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出版者:科学

作者:李建华

出品人:

页数:116

译者:

出版时间:2011-6

价格:25.00元

装帧:

isbn号码:9787030317513

丛书系列:美妙数学花园

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《非欧几何探微》 第一章：几何的边界——传统欧氏空间的遐想 自古以来，我们所居住的世界，其几何性质似乎都被严丝合缝地嵌入了欧氏空间的框架之中。直线是两点间最短的距离，平行线永远不会相交，三角形的内角和恒定为180度——这些公理与定理构成了我们理解空间、丈量世界的基石。从古希腊先贤们对点、线、面关系的精妙推演，到文艺复兴时期透视法的数学化，再到近现代物理学中对时空结构的初步描述，欧氏几何的身影无处不在，深刻地塑造了人类的认知。 然而，任何一种理论体系，在不断深入的探索中，都可能触及自身的边界，激发对未知领域的渴望。欧氏几何的公理体系，尤其是“平行公理”，在漫长的数学史上，始终是那个最令人不安的“第五公设”。无数的数学家试图证明它，或者将其从其他公理推导出来，但每一次尝试都以失败告终。这种“挥之不去”的疑虑，恰恰暗示着，或许存在着一种不同的几何，一种挑战我们直观认知的空间形态。 本章将带领读者回顾欧氏几何的辉煌成就，梳理其核心概念与基本定理，并深入探讨平行公理在历史上的争议与困境。我们将从“为什么”出发，审视欧氏几何的普适性，并借由这些思考，为接下来的非欧几何之旅奠定坚实的思想基础。理解欧氏几何的“边界”，并非否定其价值，而是为了更好地理解那些超越其局限的新颖视角。我们将通过生动的例子，揭示欧氏几何在解释自然现象时，固有的局限性，并籍此引出对更广阔几何世界的憧憬。 第二章：颠覆与新生——平行公理的“失落”与罗氏几何的诞生 历史的车轮滚滚向前，终于在19世纪，一批富有远见的数学家，勇敢地对平行公理发起了“挑战”。他们开始思考：如果平行公理不成立，会发生什么？这种大胆的设想，并非出自随意的想象，而是源于对数学逻辑严谨性的追求，以及对无限可能性的探索。 其中，尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky）是早期探索者中的杰出代表。他提出了一种全新的几何体系，其中平行公理被否定，取而代之的是“过直线外一点，有无数条直线与该直线平行”的命题。在这种新的公理体系下，我们所熟悉的欧氏几何的许多定理都发生了根本性的改变。例如，三角形的内角和将不再是180度，而是小于180度；两点之间的“直线”在某些情况下会变得弯曲，而且距离的计算方式也与欧氏空间大相径庭。 本章将详尽介绍罗氏几何的公理体系，并深入解析其核心概念。我们将探讨罗氏几何中的“直线”究竟是什么，它们如何弯曲，以及在这样的空间中，我们如何定义距离、角度和图形。我们将通过大量的几何作图和论证，展示罗氏几何与欧氏几何在直观上的巨大差异，例如，在罗氏空间中，可以想象出“无限大”但内角和小于180度的三角形。我们将重点分析罗氏几何如何推导出与欧氏几何截然不同的结论，例如，在罗氏空间中，圆的周长与直径之比不再是固定的π，而是会随圆的大小而变化。 第三章：另一种“无拘无束”——黎曼几何的构想 就在罗氏几何诞生的同时，另一位伟大的数学家，博恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann），也独立地构想了一种全新的几何体系。黎曼的思路更为一般化，他并没有局限于否定平行公理，而是试图构建一个更为广泛的几何框架，能够描述各种不同曲率的空间。 黎曼几何的核心在于“度量”。他引入了“度量张量”的概念，通过这个张量，可以在曲面上任意一点定义长度和角度，从而描述空间的局部几何性质。与罗氏几何不同，黎曼几何允许空间具有正曲率、负曲率，甚至曲率不均匀。在这种框架下，平行公理的“不成立”可以表现为过直线外一点，“不存在”与该直线平行的直线（正曲率空间，例如球面），或者“存在无数条”平行线（负曲率空间，如罗氏几何），或者“存在唯一的”平行线（欧氏空间，曲率为零）。 本章将深入探讨黎曼几何的基本思想。我们将理解“度量”在黎曼几何中的核心地位，以及它如何赋予空间丰富的几何内涵。我们将通过直观的比喻，例如在球面上行走，来理解正曲率空间的特性。我们将解析黎曼几何中的“测地线”概念，它们是连接两点之间的“最短”路径，但这种“最短”路径在弯曲的空间中可能不再是我们在欧氏空间中想象的直线。我们将讨论黎曼几何的普适性，以及它如何能够统一描述各种不同类型的空间，为理解宇宙的几何形态提供了理论基础。 第四章：非欧几何的投影——将高维空间映射到低维，观察其“投影”的几何学 理解了非欧几何的内在逻辑后，一个自然的疑问是：我们如何在熟悉的欧氏空间中“看见”或“模拟”这些非欧的几何世界？毕竟，我们的感官和日常经验都是建立在欧氏空间之上的。这时，“投影”的概念便显得尤为重要。 将一个高维或不同类型的几何空间“投射”到我们熟悉的欧氏空间中，虽然会失去部分原有的几何信息，但却能够让我们以可视化的方式来观察和理解非欧几何的某些特性。不同的投影方式会呈现出非欧几何的不同“面貌”。例如，将一个双曲面（具有负曲率）投影到平面上，可以得到一张“庞加莱圆盘图”。在这张图中，所谓的“直线”不再是欧氏空间中的直线，而是圆盘内部的圆弧和直径，而且这些“直线”在相交时，其夹角也需要根据一种特殊的规则来计算。 本章将详细介绍几种重要的非欧几何投影方法。我们将以庞加莱圆盘模型为例，讲解如何在欧氏平面上描绘出双曲几何的空间。我们将分析这种投影模型如何处理“直线”和“角度”，以及它在直观上与欧氏几何的差异。此外，我们还会探讨其他一些投影模型，例如克莱因模型，它们从不同的角度展现了非欧几何的特征。通过这些投影，读者将能够更直观地感受到非欧几何的奇妙之处，理解如何用欧氏空间的工具来研究和理解超越欧氏空间的概念。 第五章：超越理论的实践——非欧几何在现代科学中的应用 非欧几何并非仅仅是数学家们的抽象游戏，它在近现代科学中扮演着至关重要的角色。其中最著名的应用，便是阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）提出的广义相对论。 广义相对论将引力描述为时空的弯曲。在爱因斯坦的理论中，物质和能量会使得它们周围的时空发生弯曲，而物体（包括光线）在时空中运动的轨迹，就是沿着这些弯曲的时空“测地线”前进。这意味着，我们所感受到的引力，并非是一种“力”，而是时空弯曲的表现。而描述这种时空弯曲的数学工具，正是黎曼几何。 本章将深入探讨非欧几何在现代科学中的实际应用。我们将详细阐述广义相对论如何利用黎曼几何来描述引力现象，解释行星轨道、光线在引力场中的弯曲等现象。我们将讨论非欧几何在宇宙学中的作用，例如对宇宙整体几何形态的探索，以及对宇宙膨胀模型的建立。此外，我们还会简要提及非欧几何在其他领域的潜在应用，例如计算机图形学、高维数据分析等，展示数学理论如何深刻地影响我们对现实世界的理解。 结语：无限的探索，无尽的几何 从欧氏几何的严谨框架，到非欧几何的颠覆性创新，再到它们在科学前沿的广泛应用，我们见证了人类智慧的无限可能。非欧几何的诞生，不仅拓展了我们对空间的认知，更深刻地改变了我们对宇宙本质的理解。它告诉我们，我们所直观感受到的空间，可能只是众多可能性的其中一种。 本书的旅程，旨在带领读者走出舒适区，体验数学思想的解放与飞跃。通过对非欧几何的系统介绍，我们希望激发读者对未知领域的好奇心，培养独立思考和探索的精神。几何的边界，并非终点，而是新的起点，等待着每一个敢于提问、勇于探索的头脑去揭示更多的奥秘。

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这本书在对“无穷远”的处理上展现了其卓越的洞察力。它没有将无穷远点视为一个需要被特殊对待的“例外”，而是将其自然地纳入射影空间的统一结构之中，这一点是传统几何学往往难以圆融处理的。作者通过精心构建的例子，展示了射影平面如何完美地“闭合”了平行线的概念，这种逻辑上的完整性带来的阅读快感是无与伦比的。此外，书中对极点与极线（Poles and Polars）关系的探讨，其代数推导的简洁性令人叹服，清晰地揭示了对偶原理在这一结构中的完美体现。对于想要深入理解经典射影几何中的“对偶性”这一核心思想的读者，这本书无疑是绕不开的佳作。它不仅教授了“是什么”，更深入地解释了“为什么会是这样”，从根本上重塑了我们对几何空间本质的理解，使得几何思维的训练达到了一个全新的高度。

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这部著作的叙述方式着实引人入胜，它没有直接跳入枯燥的公式堆砌，而是像一位经验老到的导师，循序渐进地引导读者领略数学之美。开篇对基础概念的构建极为扎实，特别是对射影变换几何直观理解的刻画，让人仿佛能亲眼看到那些抽象的点和线如何在空间中发生奇妙的映射。作者似乎深谙初学者在面对新领域时的困惑，因此在关键转折点总能适时地提供一些巧妙的类比和历史背景的穿插，使得原本艰涩的理论变得平易近见。我尤其欣赏它在讨论对偶性时的处理手法，那种对称之美被展现得淋漓尽致，让人在阅读的过程中不断产生“原来如此”的豁然开朗感。这本书的排版也相当考究，图示的清晰度和准确性，极大地辅助了空间想象力的培养，没有那些令人眼花缭乱的冗余信息，每一张图都服务于核心概念的阐释。对于希望建立坚实射影几何基础，而非仅仅满足于工具性使用的读者来说，这无疑是一份宝贵的入门砖。它真正做到了“入门”而非“速成”，注重的是思维框架的搭建，而非公式的死记硬背。

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我以一个业余爱好者的身份接触这类高等数学书籍，通常最大的障碍在于语言的隔阂和理论的跳跃性。然而，此书的行文风格却展现出一种罕见的、近乎散文诗般的流畅感。它并非那种冷硬的教科书腔调，而是充满了作者对这一学科深刻热爱的温度。在处理那些涉及无穷远点和视点转换的章节时，作者巧妙地运用了历史上的哲学思辨，将纯粹的数学问题提升到了观察世界方式的层面，极大地拓宽了我的认知边界。我发现自己不是在“学习”知识，而是在和作者一同“探索”一个被隐藏的几何维度。书中对经典几何与射影几何的对比论述尤其精彩，它清晰地勾勒出射影几何如何超越欧氏几何的限制，去揭示事物更本质的、与度量无关的内在联系。这种深入浅出的哲学思辨与严谨的数学推导相结合的笔法，使得阅读体验异常愉悦，让人在不知不觉中就深入到了更复杂的拓扑结构讨论中，而丝毫没有感到疲惫。

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我必须强调，这本书的叙事节奏控制得极为老练。初看起来，内容似乎非常聚焦于线性代数工具的应用，但实际上，作者是在用这种最现代的代数语言重塑传统的几何直觉。它成功地避开了老派教材中那种依赖复杂空间想象和繁琐欧氏证明的弊端。书中引入的交比（Cross Ratio）概念，被描述成射影几何中的“不变量”，其重要性被提升到了核心地位，论证过程清晰有力，几乎是不可辩驳的。阅读此书的过程，更像是在经历一次“去度量化”的几何洗礼——剥离长度、角度等欧氏概念的束缚，去发现事物间那些更普适、更稳固的内在联系。这种“去繁就简”的处理方式，使得复杂的问题在代数框架下得到了优雅的解答，对于需要用数学工具解决实际问题的工程师或研究人员而言，这本书提供的思维模型是极具价值的，它教会我们如何用最少的假设来描述最多的现象。

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这本书的深度和广度超出了我对于“入门”二字的预期。它的结构安排非常精妙，从最基础的齐次坐标系讲起，逐步过渡到更高级的二次型和平面曲线的射影分类。我发现它在处理透视变换（Perspective Transformation）的部分，提供了远超一般教材的详尽解析，不仅有理论推导，更有对计算机图形学中应用场景的隐晦暗示，尽管它本身并非一本应用导向的书。更值得称赞的是，作者在每一个章节的末尾都设计了富有启发性的思考题，这些题目往往不直接要求计算答案，而是引导读者去探究不同公理体系下的逻辑一致性。这迫使读者必须主动地去构建和检验自己的几何直觉，而不是被动地接受既定结论。对于那些已经有一定解析几何基础的人来说，这本书简直是打开了通往更广阔数学世界的另一扇门，它提供了从“度量”视角转向“关系”视角的全新范式。

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果然还是不能对国内这些二把刀的科普作家抱太大希望。。

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还不错，有点帮助。

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终于明白这困惑我一生的圆锥曲线是怎么来的了，浅显易懂，十分感动！

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终于明白这困惑我一生的圆锥曲线是怎么来的了，浅显易懂，十分感动！