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《代数拓扑基础》 作者： 德克·施密特 (Dirk Schmidt) 出版社： 普林斯顿大学出版社 出版年份： 2021年 --- 内容概述 《代数拓扑基础》旨在为高年级本科生和研究生提供一套全面而深入的代数拓扑学导论。本书聚焦于将代数工具（如群论、环论和模论）系统地应用于研究拓扑空间的内在结构。与传统的拓扑学教材侧重于点集拓扑和连续性的角度不同，本书将代数方法置于核心地位，引导读者理解如何通过构造不变量来区分和分类不同的拓扑空间。 全书结构清晰，逻辑严密，从基础的同伦论（Homotopy Theory）开始，逐步过渡到更抽象的同调论（Homology Theory），并简要介绍了截面纤维丛（Fiber Bundles）和特征类（Characteristic Classes）的初步概念。 --- 详细章节介绍 第一部分：基本概念与同伦（Part I: Preliminaries and Homotopy） 第1章：拓扑空间回顾与基本构造 本章首先简要回顾了度量空间、拓扑空间、紧致性、连通性等核心概念，但很快将重点转向代数结构的应用。引入了拓扑空间上定义的代数结构，如路径（Paths）和扇区（Wedges of Spaces）。重点讨论了基本群（Fundamental Group, $pi_1(X, x_0)$）的定义、构造以及它作为拓扑不变量的初步性质。详细阐述了如何计算简单空间的（如圆周 $S^1$、环面 $T^2$）的基本群，并证明了其在同胚下的不变性。此外，本章引入了覆叠空间理论（Covering Space Theory），特别是关于单连通空间（Simply Connected Spaces）的覆叠性质，以及其与基本群之间的深刻联系。 第2章：同伦等价与Hurewicz定理的初探 本章深入探讨了同伦（Homotopy）的概念，定义了同伦等价（Homotopy Equivalence），并证明了同伦等价类是拓扑不变量。通过构造上界拓扑（Wedge Sums）和柱体（Cylinders），展示了如何利用代数运算来组合拓扑空间。重点介绍了Hurewicz同态（Hurewicz Homomorphism），即将基本群映射到第一个奇异同调群 $mathrm{H}_1(X)$ 的映射，为后续的同调理论奠定基础。 第二部分：奇异同调论（Part II: Singular Homology Theory） 第3章：链复形与边界算子 这是本书的代数核心之一。本章引入了奇异单纯形（Singular Simplices）的概念，并定义了奇异链群（Singular Chain Groups, $C_n(X)$），它们是自由阿贝尔群。随后，精确地定义了边界算子（Boundary Operators, $partial_n$），并严格证明了其关键性质 $partial_n circ partial_{n+1} = 0$。这导出了链复形（Chain Complexes）的概念。本章详细讨论了有理系数（Rational Coefficients）和模系数（Modular Coefficients）下的链复形构造。 第4章：同调群的定义与基本性质 基于链复形，本章正式定义了同调群（Homology Groups, $H_n(X)$）为商群 $ ext{Ker}(partial_n) / ext{Im}(partial_{n+1})$。通过构造缩链（Contractible Chains），证明了常数空间（A Single Point）的所有同调群都为零（对于 $n>0$）。详细讨论了同调的函子性（Functoriality of Homology），即连续映射诱导出同调群之间的群同态。引入了玛耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）作为计算高阶同调群的强大工具，并通过具体例子（如球面的分解）展示了其应用。 第5章：相对同调与同调的公理化 本章引入了相对同调群（Relative Homology Groups, $H_n(X, A)$），用于研究子空间 $A$ 对空间 $X$ 的“修改”。展示了相对同调诱导出长期精确序列（Long Exact Sequence in Relative Homology），这是所有拓扑不变量理论的关键特征。最后，本章概述了Eilenberg-Steenrod公理，将奇异同调置于更广阔的理论框架中，并简要提及了维数公理（Dimension Axiom）的重要性。 第三部分：同调的深化与应用（Part III: Refinements and Applications） 第6章：万有系数定理与张量积 本章侧重于代数结构的进一步发展。首先讨论了张量积（Tensor Product）在线性代数中的作用，并将其引入到链复形上，定义了系数域的改变（Change of Coefficients）。核心内容是万有系数定理（Universal Coefficient Theorem），该定理揭示了同调群 $H_n(X; mathbb{Z})$ 与其系数模 $ ext{Ext}$ 之间的关系，从而将同调群的扭转部分（Torsion Subgroups）的结构清晰地展现出来。 第7章：球面与球面上的同调 通过严谨的计算，本章推导了球面 $S^n$ 的同调群。这不仅是理论上的检验，也是理解更高维度几何的基石。计算结果表明 $H_0(S^n) cong mathbb{Z}$ 且 $H_n(S^n) cong mathbb{Z}$，其他阶为零。利用胞腔同调（Cellular Homology）的简化计算方法，本章展示了如何高效地计算出具有特定胞腔结构的复杂空间（如环面、射影平面）的同调群。 第8章：截面纤维丛与示性类导引 在本书的最后部分，我们从计算转向几何构造。本章引入纤维丛（Fiber Bundles）的基本概念，特别是向量丛（Vector Bundles）。通过上拉（Pullback）构造和截面（Sections）的概念，讨论了丛的分类问题。重点引入第一陈类（First Chern Class）的拓扑直觉，并展示了它如何通过上同调（Cohomology Theory）中的庞加莱对偶性（Poincaré Duality）的初步形式，与同调群产生深刻的乘法结构联系。 --- 本书特色 1. 代数驱动的视角： 本书不将代数视为后续工具，而是将其视为理解拓扑结构的语言，从一开始就强调群和模结构的作用。 2. 严谨性与计算性并重： 在保证严格的数学证明（如对边界算子零性的证明）的同时，提供了大量可操作的计算方法（如Mayer-Vietoris和胞腔同调的应用）。 3. 深度覆盖： 涵盖了从基本群到奇异同调，再到纤维丛和示性类的核心内容，为读者进入微分拓扑或代数K理论等高级领域做好准备。 4. 明确的理论区分： 明确区分了同伦论和同调论的优势与局限性，特别指出了同调群作为阿贝尔群的优势在于其易于计算和组合。 --- 目标读者 本书适合已经学完一般拓扑学（点集拓扑）的数学系学生，以及需要将代数工具应用于几何问题的物理学、计算机科学（如拓扑数据分析）的研究人员。掌握线性代数和群论基础是必需的先决条件。
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