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出版者:Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K

作者:Morris W. Hirsch

出品人:

页数:232

译者:

出版时间:1991-8

价格:GBP 37.50

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540901488

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
• Math
• 拓扑
• Topology
• 高等数学
• 微分拓扑
• 代数拓扑
• Academic
• 微分拓扑
• 流形
• 光滑结构
• 切空间
• 向量场
• 微分形式
• 流形上的积分
• 同调论
• 纤维丛
• 拓扑不变量

《差分拓扑学》 导论： 《差分拓扑学》一书深入探讨了微分几何和拓扑学这两个数学领域交叉的核心概念。它旨在为读者提供一个坚实的数学基础，使他们能够理解和分析具有光滑结构的几何对象。本书将带领读者从基础的微分流形概念出发，逐步深入到更复杂的拓扑性质和几何不变量，最终触及现代微分几何中的前沿研究方向。本书的目标读者是对抽象数学结构以及它们在几何和物理学中的应用感兴趣的学生和研究人员。 核心内容概述： 本书的内容围绕着“光滑的”几何对象展开，即那些可以在局部被欧几里得空间描述，并且具有良好定义的光滑函数的空间——微分流形。 1. 微分流形基础： 流形的概念： 本书将首先定义什么是微分流形，包括局部坐标系、图册以及如何通过图册将局部性质“粘合”起来形成一个全局的、具有光滑结构的整体。读者将学习到如何区分不同类型的流形，例如嵌入式流形、浸入式流形以及作为子集的流形。 切空间与向量场： 引入切空间的思想，这是在流形上每一点都定义的一个线性空间，用来捕捉该点附近“方向”的信息。向量场作为光滑函数在切空间上的作用，以及它们如何描述流形上的“运动”或“方向”，将是本书的重要组成部分。读者将学习到切空间如何形成一个向量丛，以及向量场如何通过李导数等工具进行研究。 微分形式与积分： 介绍微分形式，这是在切空间上作用的反对称多线性函数。本书将详细阐述外微分算子，以及它与外代数的关系。读者将学习到庞加莱引理，它将闭形式和精确形式联系起来，并为理解德拉姆定理奠定基础。此外，流形上的积分，特别是关于微分形式的积分，将是本书一个重要的研究方向，它允许我们量化和分析流形上的几何性质。 2. 联系几何与拓扑： 张量场与度量： 学习如何定义流形上的张量场，特别是非退化的对称二阶张量，即黎曼度量。黎曼度量赋予了流形长度、角度和体积的概念，使得我们可以进行几何测量，如测地线、曲率等。 曲率的概念： 深入探讨黎曼曲率张量，它描述了流形在不同方向上的弯曲程度。读者将学习到里奇曲率、标量曲率等重要概念，以及它们如何影响流形的几何性质。例如，常曲率空间（如欧几里得空间、球面、双曲空间）将作为重要例子进行分析。 拓扑不变量： 将几何性质与拓扑性质联系起来。本书将介绍一些重要的拓扑不变量，如欧拉示性数，并解释它如何通过高斯-博内定理与黎曼度量的曲率联系起来。读者将理解，即使改变了流形的度量，某些拓扑特征（如连通分支数、孔洞数）保持不变。 3. 更高级的主题： 子流形和嵌入： 探讨将一个流形“嵌入”到另一个更高维度的流形中，以及研究子流形的内在几何性质。 李群与李代数： 介绍李群（作为具有光滑结构的群）及其相关的李代数（作为切空间上的向量空间）。它们在对称性分析和微分方程研究中起着至关重要的作用。 微分同胚与同胚： 区分微分同胚（光滑的双射且其逆也是光滑的）和同胚（保持拓扑结构）。了解它们之间的区别对于理解流形的分类至关重要。 某些流形分类： 涉及对特定类型的流形进行分类，例如紧致曲面（如球面、环面）以及它们与基本群和欧拉示性数的关系。 本书特点： 《差分拓扑学》以严谨的数学表述为基础，同时辅以丰富的例子和直观的解释。本书的目标是培养读者独立思考和解决问题的能力，使他们能够理解并运用微分拓扑学的方法来分析各种数学和物理问题。本书中的证明将力求清晰完整，并会引导读者逐步理解证明背后的思想。 结论： 本书为读者提供了一个通往现代几何和拓扑学世界的窗口，展现了数学的优雅与力量。通过对光滑结构的深入探索，本书将帮助读者建立起一套强大的分析工具，以理解空间和形状的深层本质。

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我发现《微分拓扑》这本书在内容的选择上，确实有着独到的眼光。它不仅仅是教科书的堆砌，更注重那些能够体现微分拓扑核心思想和最新进展的内容。书中对一些经典问题的探讨，以及对现代研究前沿的介绍，都让我受益匪浅。我喜欢它在介绍某个概念时，会追溯其历史渊源，阐述其发展脉络，这不仅让我理解了“是什么”，更理解了“为什么”。这种深度的挖掘，让我在学习知识的同时，也对数学的发展史有了更深的了解，这是一种更加全面的学习体验。

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坦白说，这本书的内容深度和广度都令我印象深刻。它不仅仅局限于基础的流形理论，还触及了诸如微分同胚、嵌入定理、弗罗贝尼乌斯定理等更高级的主题。我特别欣赏书中对这些概念的几何直观解释，这使得我能够更好地理解抽象的定义和定理。例如，在讲解切空间时，作者通过不同角度的光线折射来类比，让我瞬间对这个看似抽象的概念有了生动的认识。这种将抽象数学转化为具体形象的能力，是这本书最大的亮点之一，它让我的学习过程充满了乐趣。

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我必须承认，当我第一次翻开《微分拓扑》这本书时，我内心是带着一丝敬畏和期待的。作为一名在数学领域摸爬滚打多年的学生，我早已领略过拓扑学那令人着迷的抽象之美，而微分拓扑更是将这种美学推向了一个新的高度，它将分析学工具引入拓扑空间的研究，赋予了我们更强大的洞察力去理解空间的内在结构和光滑性质。这本书的封面设计朴实而又不失格调，仿佛在预示着内容上的严谨与深刻。我迫不及待地想深入其中，探索那些关于流形、纤维丛、微分形式以及各种不变量的奥秘。我知道，这将是一段充满挑战但也绝对回报丰厚的旅程，我准备好迎接它所带来的智识上的启迪和思维上的飞跃。这本书不仅仅是一堆符号和定理的堆砌，更是一种看待世界、理解宇宙运行方式的全新视角，我渴望通过它来拓展我认知能力的边界，让我的数学语言更加精炼和优雅。

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毫无疑问，《微分拓扑》这本书的体例安排和章节过渡处理得相当到位。从最基本的概念引入，比如光滑函数、切空间，到逐步深入到更复杂的理论，例如李群、同伦论在微分拓扑中的应用，整个脉络清晰可见，逻辑性极强。作者似乎非常注重基础的巩固，每一个新概念的引入都伴随着详尽的定义和易于理解的例子，这对于我这样需要反复消化吸收抽象概念的学习者来说，简直是福音。书中大量的图示和几何解释，更是将那些抽象的代数结构具象化，让我在脑海中能够构建出清晰的几何图像，从而更好地理解定理的含义和证明思路。我尤其欣赏作者在引入某些高级概念时，会适时地回顾之前学到的知识，建立起新旧知识之间的联系，这种“温故而知新”的设计，极大地降低了学习的难度，也让我对整个学科的体系有了更宏观的把握。

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阅读《微分拓扑》这本书，我最大的感受就是它的系统性。作者并没有孤立地讲解每一个概念，而是将它们有机地组织起来，形成了一个完整的知识体系。从最基本的点集拓扑概念，到光滑映射，再到微分形式和德拉姆定理，每一个环节都承接上文，为下文做铺垫。这种严谨的体系构建，让我能够清晰地理解不同概念之间的内在联系，从而构建起一个扎实的微分拓扑知识框架。我能够感受到作者在内容组织上花费的心血，这对于我这样需要系统学习的读者来说，无疑是一笔宝贵的财富。

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这本书在数学表述上，无疑是相当严谨的。每一条定理的陈述都力求精确无误，每一个证明的步骤都逻辑严密，无可挑剔。这种精益求精的态度，让我对数学的严谨性有了更深刻的认识。在学习过程中，我时常会停下来，仔细推敲每一个符号的含义，每一个逻辑关系的连接。这种对细节的关注，不仅帮助我避免了潜在的理解误区，也培养了我一丝不苟的学习习惯。我喜欢作者在一些证明的关键步骤上，会特别强调其核心思想，而不仅仅是罗列计算过程。这种“点睛之笔”的设计，让我能够抓住问题的本质，而不是被繁杂的公式所淹没。

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这本书不仅仅是提供知识，更重要的是它在潜移默化中塑造我的思维方式。在解决一些复杂的证明题时，我发现自己开始不自觉地运用书中提到的方法和技巧。它教会我如何将复杂的几何问题转化为代数计算，如何利用群论的工具来分析流形的对称性，以及如何通过共轭类来理解微分映射的性质。这种思维模式的转变，是我在阅读过程中最惊喜的收获之一。这本书让我明白，数学的学习不仅仅是记住公式和定理，更是一种逻辑思维的训练和问题解决能力的提升。

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在我看来，阅读《微分拓扑》的过程，就像是在攀登一座宏伟的山峰。起初，坡度平缓，我们可以轻松地欣赏沿途的风景，理解那些基础的概念。但随着海拔的升高，山路变得崎岖，需要我们付出更多的努力去攀登，去克服那些看似难以逾越的定理和证明。这本书正是如此，它不会轻易地给出答案，而是引导我们一步步地去思考，去探索。当我遇到一个难以理解的证明时，我不会感到沮丧，反而会激发我的斗志，我会反复阅读，尝试从不同的角度去理解，去寻找其中的关键。而当最终豁然开朗的那一刻，那种成就感是无与伦比的。这本书的魅力就在于此，它不仅仅教授知识，更重要的是培养一种解决问题的能力，一种不畏艰难、勇于探索的科学精神。

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总而言之，《微分拓扑》这本书为我打开了一个全新的数学视野。它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的老师，一位严谨的引路人。我从中学到的不仅仅是微分拓扑的知识，更是对数学本身的热爱和敬畏。这本书的深度、广度、严谨性以及其独特的教学方法，都让我受益匪浅。我相信，即使在未来的学术道路上，这本书也将是我不可或缺的参考资料，它将继续指引我探索更广阔的数学天地，让我能够更加自信和从容地面对各种挑战。

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《微分拓扑》这本书的排版和印刷质量也是我非常赞赏的一点。纸张的触感很好，墨迹清晰，字体大小适中，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。书中的公式和符号清晰地呈现出来，没有模糊不清的情况，这对于需要频繁查阅公式的学习者来说，是一个非常重要的细节。章节之间的过渡也很自然，不会给人一种突兀的感觉。我喜欢它那种沉甸甸的分量，拿在手里就有一种踏实感，仿佛在传递着知识的厚重。无论是放在书架上，还是在图书馆的阅览室里，它都散发着一种独特的学术气息，让人忍不住想去深入探究。

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微分拓扑读起来就是尽兴些

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真的需要指导，我要重修

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