Integrable Systems and Quantum Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Ron Donagi

出品人:

页数:488

译者:

出版时间:1995-11-29

价格:USD 72.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540605423

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

• 数学
• physics
• Integrable Systems
• Quantum Groups
• Mathematical Physics
• Representation Theory
• Algebraic Structures
• Nonlinear Dynamics
• Soliton Equations
• Lie Algebras
• Quantum Deformations
• Mathematical Research

《可积系统与量子群》是一部深刻探讨现代数学物理两大核心领域的专著。本书旨在为读者呈现这两个相互关联、又各自拥有丰富数学结构的迷人领域。我们将深入研究可积系统的理论及其在统计力学、量子场论等领域的广泛应用，同时也将详细介绍量子群这一新兴代数结构，揭示其在经典可积系统极限中的重要联系。 第一部分：可积系统的深邃世界 在第一部分，我们将全面铺开可积系统的理论框架。可积性，简而言之，是指一个动力学系统拥有足够多的守恒量，使得其运动轨迹可以通过某种显式方法（通常是解析方法）完全确定。这种“可解性”在理论物理中具有举足轻重的地位，许多重要的物理模型，如多维气体模型、弦理论中的某些特定情况、以及许多低维量子场论，都展现出可积的特性。 我们将从最基础的概念入手，介绍可积系统的定义，包括汉密尔顿可积系统和泊松可积系统。随后，我们将详细阐述李氏代数、汉密尔顿流和守恒量的生成等关键概念。一个重要的工具是Poisson流形的理论，它为研究可积系统的几何结构提供了语言。我们将探讨泊松结构如何刻画系统的动力学，并引入“李代数”的对称性概念，它是理解可积性的重要线索。 接着，我们将重点介绍实现可积系统的几种主要方法。其中，R-矩阵方法（Yang-Baxter方程）将占据核心地位。我们将详细推导Yang-Baxter方程，并解释其在构造可积模型中的作用。R-矩阵作为一种代数对象，能够生成系统的守恒量，并与系统的量子化过程密切相关。我们还将介绍反散射方法（Inverse Scattering Method, ISM），这是一种求解非线性偏微分方程的强大技术，尤其适用于孤立子方程（如Korteweg-de Vries方程）。ISM通过将非线性问题转化为线性问题来找到精确解，是理解可积系统的另一个关键视角。 本书将深入讨论几种经典的、具有代表性的可积模型。Kadomtsev-Petviashvili (KP) 方程和非线性薛定谔 (NLS) 方程将作为例子，详细分析它们的解法、几何特性以及与R-矩阵的关系。我们还会探讨 Toda 格子模型，这是离散可积系统的一个典范，其在统计物理和凝聚态物理中有广泛应用。通过对这些具体模型的分析，读者可以更深刻地理解可积性理论的抽象概念。 此外，我们将触及可积系统与代数几何的深刻联系。雅可比阿贝尔簇（Jacobian of an Abelian variety）在求解高阶可积系统中扮演着重要角色。我们将介绍如何利用代数几何工具来理解和构造可积系统的解，特别是对多维可积系统。 最后，我们将探讨可积系统在现代物理中的一些前沿应用。例如，在量子信息论中，可积系统提供了理解和控制量子态演化的新思路。在量子引力的研究中，某些二维黑洞模型的解也展现出可积的特性。本书将为读者提供一个平台，去理解这些深刻的联系。 第二部分：量子群的抽象之美 在第二部分，我们将转向一个更为抽象但同样迷人的数学结构——量子群。量子群，又称变形李群或变形霍普夫代数，是经典李群的“量子”推广。它们在量子力学、统计力学、代数几何以及表示论等领域都扮演着越来越重要的角色。 我们将从霍普夫代数的概念开始，这是量子群的代数基础。我们将详细介绍霍普夫代数的定义，包括乘法、单位、对易、余乘、余单位和抗扭等运算。这些运算共同构成了一个丰富的代数框架。 随后，我们将引入“变形”的概念。量子群通常是通过对经典李群或李代数的某些参数进行“变形”（如将乘法或余乘运算中的特定常数替换为依赖于参数$q$的表达式）而获得的。我们将详细解释这种变形如何改变代数的结构，并引入R-矩阵作为量子群表示理论中的一个核心工具。正如我们在可积系统中见到的 R-矩阵，在量子群的语境下，它扮演着一个更根本的角色，它允许我们“扭曲”张量积的顺序，从而生成新的代数关系。Yang-Baxter方程在这里也再次出现，并被看作是量子群结构的一致性条件。 本书将重点介绍几种重要的量子群。U_q(sl_2)是量子群中最简单也是最重要的一种，我们将详细构造它的代数结构，并分析其表示论。通过研究 U_q(sl_2) 的表示，我们可以看到经典sl_2代数的表示如何被“变形”和推广。 我们将深入探讨量子群的表示论。表示论是理解任何代数结构的钥匙，而量子群的表示论更是充满了新颖和复杂的现象。我们将研究量子群的不可约表示，以及它们的张量积分解。这将涉及到Peter-Weyl定理的推广，以及与量子群结构紧密相关的晶格（Crystal）的概念。晶格为量子群的表示提供了一种组合式的描述，使得理解其表示结构更加直观。 本书还将介绍量子群与辫群（Braid Group）之间的深刻联系。辫群是描述粒子在空间中轨迹的数学模型，而量子群的R-矩阵可以自然地生成辫群的表示，反之亦然。这种联系是理解量子群在拓扑量子场论和低温物理中的应用的关键。 我们还将探索量子群在模范（Fusion Category）理论中的应用。模范理论是研究具有特定乘法结构的代数范畴，而量子群的表示范畴通常就是一种模范。这将为我们理解量子群的代数结构提供更高级别的视角。 最后，本书将简要介绍量子群在量子几何和量子拓扑领域的一些最新进展。例如，量子群的表示与拓扑不变量（如Jones多项式）的联系，以及它们在非交换几何中的潜在作用，都将为读者打开新的视野。 本书的特色与目标读者 《可积系统与量子群》的显著特点在于其将可积系统和量子群这两个看似独立的领域巧妙地联系起来。我们不仅分别深入介绍了各自的理论精髓，更着重揭示了它们之间的内在联系。R-矩阵作为连接两者的重要桥梁，贯穿全书。通过对 Yang-Baxter 方程的反复讨论，读者将能深刻体会到两者在代数结构上的相似性和推广关系。 本书的语言力求严谨且清晰，并辅以大量的例子和推导过程，旨在帮助读者逐步掌握抽象的数学概念。我们避免使用过于晦涩的术语，而是循序渐进地引导读者进入这两个研究领域。 本书的目标读者包括但不限于： 对理论物理，特别是统计力学、量子场论、弦理论有浓厚兴趣的研究生和研究人员。 希望深入理解可积性理论及其在现代物理中应用的数学家。 对量子群及其表示论感兴趣的代数和表示论研究者。 任何希望拓宽数学物理视野，探索非线性动力学和代数结构的读者。 我们相信，通过研读本书，读者将能够深刻理解可积系统和量子群的数学魅力，并为其在更广泛的科学研究领域中打开新的可能性。

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