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出版者:南京大學

作者:丁萍//馮惠愚

出品人:

頁數:300

译者:

出版時間:2010-5

價格:35.00元

裝幀:

isbn號碼:9787305068515

叢書系列:

圖書標籤:

• 高中數學
• 競賽
• 解題
• 全解題庫
• 數學競賽
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高中數學精選專題解析與訓練 第一部分：核心基礎與能力提升 第一章 函數與基本初等函數：深度剖析與應用拓展 本章旨在構建堅實的函數基礎，並深入探討其在高中數學中的核心地位。內容涵蓋函數的概念、性質（單調性、奇偶性、周期性）的嚴謹論證，以及對基本初等函數（冪函數、指數函數、對數函數）圖像、性質的精細化處理。重點突破對復閤函數、分段函數的分析能力，特彆針對函數的零點問題、不等式恒成立問題的轉化技巧進行強化訓練。 專題一：函數性質的證明與反演：不依賴於圖形直覺，運用代數方法嚴格證明函數的單調性與奇偶性，並探討如何利用性質快速判斷函數圖像的對稱性與周期性。 專題二：指數與對數方程、不等式的解法：係統梳理利用換元法、構造函數法（如利用導數或單調性）求解復雜指數、對數方程組和含參不等式組的策略。 專題三：最值問題的函數建模：講解如何將實際問題（如幾何優化、工程約束）抽象為函數模型，並利用求導（不涉及微積分部分）或基本不等式確定最值。 第二章 數列與極限思想：遞推關係的求解與極限初步 本章聚焦於數列的內在規律和極限的直觀理解。對等差、等比數列的通項公式和求和公式進行迴顧與深化，並著重訓練對遞推關係的分析。 專題一：復雜遞推數列的求解：係統介紹特徵方程法、構造新數列法（如構造等差/等比數列、構造積比數列）求解高階或非綫性遞推關係。 專題二：數列求和的技巧：重點訓練錯位相減法、分組求和法、裂項相消法等處理復雜數列求和（特彆是涉及多項式或指數因子的數列）的技巧。 專題三：數列極限的直觀感知：初步接觸極限的概念，理解數列收斂的意義，並利用夾逼原理估算特定數列的極限趨勢。 第三部分：解析幾何：從幾何直覺到代數錶達的統一 第三章 平麵解析幾何：圓錐麯綫的性質精研 本章是解析幾何的重中之重，要求學生熟練掌握圓錐麯綫的定義、標準方程及其幾何性質。 專題一：直綫與圓錐麯綫的相交問題：深入探討“弦長公式”、“中點弦問題”和“定點過定直綫問題”。重點掌握“設而不求”的韋達定理應用，以及斜率是否存在時的討論。 專題二：定點、定值、定綫問題：訓練如何通過代數變形（如通分、分離變量）或利用嚮量性質，從復雜的交點坐標關係中提取齣恒定的幾何量。 專題三：參數化方法在軌跡問題中的應用：針對一些特殊的動點問題，介紹如何引入參數（如角度、斜率）進行描述，簡化坐標運算，求齣軌跡方程。 第四章 空間幾何體與嚮量法 本章強調空間思維的建立，並引入嚮量工具來解決空間中復雜的角度和距離問題，實現“幾何問題代數化”。 專題一：空間中角、距的精確計算：係統梳理異麵直綫所成角、綫麵角、二麵角（利用嚮量的法嚮量或射影）的計算流程。 專題二：空間嚮量的坐標化建模：重點訓練如何建立閤適的空間直角坐標係，並將復雜的立體結構（如棱錐、正方體）轉化為坐標嚮量運算。 專題三：幾何體體積的精確求法：除基礎公式外，深入探討利用等體積法、割補法以及三棱錐的體積公式（特定情況下）求解不規則幾何體的體積。 第三部分：三角函數與解三角形：代數工具與幾何應用的結閤 第五章 三角函數的恒等變換與圖像性質 本章旨在鞏固三角恒等變換的熟練度，並對三角函數的周期性、對稱性進行深入挖掘。 專題一：復雜三角錶達式的化簡與求值：係統訓練“一化三同”原則，重點掌握輔助角公式的靈活運用，以及如何將三角式轉化為分式或整式進行求值。 專題二：三角函數的圖像變換與性質判定：深入分析$y=Asin(omega x+varphi)$中參數對圖像的影響，著重訓練求最大值、最小值、周期、對稱軸等問題的“反推”過程。 第六章 解三角形：正餘弦定理的高階應用 本章將解三角形的知識點延伸至更為復雜的幾何場景中。 專題一：三角形邊角關係的最優化問題：利用正弦定理和餘弦定理，將涉及麵積、高、周長的錶達式轉化為僅含一個變量的三角函數式，從而求最值。 專題二：利用麵積公式構造方程：在已知特定條件（如中綫、角平分綫）的三角形中，通過麵積公式（如$S=frac{1}{2}absin C$）建立等量關係，求解未知邊或角。 第四部分：概率、統計與推理 第七章 概率與統計：隨機事件的量化與推斷 本章側重於對隨機現象的數學建模和基於樣本數據的統計推斷。 專題一：古典概型與幾何概型：深入區分兩者的適用範圍，重點訓練幾何概型中麵積或長度的比值計算。 專題二：排列組閤與二項式定理的綜閤應用：結閤概率模型（如抽球問題、排隊問題），綜閤運用排列組閤公式，訓練對“不重復”、“不相鄰”、“必須包含”等限製條件的準確翻譯。 專題三：迴歸分析與獨立性檢驗的理解：理解綫性迴歸直綫方程的意義，並掌握獨立性檢驗（卡方檢驗的原理）在實際數據分析中的應用判斷。 第八章 算法初步與邏輯推理 本章介紹算法思想在數學問題中的體現，以及歸納、演繹推理的規範性。 專題一：流程圖的閱讀與程序框圖的執行：重點訓練對循環結構（當型、直到型）的精確追蹤，以及如何通過少量迭代發現算法的規律。 專題二：歸納推理的嚴謹性：分析通過觀察特殊情形得齣一般結論的過程，並明確歸納結論在數學證明中的輔助作用。 第五部分：選修內容基礎迴顧與拔高（適用於部分省份或競賽選拔） 第九章 極坐標與參數方程 本章介紹在特定問題中引入極坐標係或參數方程的優勢。 專題一：極坐標方程的轉化與幾何意義：熟練掌握極坐標 $(r, heta)$ 與直角坐標 $(x, y)$ 之間的相互轉化，理解直綫、圓等在極坐標係下的新形式。 專題二：參數方程在軌跡問題中的應用：通過參數的取值範圍，分析由參數方程確定的點的運動範圍和幾何軌跡。 第十章 不等式選講：核心不等式的深入證明 本章專注於對高中階段涉及的核心不等式的深度證明與應用。 專題一：均值不等式（$AM-GM$）的等號條件與適用範圍：強化“正、二、定、最”的記憶與應用，特彆針對非標準形式（如和項或積項不固定）的轉化技巧。 專題二：柯西不等式的應用：介紹嚮量形式和代數形式的柯西不等式，重點訓練在平方和與積之間進行聯係的構造方法。 專題三：絕對值不等式的解集問題：係統分析 $|ax+b| le c$ 和 $|ax+b| ge c$ 等形式的不等式的解法，並結閤圖像法進行驗證。

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對於我們這些目標明確，希望在省級乃至國傢級競賽中取得好名次的學習者來說，時間管理和效率至關重要。我購買過市麵上很多聲稱“全麵”的競賽資料，但很多內容要麼過於基礎，對我來說是浪費時間；要麼就是過度拔高，很多技巧性的技巧讓人學瞭也用不上。而這本《高中數學競賽全解題庫》的定位非常精準。它似乎非常清楚高中生的學習麯綫和瓶頸期。它沒有在基礎概念上做過多的贅述，而是直接切入競賽的核心難度。書中的例題難度梯度設置得非常科學，從入門級的鞏固性練習，到中等的思維轉換題，再到最後的幾道挑戰思維極限的難題，層次分明，讓人可以根據自己的狀態逐步攻剋。我感覺我不是在做一套試捲，而是在接受一個專業教練的循序漸進的輔導。用瞭這本書之後，我發現自己在麵對那些看似陌生的競賽題型時，不再是憑空猜測，而是能迅速將題目與書中學過的某個模型或技巧關聯起來，解題的效率和準確率都有瞭質的飛躍。

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這本書的排版和設計也頗具匠心，雖然內容專業，但看起來卻一點也不枯燥。我是一個視覺敏感型學習者，如果一本書看起來像一堵密不透風的牆，我可能連翻開的欲望都沒有。但《高中數學競賽全解題庫》采用瞭大量的圖錶和不同的字體顔色來區分重點、難點和解題步驟。比如，在涉及到復雜圖形的題目時，它會用彩色綫條標齣輔助綫或者關鍵的幾何關係，這一下子就把抽象的文字描述立體化瞭。這種可視化處理，對於理解立體幾何和解析幾何中的空間關係尤其有效。我記得有一次我在一個三維圖形的嚮量錶示上卡住瞭很久，就是因為自己想象不齣來那個角度。後來翻到這本書裏對那個題目的配圖解析，我立刻就豁然開朗瞭。此外，書本的紙張質量也很好，用熒光筆做標記也不會透墨，這對於我這種喜歡在書上塗塗畫畫的學生來說，簡直是加分項。

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說實話，我是一個對“題海戰術”有點反感的學習者，我更傾嚮於精講精練。這本《高中數學競賽全解題庫》在這一點上做得非常到位，它沒有追求數量上的壓倒性優勢，而是注重質量的把控。我注意到，書中所選的例題和習題，很多都是曆年真實齣現的競賽真題或者高度仿真的高質量題目。這對我來說意義重大，因為瞭解真實競賽的考查重點和難度梯度，比盲目刷題有效得多。我特彆喜歡它對錯題的歸納和分析部分，它不是簡單地指齣“你做錯瞭”，而是深入探討“為什麼會錯”，是不是因為對某個定理理解有偏差，還是計算過程中粗心大意。這種反思性的學習機製，讓我能夠真正地把知識點吃透，而不是僅僅停留在“會做”的層麵，而是要達到“必做對”的境界。每次做完一個單元的練習，我都會花時間對照書上的“易錯點警示”來檢查自己，效果立竿見影，感覺自己的“失分點”正在被一點點堵住。

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這本《高中數學競賽全解題庫》簡直是為我這種在數學競賽路上摸爬滾打的學生量身打造的。我記得我剛開始接觸競賽時，感覺那些題目就像是天書一樣，公式符號密密麻麻，思路更是難以捉摸。那時候，我試過好幾本參考書，有的理論講得太深奧，我根本看不懂後麵的例題；有的題目倒是挺多，但解析卻簡單得像是直接給齣瞭答案，完全沒有步驟和思想的引導。直到我偶然翻到這本“全解題庫”，我纔找到瞭方嚮。它最讓我驚喜的是，它不是那種死闆地羅列知識點，而是把每個章節的知識點都拆解得非常細緻，比如在解析幾何部分，它會先從最基礎的直綫方程講起，然後逐步過渡到圓錐麯綫，每一步的推導都清晰可見。更重要的是，對於那些難度較高的壓軸題，書裏會提供不止一種解法，比如幾何法、代數法，甚至還有嚮量法。這種多角度的解析，極大地拓寬瞭我的思維視野，讓我明白同一個問題可以有多種解決途徑，這在實戰中真的太重要瞭。以前我總覺得數學競賽比的是誰的知識點掌握得更牢固，現在我明白，更比的是誰的思維更靈活，而這本書正是培養這種靈活思維的絕佳工具。

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我是一個習慣於在知識體係框架下學習的人，如果零散的知識點堆在一起，我很難形成係統的認知。這本《高中數學競賽全解題庫》最讓我贊賞的一點，就是它對高中數學核心知識模塊的梳理和整閤能力。它不像傳統的教材那樣，知識點之間界限分明，競賽往往是將不同章節的知識點巧妙地融閤在一起考察，比如用概率論的知識去解決排列組閤的計數問題，或者用微積分的思想去優化代數不等式。這本書巧妙地設置瞭“跨章節綜閤應用”的專題，這些專題的題目難度雖然陡增，但它會明確指齣本題涉及到哪些知識點的交叉融閤，並且在解題過程中詳細地迴顧瞭相關知識點的應用場景。這種由淺入深，由點及麵的編排方式，極大地幫助我構建瞭一個完整且穩固的數學知識網絡，讓我對整個高中數學競賽的內容布局有瞭全局的把握。

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