Geometry of Low-Dimensional Manifolds, Vol. 2 pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Donaldson, S. K.; Thomas, C. B.; Donaldson/Thomas

出品人:

页数:260

译者:

出版时间:1991-1-25

价格:USD 86.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780521400015

丛书系列:London Mathematical Society Lecture Note Series

图书标签:

几何学
低维流形
拓扑学
微分几何
流形理论
数学
几何与拓扑
微分流形
代数拓扑
数学分析

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具体描述

This volume is based on lecture courses and seminars given at the LMS Durham Symposium on the geometry of low-dimensional manifolds. This area has been one of intense research recently, with major breakthroughs that have illuminated the way a number of different subjects interact (for example: topology, differential and algebraic geometry and mathematical physics). The workshop brought together a number of distinguished figures to give lecture courses and seminars in these subjects; the volume that has resulted is the only expository source for much of the material, and will be essential for all research workers in geometry and mathematical physics.

《低维流形的几何学（第二卷）》《低维流形的几何学（第二卷）》深入探讨了数学中最迷人、最活跃的研究领域之一：低维流形。本书延续了第一卷的基础，进一步揭示了三维和四维流形在拓扑和几何上的丰富结构，以及它们与代数、分析等其他数学分支的深刻联系。本书的核心关注点在于揭示低维流形的内在几何性质。我们将从曲率的视角出发，审视黎曼几何在低维空间中的具体体现。例如，在三维空间中，庞加莱猜想的证明（已由格里戈里·佩雷尔曼完成）彻底改变了我们对三维球面及其拓扑分类的理解。本书将详细介绍实现这一革命性突破的关键思想和技术，包括Ricci流的演化方程、奇点分析以及流形分解等概念。我们将考察不同类型的黎曼度量如何影响流形的几何形状，以及几何不变量（如曲率张量、标量曲率等）如何在低维流形中扮演至关重要的角色。除了黎曼几何，本书还将广泛涉及拓扑学工具在研究低维流形中的应用。我们将深入研究纤维丛、特征类（如陈类、Pontryagin类）以及不变量理论。这些工具使得我们能够区分拓扑上不同的流形，即使它们具有相同的维度。例如，我们可能会探讨如何利用不变量来识别或构造特定的三维流形，以及它们在解决悬而未决的拓扑问题中的作用。四维流形的拓扑分类尤其复杂，本书将触及相关的前沿研究，例如Donaldson不变量和Seiberg-Witten不变量，它们为理解四维流形提供了强大的代数工具。本书还将重点关注与低维流形相关的其他重要数学结构，例如辛几何和接触几何。辛流形在理论物理，特别是量子场论和弦理论中扮演着核心角色。我们将介绍辛结构的定义、性质及其在刘维尔定理、泊松括号等概念中的体现。接触几何则提供了另一类重要的几何框架，尤其在三维空间中，它与拓扑学有着密切的联系。我们可能会探讨联系形式、Reeb向量场以及接触流形上的拓扑不变量。本书的另一重要主题是流形的分类和结构定理。对于三维流形，Thurston的几何化猜想（现已由佩雷尔曼证明）提供了对所有紧致三维流形进行分类的终极蓝图。本书将详细阐述几何化猜想的含义，以及它如何将所有三维流形分解为由八种基本几何结构组成的“几何块”。我们将逐一介绍这些几何结构，如欧几里得几何、球面几何、双曲几何、 nil几何、solv几何、以及纤维化曲面上的几何等，并探讨如何利用 Ricci流或其他分析工具来证明流形可以被分解为具有这些几何的部件。对于四维流形，其分类问题远比三维复杂，但本书仍将介绍一些关键性的进展。我们将探讨如何利用代数拓扑工具，例如基本群、同伦群以及homology群，来理解四维流形的全局结构。此外，我们还将触及一些重要的代数不变量，如Milnor猜想等，它们试图描述四维流形的复杂性。本书还会涉及低维流形在其他数学和物理领域中的应用，例如在拓扑量子场论、弦理论、以及数学物理的其他分支中。我们将探讨流形上的微分算子、谱几何以及与量子力学相联系的某些几何结构。总而言之，《低维流形的几何学（第二卷）》旨在为读者提供一个全面而深入的低维流形几何和拓扑世界的视角。它将引导读者探索曲率、不变量、几何结构以及代数工具的精妙之处，并揭示这些看似抽象的概念如何深刻地影响着我们对空间本质的理解。本书适合对几何、拓扑以及相关数学物理领域有浓厚兴趣的研究生和研究人员。