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出版者:华东师范大学出版社

作者:中国数学会普及工作委员会 编

出品人:

页数:229

译者:

出版时间:2011-1

价格:18.00元

装帧:平装

isbn号码:9787561777244

丛书系列:

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《高中数学联赛备考手册》 引言 高中数学联赛，作为培养和选拔数学人才的重要平台，其难度和深度远超普通高中教学。它不仅考察学生对基础知识的掌握程度，更考验其数学思想的理解、解题技巧的灵活运用以及逻辑推理的能力。要想在竞争激烈的数学联赛中脱颖而出，一本系统、全面、实用的备考书籍至关重要。 《高中数学联赛备考手册》正是一本为广大高中生量身打造的数学联赛深度辅导用书。本书旨在帮助考生在短时间内有效梳理知识脉络，提升解题能力，构建完整的数学知识体系，从而以最佳状态迎接数学联赛的挑战。本书内容覆盖了高中数学联赛的核心考点，并结合大量精选例题和习题，力求做到理论与实践相结合，帮助考生实现质的飞跃。 第一部分：夯实基础，构建知识体系 数学联赛的考察范围广泛，从代数、几何到概率统计，都需要考生有扎实的数学基础。本书的第一部分将系统梳理高中数学联赛涉及的所有核心概念和重要定理，确保考生不遗漏任何关键知识点。 代数部分： 函数与方程： 涵盖基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的性质、图像及变换，以及函数方程、不等式及其恒等变形，重点讲解函数与方程的深刻联系，以及如何利用函数思想解决复杂问题。例如，多项式的根的分布、韦达定理在解题中的应用，以及指数、对数方程的解法和性质。 数列与级数： 深入解析等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，以及数列的递推关系。在此基础上，将引入更复杂的数列类型，如调和数列、周期数列，并讲解裂项求和、错位相减法等常用求和技巧。对无穷级数的收敛性判断和基本计算也将有所涉及。 复数： 介绍复数的概念、运算、几何意义，以及复数与代数方程、几何图形的联系。重点在于复数在代数方程根的分布、几何变换等方面的应用。 概率与统计： 详细讲解古典概型、几何概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式等概率论基本概念。在统计部分，将涉及数据的图表分析、数字特征（均值、方差、标准差）、抽样调查、统计推断（置信区间、假设检验）等。特别会强调概率在组合数学和数论问题中的应用。 几何部分： 平面几何： 涵盖点、线、面、角、三角形、四边形、圆等基本图形的性质、判定与计算。在此基础上，将重点讲解相似、全等、全圆、圆切线、弦切角等与圆有关的定理，以及多边形的内角和、外角和、对称性等。 解析几何： 深入讲解直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等二次曲线的方程、性质、几何要素（焦点、准线、渐近线）以及它们之间的相互关系。重点在于如何运用代数方法解决几何问题，如弦长公式、点到直线的距离公式、两点间的距离公式，以及圆锥曲线的切线性质、离心率等。 立体几何： 介绍点、线、面之间的位置关系，以及空间向量在立体几何中的应用。重点讲解平行、垂直的判定与性质，线面角、二面角的计算，以及多面体（棱柱、棱锥、棱台）的体积和表面积计算。对球体、圆柱、圆锥等旋转体的性质和计算也将有所阐述。 其他重要领域： 排列组合与计数原理： 详细讲解分类加法计数原理、分步乘法计数原理，以及排列、组合的概念和计算公式。在此基础上，将深入探讨隔板法、插空法、捆绑法等组合计数技巧，以及容斥原理在复杂计数问题中的应用。 集合论初步： 简要回顾集合的概念、表示方法、子集、交集、并集、补集等基本概念，及其在集合运算和计数问题中的应用。 第二部分：精研题型，攻克难点 数学联赛的试题往往形式多样，难度递增，需要考生具备扎实的解题功底和灵活的应变能力。本书的第二部分将精选各类典型的数学联赛题型，并进行深入剖析，帮助考生掌握各种题型的解题思路和方法。 代数类题型： 函数与方程的综合应用： 讲解如何利用函数单调性、奇偶性、周期性，结合不等式和方程的性质，求解复杂函数问题。例如，含参不等式的恒成立问题，利用函数图像分析方程根的个数。 数列与递推关系的探索： 重点分析数列的递推关系，如何通过观察、猜想、证明，找到递推公式的规律，并将其转化为通项公式。 复数在几何问题中的应用： 介绍复数在平面几何中的旋转、平移等几何变换，以及利用复数表示点、直线、圆等几何图形，求解相关几何问题。 概率统计的实际应用： 针对概率统计在组合问题、抽样调查、数据分析等方面的典型应用题型，提供解题思路和技巧。 几何类题型： 平面几何中的综合证明与计算： 重点讲解构造辅助线、利用相似与全等、圆的性质等方法，解决复杂的几何证明题。同时，也会涉及解析几何与平面几何的结合，利用代数方法求解几何量。 解析几何中的弦长、最值、交点问题： 深入分析弦长公式、点到直线的距离公式，以及利用判别式、韦达定理、函数求最值等方法，解决与圆锥曲线相关的复杂问题。 立体几何中的线面关系、面面关系和空间向量应用： 重点讲解如何通过作图、建立空间直角坐标系，运用向量法求解线面角、二面角、点线距、点面距等。 组合数学与数论初步题型： 复杂计数问题的分析： 讲解如何巧妙运用分类讨论、分类计数、分组计数、间接计数等策略，解决排列组合中的难题。 整除性、同余、整色等数论概念： 介绍数论中的基本概念，如整除性、质数、合数、同余关系，以及它们在整除、周期性、数位问题等方面的应用。 第三部分：专题突破，提升能力 除了常规题型，数学联赛还经常出现一些具有挑战性的专题问题，需要考生具备更强的数学素养和创新能力。本书的第三部分将针对这些专题进行深入讲解和训练。 不等式的证明与应用： 基本不等式及变形： 深入讲解算术平均数-几何平均数不等式（AM-GM）、柯西-施瓦茨不等式、闵可夫斯基不等式等基本不等式，以及它们的构造和应用。 Jensen不等式及其应用： 介绍Jensen不等式及其在证明与凸函数相关的数学问题中的应用。 放缩法、构造法： 讲解利用数学知识进行放缩，以及如何巧妙构造辅助函数或表达式来证明不等式。 函数方程的思想与方法： 函数方程的性质： 深入分析函数方程的对称性、周期性、单调性等性质，以及如何利用这些性质求解函数方程。 构造法与代换法： 介绍如何通过构造特殊的函数或进行变量代换，简化函数方程问题。 数学归纳法： 基本原理与适用范围： 详细讲解数学归纳法的基本原理、步骤和适用范围。 复杂猜想与证明： 针对一些抽象的猜想，引导考生如何利用数学归纳法进行严谨证明。 构造性证明与反例法： 构造性证明： 讲解如何通过构造特定的数学对象或过程，来证明数学命题的真伪。 反例法： 介绍如何寻找反例，来证伪数学命题。 数学建模与应用： 将实际问题转化为数学模型： 引导考生如何从实际问题中提炼数学模型，并运用所学知识进行求解。 模型分析与优化： 讲解如何分析数学模型的优劣，并进行相应的优化。 第四部分：模拟演练，实战检验 理论学习之后，实战演练是检验学习效果、提升应试能力的关键。本书的第四部分提供了精心设计的模拟试题，旨在全面检验考生的知识掌握程度和解题能力。 分阶段模拟考试： 专题性模拟： 针对代数、几何、数论等不同专题，设置阶段性模拟测试，帮助考生查漏补缺。 综合性模拟： 模拟真实数学联赛的题型和难度，进行多次综合性模拟考试，让考生熟悉考试流程，调整考试心态。 详细解析与点评： 提供详尽的解题思路： 对每一道模拟题，都提供了清晰、详细的解题步骤和思路分析，帮助考生理解解题过程。 点评易错点与难点： 针对常见的错误和难点，进行重点点评，提醒考生注意避免。 拓展解题思路： 在可能的情况下，会提供多种解题方法，鼓励考生从不同角度思考问题，培养发散性思维。 结语 《高中数学联赛备考手册》是一本集知识梳理、题型分析、专题突破、模拟演练于一体的综合性备考用书。本书的编写力求科学严谨，贴近联赛实际，旨在为广大高中生提供最有效的数学联赛辅导。我们相信，通过认真研读本书，勤加练习，并结合自身的学习特点，每位考生都能在数学联赛中取得理想的成绩，为自己的未来打下坚实的数学基础。

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这本书的语言风格是极其严谨而又充满激励性的。它没有使用太多花哨的网络用语或者不必要的幽默，保持了数学学习应有的严肃性，但这并不意味着它枯燥。恰恰相反，在一些关键的证明过程或复杂公式推导后，作者会用一两句话进行小结，总结这个技巧或定理背后的美感或者其在数学体系中的地位，这让学习过程充满了对知识本身的敬畏感。尤其是在处理那些对逻辑链要求极高的证明题时，书中的阐述逻辑如抽丝剥茧般层层递进，逻辑跳跃点非常少，即使是最复杂的归谬法或反证法，也能被拆解得非常易懂。我特别喜欢它在书的末尾附带的“错题分析模板”。它不是简单地罗列常见错误，而是提供了一个如何系统记录、分析和避免重复犯错的框架。这个模板让我从“机械地订正答案”转向了“深入剖析错误根源”，从根本上提升了我的学习效率，这比任何一套题库都来得实在。

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坦白说，我之前买过好几本号称是“竞赛圣经”的辅导书，但很多都存在一个通病：要么是题海战术，堆砌了大量我根本看不懂的难题，读完只会更焦虑；要么就是对中低难度题目的讲解过于敷衍，只给出答案，不讲思路。这本书完全避开了这些雷区。它的章节安排非常合理，是以知识模块为单位进行划分的，每个模块内部又设置了“基础巩固——进阶应用——专题突破”三个层次。这种结构使得学习的反馈是即时的。当你完成基础巩固部分后，你会清晰地知道自己对这一块知识点的掌握程度。而进入专题突破时，它引入了一些跨章节的综合题，这些题目的设计往往具有很强的启发性，能迫使你将学到的不同知识点联系起来，形成网络，而不是孤立的知识点。对我来说，这种系统化的训练比单纯做一百道难题更有价值，它真正帮我搭建起了从“会做题”到“理解题意、设计解法”的桥梁。

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这套书的装帧设计非常有心思，拿在手里沉甸甸的，光是封面那种磨砂的质感就让人觉得这不只是一本普通的教材。内页的纸张选择也很讲究，没有那种刺眼的荧光白，长时间阅读眼睛也不会太累。内容上的排版更是下了功夫，公式和文字之间的留白处理得恰到好处，既不会觉得拥挤，也不会因为留白太多而显得单调。特别是那些例题的解析部分，步骤清晰得像是有一位经验丰富的老师在旁边手把手地指导，每一步的逻辑推导都交代得清清楚楚，对于我这种在某些抽象概念上容易卡壳的学习者来说，简直是福音。而且，书中还穿插了一些“思维导图”式的总结，将某一章节的核心思想用图形化的方式展现出来，极大地帮助了知识体系的构建和记忆。我个人特别喜欢它在基础概念回顾那一块的处理方式，没有直接堆砌枯燥的定义，而是通过一些巧妙设问，引导读者自己去思考和总结，这种互动性让学习过程变得不再是单向灌输，而是主动探索，非常符合现在教育理念的导向。

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我用了差不多一个月的时间来系统地研读这本学习资料，最大的感受就是它的“深度和广度平衡得恰到好处”。它不像有些竞赛用书那样，上来就抛出高深的定理和繁琐的技巧，让人望而却步。相反，它从高中数学的核心知识点出发，循序渐进地将难度提升上去。比如在解析几何部分，它不仅仅是罗列了几种求焦距、离心率的方法，而是深入剖析了不同坐标系转换对解题效率的影响，并且用对比的方式展现了不同方法的优劣。更让我印象深刻的是它对“反直觉”问题的处理。很多竞赛题目的陷阱就在于我们习惯性的思维定势，而这本书很敏锐地指出了这些思维盲区，并给出了非常细腻的剖析，让你明白为什么常规思路会出错，以及如何构建更严谨的数学模型去应对。这种教学上的细腻度，体现了编著者对竞赛选拔机制的深刻理解，它不仅仅教你解题，更在训练你的“数学直觉”和批判性思维，这才是竞赛真正看重的能力。

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从一个长时间与数学学习“搏斗”的学生的角度来看，这本书最突出的特点是其对“非标准解法”的探讨。在很多标准的教程中，一道题通常只展示最优解或最主流的解法，但真正的竞赛往往鼓励发散性思维。这本书则在这方面做得非常出色，它会经常在解题的空白处标注“另一种思路”或者“更简洁的方法”。例如，在解决某些立体几何问题时，它会先用传统的三视图或空间向量法解一遍，然后紧接着展示如何利用更高级的投影技巧或者巧妙的几何构造来瞬间简化问题。这种对比不仅展示了解题技巧的丰富性，更重要的是，它在潜移默化中训练我们不要墨守成规，要时刻在心中搜寻是否存在更优雅的路径。这种对思维开放性的鼓励，是市面上很多以应试为导向的书籍所缺乏的宝贵精神财富。这本书读完后，感觉自己对数学的理解深度确实提升了一个档次。

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