知的基进行变换。我们将探讨无限维Banach空间中基的非唯一性，并展示如何通过不同的方法构造出同一个空间的基。一些著名Banach空间的基的构造和性质也将在此进行深入剖析。 第四章：完备序列和共基 本章将引入比Schauder基更一般的概念——完备序列和共基。我们将首先定义完备序列，并讨论其与Schauder基的关系。完备序列不一定能张成整个空间，但其张成的闭包与原空间相同。我们还将介绍共基（或称多项式基）的概念，它与Schauder基在某种意义上是“对偶”的。本章将详细阐述完备序列和共基的性质，例如它们的存在性条件和唯一性。我们将通过实例展示完备序列和共基在Banach空间表示中的应用，并探讨它们在算子理论中的作用。 第五章：框架理论初步 本章将引入现代信号处理和函数空间理论中至关重要的概念——框架。我们将从离散傅里叶变换和Mallat算法等实际应用场景出发，引入框架的定义。我们将详细讨论框架的构成要素，即一个完备集（frame）和一些特定的参数。本章将区分各种类型的框架，例如： 普通框架 (Frame): 满足某些能量守恒性质的完备集。 Riesz基 (Riesz Basis): 既是框架，又是Schauder基，在表示上具有唯一性。 紧框架 (G-frame): 具有更强的“完备性”性质，能够容忍一定程度的误差。 原子集 (Atom): 具有更严格性质的特殊框架元素。 我们将详细阐述框架条件的数学表达，以及它们与Banach空间结构的关系。 第六章：框架的性质与构造 本章将深入探讨框架的各种性质，并介绍构造框架的方法。我们将讨论框架算子，以及它的重要性，例如框架算子的逆的存在性与作用。我们将介绍框架的重构公式，这是框架理论的核心应用之一，能够从框架系数精确地重构出原信号。本章将讨论冗余框架和无冗余框架（即Riesz基）的区别及其各自的优缺点。我们将介绍一些构造框架的通用方法，例如基于子空间分解、模板生成和随机构造等。我们将通过具体的例子，如Gabor框架、小波框架和Shearlet框架，来展示框架的实际构造过程及其在不同领域的应用前景。 第七章：框架的分类与特殊类型 在本章中，我们将对框架进行更细致的分类，并重点介绍一些具有特殊性质的框架类型。我们将讨论： 对称框架 (Symmetric Frame): 在某些变换下保持不变的框架。 仿射框架 (Affine Frame): 由一组仿射变换生成的框架，常用于信号的多尺度分析。 尺度不变框架 (Scale-Invariant Frame): 在尺度变换下具有不变性的框架，在图像处理中扮演重要角色。 多尺度分析 (Multiscale Analysis, MSA) 与多分辨分析 (Multiresolution Analysis, MRA): 这些概念与小波理论紧密相关，是构建特定类型框架的重要理论框架。 我们将深入分析这些特殊框架的定义、性质和应用，并探讨它们在函数逼近、信号去噪和特征提取等方面的优势。 第八章：框架与算子理论 本章将揭示框架理论与Banach空间算子理论之间的深刻联系。我们将探讨如何利用框架来研究线性算子，例如算子的有界性、紧性和谱性质。我们将介绍算子的框架表示，以及如何利用框架系数来计算算子作用。本章还将讨论框架在算子逼近和算子代数中的应用。例如，我们可能看到如何利用框架来构造和逼近某些重要的算子，或者研究算子代数的结构。 第九章：框架在信号处理中的应用 本章将聚焦于框架理论在信号处理领域的实际应用。我们将详细介绍框架在以下方面的应用： 信号表示与编码: 框架提供了一种比传统基更灵活、更具表现力的信号表示方式，能够捕捉信号的局部特征。 信号重构与去噪: 框架理论能够有效地处理冗余信息，从而实现鲁棒的信号重构和有效的噪声抑制。 特征提取与模式识别: 框架可以用于提取信号的关键特征，并在模式识别任务中发挥重要作用。 压缩感知 (Compressed Sensing): 框架理论是压缩感知理论的基石，允许在远低于奈奎斯特定理的采样率下精确重构稀疏信号。 我们将通过具体的例子，如图像压缩、音频处理和医学信号分析，来生动地展示框架在这些领域的强大能力。 第十章：Banach空间上的基和框架的进一步研究 本章将展望Banach空间上基和框架理论的未来发展方向，并介绍一些前沿的研究课题。我们将探讨： 更抽象的框架概念: 例如，在更一般的函数空间或非线性空间中框架的推广。 与机器学习和数据科学的交叉: 框架在现代机器学习算法中的应用，如深度学习中的特征学习和表示。 数值算法的改进: 如何设计更高效、更鲁棒的框架计算算法。 与其他数学分支的联系: 例如，在动力系统、偏微分方程和概率论等领域框架理论的潜在应用。 本章旨在激发读者对Banach空间上基和框架理论的进一步思考和研究兴趣。 本书旨在为数学、信号处理、图像处理、机器学习等领域的学生、研究人员和工程师提供一个全面深入的了解Banach空间上基和框架理论的平台。通过理论的阐述和丰富的实例，读者将能够掌握这些强大的工具，并将其应用于解决实际问题。

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坦白说，我对数学书籍的挑选标准一向苛刻。我更偏爱那种语言风格流畅、逻辑推进如行云流水般的作品，而不是那种堆砌术语、读起来像在啃硬骨头的文字。这本书的装帧和排版给我留下了不错的初印象，字体选择得当，间距适中，这对于长时间阅读纯数学内容至关重要，可以极大地减轻视觉疲劳。我留意到其中似乎包含了一些对历史背景的梳理，如果能了解某个概念是如何一步步被构建和完善的，那对于理解其内在的必要性会非常有帮助。毕竟，数学思想的演变本身就是一门迷人的历史，如果能将冰冷的符号注入鲜活的人类智慧的叙事中，这本书的价值就不仅仅停留在技术层面了。

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这本书的封面设计着实吸引人，那种深邃的蓝色调和几何图形的组合，一下子就让人联想到数学的严谨与美感。尽管我还没来得及深入研读内容，但光是这视觉上的冲击，就已经足够让人对其中蕴含的知识体系充满好奇。它散发出的那种学术气息，不是那种晦涩难懂的教科书味，反而更像是一本精心打磨的艺术品，每一笔触都透露着作者对数学逻辑的深刻理解和独到的见解。我期待它能在理论的深度和可读性之间找到一个绝佳的平衡点，毕竟，很多纯粹的数学著作往往过于关注证明的完整性而忽略了对初学者的引导。我希望这本书不仅仅是一本工具书，更像是一扇通往更高层数学世界的窗户，让人在学习的过程中，能感受到那种“顿悟”的喜悦。

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最近我重新审视了自己对线性代数基础的理解，总觉得在更广阔的向量空间背景下，有些概念的直觉性还不够强。我希望这本书能够通过严谨的数学语言，重建我对“空间”这一基本概念的认识。我注意到一些评论提到这本书的习题设置非常巧妙，它们不是那种机械的计算题，而是旨在引导读者去探索定理的边界和潜在的例外情况。这正是我想从一本高级读物中获得的——挑战既有的认知，迫使思维进入新的维度。如果习题能够有效地连接理论与具体的例子，那么它将是检验和巩固学习成果的最佳途径，而非仅仅是作者展示其学术能力的舞台。

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作为一名资深研究者，我追求的是对基础理论的“重塑”性理解，而非简单的知识点复习。我关注的是作者如何处理那些经典的、看似已被完全阐明的定理，是否能在其中挖掘出新的视角或更简洁的证明路径。这本书的题目本身就指向了分析学中最核心的结构性问题，这暗示着作者的论述必定是极为聚焦且深入的。我特别期待看到它如何平衡抽象代数和分析学的交叉点，因为现代数学的许多前沿研究都要求在这两者之间建立稳固的桥梁。如果它能提供一些关于现代拓扑学如何渗透到经典分析问题中的洞察，那这本书就成功地跨越了“参考书”的界限，达到了“前沿指南”的地位。

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我最近正在忙于一个关于泛函分析的项目，正好需要一些深入的参考资料来打磨我的论证过程。朋友向我推荐了这本书，说它在处理一些高级概念时极为细致和到位。我翻阅了一下目录，看到那些排列紧凑的章节标题，心里就踏实了不少——这说明作者对整个领域的结构有着清晰的脉络。我尤其关注那些关于“完备性”和“拓扑结构”的讨论，这些往往是区分入门级教材和专业参考书的关键点。如果这本书能够提供对这些抽象概念直观且富有启发性的阐述，那么它对我接下来的工作将是无价之宝。我希望它能避免那种只罗列定理而不解释其几何或物理意义的弊病，而是能真正将理论与实际应用哪怕是抽象的“类比”联系起来，这样学习起来才会更有动力。

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