具体描述
Utilizing a clear, concise writing style, and use of relevant, real world examples, Soo Tan introduces abstract mathematical concepts with his intuitive approach that brings abstract ideas to life. In keeping with this emphasis on conceptual understanding, each exercise set begins with concept questions and each end-of-chapter review section includes fill-in-the-blank questions which are useful for mastering the definitions and theorems in each chapter. Additionally, many questions asking for the interpretation of graphical, numerical, and algebraic results are included among both the examples and the exercise sets.
好的，这是一本关于多变量微积分（Multivariable Calculus）的教材简介，它完全专注于扩展单变量微积分的范围，深入探讨三维空间及更高维度的数学概念。 --- 超越平面：多变量微积分的几何与分析 内容概述 本书旨在为学习者提供一个全面、深入且富有几何直觉的多变量微积分（Multivariable Calculus）学习体验。它建立在单变量微积分的坚实基础上，将核心概念——极限、连续性、导数和积分——提升到二维和三维空间，并进一步推广到任意维度的欧几里得空间。 本书的编排注重概念的清晰阐释、严谨的数学推导，以及在物理、工程和计算机科学中的实际应用。我们力求通过直观的几何图像和富有洞察力的例子，帮助读者建立对高维函数的直观理解，这是现代科学研究中不可或缺的工具。 第一部分：空间中的几何基础与向量代数 本部分为后续的微积分内容奠定不可或缺的几何和代数基础。 第一章：三维欧几里得空间 ($mathbb{R}^3$) 本章首先回顾并推广了二维平面上的坐标系概念到三维空间。我们详细讨论了空间中的点、距离公式，并引入了笛卡尔坐标系、柱坐标系和球面坐标系。 坐标转换： 详细阐述了柱坐标 $(r, heta, z)$ 与笛卡尔坐标 $(x, y, z)$ 之间的精确转换公式，以及球面坐标 $(
ho, heta, phi)$ 在描述复杂几何体时的优势。 曲面方程： 探索描述空间中各种曲面（如球面、椭球面、抛物面和双曲面）的代数方程。 第二章：向量代数与几何 向量是描述空间中力、速度和位移等物理量的基本工具。本章深入探讨向量的运算及其几何意义。 向量运算： 加减法、标量乘法、向量的线性组合。 点积（内积）： 不仅计算其结果，更侧重于其几何解释——投影和角度的计算。利用点积证明垂直性。 叉积（外积）： 重点讲解叉积的定义、计算方法，以及其结果向量的性质（垂直性与长度）。详细分析了叉积在计算平行四边形和四面体体积中的应用。 直线与平面： 利用向量参数方程和法向量方程，精确描述空间中的直线和平面，并计算它们之间的交点、夹角和距离。 第二部分：多变量函数的微积分 本部分是本书的核心，它将单变量函数中的微分概念推广到多个变量。 第三章：多变量函数与偏导数 我们研究定义域不再是区间而是 $mathbb{R}^n$ 的函数，即 $f: mathbb{R}^n o mathbb{R}^m$。 函数的可视化： 对于 $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}$ 的函数，通过轮廓线（Contour Lines）和三维曲面来理解其图像。 偏导数： 严格定义偏导数，并解释其几何意义——沿着坐标轴方向的变化率。 链式法则（高维扩展）： 发展出适用于任意层级复合函数的链式法则，这是计算复杂函数导数的关键。 梯度向量（Gradient）： 引入梯度 $
abla f$ 作为一个包含所有偏导数的向量。详细论证梯度向量的方向是函数增长最快的方向，其大小是该最大变化率。 方向导数： 计算函数沿着任意给定方向（单位向量 $mathbf{u}$）的变化率 $D_{mathbf{u}}f =
abla f cdot mathbf{u}$。 第四章：多变量函数的应用与泰勒级数 切线与切平面： 利用梯度向量定义函数在空间中的切平面，这是对单变量函数中切线概念的直接推广。 极值问题： 寻找函数在给定区域上的最大值和最小值。 二阶偏导数与Hessian矩阵： 定义混合偏导数，并利用 Clairaut 定理（对称性）。引入 Hessian 矩阵来分析函数的局部凹凸性。 二阶偏导数检验： 利用 Hessian 矩阵的行列式（或特征值）来精确判断临界点是局部最大值、最小值还是鞍点。 第五章：向量场与线积分 本章将焦点从标量场转移到向量场（如流体速度场、电场）。 向量场的可视化： 理解向量场在空间中每一点的指向和大小。 线积分（Line Integrals）： 定义沿着空间曲线 $C$ 对标量函数 $f$ 的积分 $int_C f , ds$ 和对向量场 $mathbf{F}$ 的积分 $int_C mathbf{F} cdot dmathbf{r}$。 功的计算： 将向量场上的线积分直接应用于物理学中的“功”的概念。 保守向量场与势函数： 引入保守向量场的概念，并证明其等价于存在一个标量势函数 $f$ 使得 $mathbf{F} =
abla f$。这为下一步的路径无关性奠定了基础。 第三部分：多重积分与微积分基本定理 本部分旨在处理高维空间中的累积问题，核心是多重积分的计算技巧和高维基本定理。 第六章：双重积分与三重积分 二重积分（Double Integrals）： 定义在矩形区域和一般区域上的二重积分，理解其几何意义——曲面下的体积。 累次积分（Iterated Integrals）： 利用 Fubini 定理，阐述如何通过计算累次一维积分来求解二重积分。 积分次序的交换： 强调改变积分次序 ($int int dy , dx$ 到 $int int dx , dy$) 在简化计算中的关键作用。 极坐标下的二重积分： 引入雅可比行列式（Jacobian）的概念，并展示在极坐标系下计算扇形区域积分的简便性。 三重积分与坐标变换： 扩展到三维空间中的体积积分。详细介绍柱坐标系和球面坐标系在计算复杂体积和质量分布问题中的应用，再次严格推导坐标变换的雅可比行列式。 第七章：向量微积分的基本定理 本章是连接微分和积分的宏伟总结，展示了微积分基本定理在高维空间中的优美推广。 格林定理（Green's Theorem）： 将平面上的线积分与定义在闭合曲线内部区域上的二重积分联系起来。深入探讨其在流体力学中的旋度解释。 曲面积分（Surface Integrals）： 定义穿过参数化曲面的通量积分（Flux Integral） $iint_S mathbf{F} cdot dmathbf{S}$，重点是区分法向量的方向（定向曲面）。 斯托克斯定理（Stokes' Theorem）： 这是一个强大的定理，它将一个曲面 $S$ 上的向量场的旋度（Curl）的面积分，转化为围绕曲面边界曲线 $C$ 的线积分。它被视为格林定理在三维空间的推广。 散度定理（Divergence Theorem / Gauss' Theorem）： 将一个封闭曲面 $S$ 内部向量场的散度（Divergence）的三重积分，与穿过该曲面的通量（向量场的线积分形式）联系起来。这在流体、电磁学中用于描述源和汇。 --- 本书特色 1. 几何驱动的直觉构建： 每引入一个代数工具（如梯度、旋度），都首先辅以详尽的几何图像和物理意义的解释。 2. 严格的证明与推导： 所有关键定理（如链式法则、极限定理、斯托克斯定理）都提供清晰、可跟随的证明路径。 3. 丰富的习题集： 包含大量的计算题、概念验证题和深入的建模应用题，确保学习者能够熟练运用所学工具解决实际问题。 4. 坐标系统精通： 针对柱坐标、球面坐标以及更高维度的雅可比变换进行了细致的讲解和大量的练习，确保读者能够熟练地在不同坐标系中进行积分。 目标读者： 本书适合数学、物理学、工程学（航空航天、机械、电子）、计算机图形学和经济学等领域中，已经完成单变量微积分学习，并需要深入掌握空间分析技术的学生和专业人士。
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