具体描述
《计算机数学基础》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材。《计算机数学基础》基于高等职业教育计算机专业的特点和培养面向计算机应用软件开发人才的目标进行定位，同时按照“够用、实用”的原则进行编写。《计算机数学基础》主要介绍数学思想和方法在计算机科学领域中的若干应用，使学生对计算机科学和软件开发的数学基础以及这些数学思想和方法可能的应用有一个总体的了解和把握。全书共8章，主要内容包括：数学——计算机科学的基础、一元微分学初步、不定积分与定积分、矩阵与线性代数初步、概率论基础、随机变量的分布与数字特征、数理逻辑初步和图论初步。
《计算机数学基础》可作为应用性、技能型人才培养的各类教育计算机数学课程的教学用书，也可供普通高等教育、各类培训、计算机从业人员和爱好者参考使用。
聚焦应用与前沿：当代电子信息工程中的数学方法 本书旨在为电子信息工程领域的专业人士和高年级学生提供一套深度聚焦于现代工程实践的数学工具箱。它不仅仅是对传统“数学基础”课程的简单复述，而是将抽象的数学概念与当前最前沿的工程应用——如人工智能、信号处理、通信系统和嵌入式控制——紧密结合起来，展示数学思维在解决实际工程难题中的核心地位。 --- 第一部分：高维数据结构与线性代数在现代工程中的重构 本部分彻底超越了基础线性代数的教科书范式，直击现代工程计算对数据处理的深层需求。我们不再将矩阵视为简单的数字排列，而是将其视为高维向量空间中的变换和信息编码载体。 1. 稀疏表示与压缩感知（Compressed Sensing, CS）的数学基础： 详细探讨 $l_1$ 范数最小化（Basis Pursuit, BP）及其在图像重建、雷达信号处理中的应用。重点剖析等距限制性质（Restricted Isometry Property, RIP）的理论意义及其在算法设计中的指导作用。我们将深入分析如何利用矩阵的低秩特性（如奇异值分解 SVD）来高效地表示和压缩海量传感器数据，这在物联网（IoT）边缘计算节点的资源受限环境中至关重要。 2. 特征值分解的工程拓展： 除了传统的稳定性分析外，我们着重介绍主成分分析（PCA）在数据降维、噪声抑制中的非线性变体（如Kernel PCA）。更进一步，探讨图拉普拉斯矩阵在复杂网络（如社交网络、芯片互联）中的谱聚类应用，这对于理解信息流的拓扑结构至关重要。 3. 数值稳定性的工程视角： 线性方程组求解的稳定性不再是一个纯粹的理论话题。本章分析了病态矩阵（Ill-conditioned Matrices）在迭代算法（如共轭梯度法 CG）中的表现，并引入了迭代重估（Iterative Refinement）技术，以确保在浮点运算精度受限的嵌入式系统中，求解结果依然可靠。 --- 第二部分：概率论与随机过程——从贝叶斯推断到深度学习的涌现 本部分将概率论从纯粹的统计描述提升到动态系统建模和决策制定的核心工具。我们侧重于信息论与随机过程在不确定性环境下的工程应用。 1. 随机过程的动态建模： 深入分析马尔可夫链（Markov Chains）在网络路由、状态机建模中的应用，并引入隐马尔可夫模型（HMM）及其在语音识别和时间序列预测中的核心算法（前向-后向算法、维特比算法）。我们将特别关注布朗运动（Wiener Process）在金融工程与随机控制理论中的基础作用。 2. 贝叶斯推断与现代滤波技术： 重点剖析卡尔曼滤波（Kalman Filter）的递推结构，并将其推广至非线性系统——扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF）。这些滤波器是现代导航、目标跟踪系统（如无人机姿态估计）中不可或缺的实时估计算法。我们还将介绍粒子滤波（Particle Filtering）在处理强非线性或多模态不确定性时的优势。 3. 信息论与信道容量： 香农定理的工程意义被置于现代通信系统的核心。本章讨论熵、互信息在衡量数据冗余度和信道传输效率中的作用。这为理解信道编码（如LDPC码、Turbo码）的设计提供了理论基础，直接关系到5G/6G系统的性能极限。 --- 第三部分：傅里叶分析与偏微分方程在场域分析中的应用 本部分强调分析工具如何帮助我们理解和控制物理场（电磁场、声场、热场）在时空中的演化。 1. 离散傅里叶变换（DFT）与快速算法（FFT）： 不再满足于仅用DFT进行频谱分析。我们深入研究FFT在快速卷积、数字滤波器设计（FIR/IIR）、以及OFDM（正交频分复用）通信系统中的具体实现细节。分析周期延拓和栅栏效应（Leakage）对实际系统性能的影响及补偿方法。 2. 傅里叶/拉普拉斯变换在系统分析中的作用： 将经典的频域分析工具与控制理论中的传递函数（Transfer Function）紧密结合。分析如何通过分析系统的零极点分布来快速判断反馈控制系统的稳定性和瞬态响应特性，并指导PID控制器的参数整定。 3. 偏微分方程（PDE）的工程求解方法： 重点关注波动方程和扩散方程在电磁兼容性（EMC）分析和热管理中的应用。介绍有限差分法（FDM）和有限元法（FEM）的基本思想。通过对麦克斯韦方程组的简化模型求解，展示数学如何驱动电磁仿真软件（如HFSS、CST）的底层计算逻辑。 --- 第四部分：优化理论与非线性系统——驱动智能决策 本部分将优化方法视为构建智能系统的核心驱动力，尤其关注机器学习和控制工程中的大规模优化问题。 1. 凸优化基础与工程约束： 详细阐述凸集、凸函数、对偶问题（Lagrange Duality）的概念。重点分析线性规划（LP）和二次规划（QP）在资源调度、最小二乘法（LSSVM）中的直接应用。强调 KKT 条件在确保最优解满足工程约束（如功耗限制、带宽限制）中的必要性。 2. 非线性优化与梯度下降的变种： 深度剖析深度学习训练背后的数学原理——梯度下降法。对比分析牛顿法、拟牛顿法（BFGS）和共轭梯度法在高维空间中的收敛速度与计算复杂度。介绍动量（Momentum）、自适应学习率（如Adam, RMSProp）等优化器如何通过引入历史梯度信息来克服鞍点问题和局部极小值。 3. 变分法与控制理论的交汇： 引入变分法（Calculus of Variations）的基本思想，作为最优控制理论（如Pontryagin's Maximum Principle）的数学前驱。这为设计最优轨迹规划、能源高效的通信协议提供了严谨的理论框架。 --- 本书的特色在于其强烈的“工程导向”和“计算思维”。每一章节的理论推导都辅以至少一个来自实际电子信息工程领域的案例分析，并通过伪代码或实际编程语言片段（如Python的NumPy/SciPy接口）展示如何将这些高级数学工具转化为可执行的工程解决方案。它要求读者具备扎实的微积分和基础代数知识，但其核心价值在于培养读者在面对复杂系统时，能够迅速识别出隐藏在表象之下的数学结构，并选择最恰当的数学工具进行建模和求解的能力。
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