复变函数逼近论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:湖南教育出版社

作者:（德）加意耳（Gaier，D.）

出品人:

页数:249

译者:沈燮昌

出版时间:1985

价格:1.90

装帧:20cm

isbn号码:9780000174413

丛书系列:

图书标签:

• 复变函数
• 逼近论
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• 高等数学
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• 近似理论

《拓扑学基础：从点集到流形》 导言：空间的本质与现代数学的基石 拓扑学，被誉为“现代几何学的语言”，是数学中一个至关重要且迷人的分支。它关注的是空间在连续形变（拉伸、扭曲，但不允许撕裂或粘贴）下保持不变的性质。本书旨在为读者构建一个严谨而直观的拓扑学知识体系，从最基本的点集拓扑概念出发，逐步深入到代数拓扑和微分拓扑的门槛，为理解现代分析、几何乃至理论物理学打下坚实的基础。 本书的编写遵循了从具体到抽象、循序渐进的原则，力求在保持数学严谨性的同时，辅以丰富的实例和几何直觉的引导，以帮助初学者跨越抽象概念的理解障碍。 --- 第一部分：点集拓扑——空间的度量与结构 本部分是全书的基石，着重于定义和研究拓扑空间的一般性质，这是后续所有拓扑分支的出发点。 第1章：预备知识与集合论回顾 本章首先回顾读者所需的集合论基础，包括笛卡尔积、函数的性质、构造集合的技巧。随后引入极限、收敛等分析中的核心概念，并将其提升到更一般的拓扑框架下进行讨论，为后续的开集与闭集概念做铺垫。 第2章：拓扑空间的构造与基础概念 这是点集拓扑的核心。我们详细定义了拓扑空间的概念，即通过指定开集族来定义空间结构。在此基础上，我们引入了闭集、邻域、开球和闭球的拓扑版本。重点讨论了几种重要的拓扑结构：离散拓扑、平凡拓扑、子空间拓扑、商拓扑和积拓扑。特别地，对子空间拓扑的引入，使我们能够从一个已知的空间结构中“继承”出新的结构。 第3章：连续性与拓扑同胚 连续函数是拓扑学中最核心的映射概念。我们建立了拓扑空间的连续函数定义，并证明了它与极限、逆像的等价性。拓扑同胚（Homeomorphism）是本章的关键概念，它代表了两个拓扑空间在结构上是“等价”的。通过大量实例的分析，读者将学会如何利用拓扑不变量（如连通性）来证明两个空间不是拓扑同胚的。 第4章：连通性——空间的整体特性 连通性是描述空间“是否可以被分割”的性质。本章定义了连通空间和路径连通空间，并探讨了它们之间的关系。我们证明了连续映射保持连通性，并引入了连通分支和局部连通性的概念。圆周$S^1$的连通性分析是本章的亮点，它为后续的代数拓扑打下基础。 第5章：紧致性——对有限性的拓扑抽象 紧致性是分析学中“有界闭集”概念在拓扑空间中的推广。我们定义了开覆盖，并引入了Heine-Borel性质的拓扑版本——紧致性。本章详细阐述了紧致性的重要性质：连续像仍是紧致的；紧致子空间是闭集；紧致空间与紧致空间的有限并集仍是紧致的。我们还将紧致性与可数紧致性、序紧致性进行了辨析和比较。 第6章：可数性、分离性和度量空间 本章聚焦于空间分离性质的强度。我们依次介绍了$T_1$空间、$T_2$（Hausdorff空间）、正则空间和正常空间。Hausdorff性质在后续的收敛和紧致性理论中起着决定性作用。随后，我们引入了度量空间——赋予了距离概念的拓扑空间。本章证明了所有度量空间都是Hausdorff的，并探讨了完备度规空间的概念，例如Baire纲定理的应用。 --- 第二部分：拓扑构造与代数工具的初探 在掌握了基础的点集工具后，本部分开始探索如何通过组合现有空间来构造新空间，并引入代数工具来区分更复杂的拓扑结构。 第7章：构造拓扑空间——积、商与纤维丛 本章深入探讨前述的构造方法。重点分析积拓扑和商拓扑的性质。商拓扑的构建常常需要额外的条件（如局部紧致性）来保证性质的良好传递。我们还对纤维丛的概念进行了初步介绍，例如圆环（$S^1 imes I$）如何通过粘合形成圆柱面，以及莫比乌斯带的构造过程。 第8章：函数空间与赋范 我们讨论了具有特定拓扑结构的函数集合，例如连续函数空间$C(X, Y)$。通过引入合适的拓扑（如紧开收敛拓扑），使得函数空间本身也成为一个拓扑空间。本章将对“拓扑收敛”与“一致收敛”进行深入的比较分析。 第9章：同伦与基本群的初步应用 这是通往代数拓扑的关键一步。我们引入同伦的概念，即将路径视为可形变的曲线。基本群 $pi_1(X, x_0)$ 被定义为基于一点 $x_0$ 的所有闭回路的同伦类集合，并证明了它是一个群。本章通过计算圆周$S^1$的基本群（结果为 $mathbb{Z}$）来展示代数不变量的强大威力，以及它如何精确地区分出具有不同“洞”的结构。 --- 第三部分：微分拓扑的门槛——流形概念 本部分将拓扑学与微积分和微分几何的语言相结合，介绍了现代几何学和理论物理学中极为重要的流形概念。 第10章：拓扑流形与光滑结构 我们定义了拓扑流形：一个局部看起来像欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的Hausdorff空间。随后，引入坐标卡、转移映射和图册的概念，从而定义了光滑结构（或微分结构），使得流形成为一个光滑流形。本章详细分析了球面 $S^n$ 的微分结构，以及二维曲面（如球面、环面、射影平面）的分类。 第11章：切空间与张量场 在光滑流形上，我们自然地需要定义微分算子。本章定义了切空间 $T_p M$，它是流形上所有可微曲线的“速度”构成的向量空间。我们探讨了切向量场和张量场的概念，为更高级的微分几何（如黎曼几何）打下了概念基础。 --- 结语：展望与进阶 本书的最后一部分总结了所学知识，并为读者指明了进一步研究的方向，包括更高阶的同调理论、纤维丛上的微分几何、以及拓扑学在动力系统和现代物理学（如规范场论）中的深远应用。通过本书的学习，读者将不仅掌握严谨的拓扑学推理，更将获得一种全新的、抽象而富有洞察力的空间感知能力。

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