The Deficiency Index Problem for Powers of Ordinary Differential Expressions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Robert M. Kauffman

出品人:

页数:112

译者:

出版时间:1977-12-7

价格:USD 26.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540085232

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 常微分方程
• 算子理论
• 谱分析
• 亏格指标
• 幂算子
• 函数空间
• 内积空间
• 算子谱
• 线性代数

《低阶齐次线性微分方程的指数问题》 本书深入探讨了一类特殊的微分方程——低阶齐次线性微分方程，并聚焦于其解在特定函数空间内的“指数问题”。该问题关注的是，当这些微分方程的系数具有一定的解析性质时，其解是否能被表示为某些基本函数的幂次形式，以及这类表示的“指数”行为（即幂次的增长或衰减规律）有何特性。 第一章：引言与问题背景 本章首先概述了线性微分方程在数学和物理学中的重要性，特别是齐次线性微分方程作为研究更复杂方程的基础。随后，引出“指数问题”的概念，将其置于函数空间理论和偏微分方程研究的交叉点上。我们将解释为何关注解的幂次表示，及其在分析方程性质（如稳定性、渐近行为）方面的意义。本章还将回顾一些已有的相关研究成果，为后续深入探讨奠定基础。 第二章：低阶齐次线性微分方程的分类与基本性质 本章将对低阶（通常指二阶或三阶）齐次线性微分方程进行系统性的分类。我们将根据方程系数的代数和解析性质（如常数系数、多项式系数、解析系数等），介绍不同类型方程的结构特点。重点将放在常数系数和多项式系数的方程上，分析它们的特征方程、基本解系以及通解的形式。此外，还将探讨这些方程在不同区域（如欧氏空间）上的基本性质，包括解的存在性、唯一性以及光滑性。 第三章：函数空间与度量 “指数问题”的定义与分析离不开对函数空间的理解。本章将介绍几种与微分方程解相关的经典函数空间，如 Sobolev 空间、Hö Nagy 空间、Lipschitz 空间等。我们将详细阐述这些空间的定义、拓扑结构以及它们之间的包含关系。同时，还将引入度量和范数等概念，用以量化函数之间的“距离”或“大小”，这对于研究解的收敛性、稳定性以及渐近行为至关重要。 第四章：解的幂次表示：概念与构造 本章将正式引入“解的幂次表示”的概念。我们将其定义为将微分方程的解表示为形如 $phi(x) cdot x^alpha$ 或 $phi(x) cdot e^{lambda x} cdot x^alpha$ （其中 $phi(x)$ 是某个特定函数，$alpha$ 是复数指数，$lambda$ 是复数常数）的形式。我们将探讨在何种条件下，方程的解可以被分解或逼近为这种幂次形式。本章还将介绍一些构造这类表示的初步方法，可能包括利用方程的局部性质、积分变换或级数展开等技术。 第五章：指数问题：指数的确定与分析 本章是本书的核心内容之一，将聚焦于“指数问题”本身。我们将研究如何确定解的幂次表示中的指数 $alpha$ 或 $lambda$。这通常与方程的特征根、奇异点的行为以及边界条件等因素密切相关。我们将分析这些指数的性质，例如它们是实数还是复数，是有限个还是无限个，以及它们是否具有某种规律性。本章还将探讨指数的“问题”，即是否存在使得解的幂次表示成立的指数，以及这些指数是否唯一。 第六章：特殊系数情况下的指数问题 本章将深入研究当微分方程的系数具有特定性质时，“指数问题”的解法和结果。例如，我们将分析常数系数方程的指数问题，这通常与特征方程的根直接相关。随后，我们将转向多项式系数方程，分析其指数问题与方程奇点（如正则奇点和非正则奇点）的行为之间的联系。对于解析系数的方程，我们将探讨其指数问题与局部解的级数展开（如 Frobenius 方法）的关系。 第七章：指数问题在稳定性分析中的应用 解的幂次表示和指数的行为与微分方程解的稳定性密切相关。本章将展示如何利用“指数问题”的结果来分析微分方程解的稳定性。例如，指数的实部符号可以决定解是指数增长、衰减还是振荡。我们将探讨在不同函数空间下，指数的性质如何影响解的全局渐近行为，以及如何用于判断平衡点的稳定性。 第八章：数值方法与计算 虽然本书侧重于理论分析，但本章将简要介绍一些与“指数问题”相关的数值方法。我们将讨论如何通过数值手段近似计算微分方程的解，并从中提取指数信息。这可能包括谱方法、有限元方法或基于级数逼近的数值技术。本章还将探讨数值计算的精度和误差分析，以及如何通过数值实验来验证理论结果。 第九章：进一步的研究方向与展望 本章将总结本书的主要内容，并展望未来可能的研究方向。我们将提出一些尚未解决的开放性问题，例如高阶微分方程的指数问题，非线性微分方程的类指数问题，以及在更一般的函数空间或黎曼流形上的指数问题。我们还将探讨“指数问题”在物理学、工程学或其他数学分支中的潜在应用，例如在量子力学、流体动力学或控制理论等领域。 本书旨在为从事微分方程理论、泛函分析以及相关应用领域的研究人员和学生提供一个深入理解“低阶齐次线性微分方程的指数问题”的理论框架和研究视角。

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