Splines and Variational Methods pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Prenter, P. M.

出品人:

页数:336

译者:

出版时间:2008-12

价格:$ 22.54

装帧:

isbn号码:9780486469027

丛书系列:

图书标签:

• Splines
• Variational Methods
• Numerical Analysis
• Approximation Theory
• Mathematics
• Applied Mathematics
• Scientific Computing
• Curve Fitting
• Data Smoothing
• Optimization

《几何建模与离散动力学：从连续到数字的桥梁》 本书旨在为研究人员、工程师和高级学生提供一个深入理解和应用先进数学工具的全面指南，特别关注如何利用现代分析方法解决复杂的工程、物理和计算科学问题。本书专注于超越传统数值方法的限制，探索更具鲁棒性和几何意义的建模技术。 --- 第一部分：连续系统的高级分析基础 本部分着重于为后续的离散化和数值方法打下坚实的理论基础，重点关注具有复杂约束和非线性行为的系统。 第一章：微分几何在物理系统中的应用 本章首先回顾了欧几里得空间中曲线和曲面的基础概念，然后深入探讨了流形上的微分结构。我们将详细分析黎曼几何的基本要素，如度量张量、联络和测地线方程。在物理应用方面，本章将侧重于如何利用这些概念来描述弯曲空间中的运动，例如在弹性体理论的非线性框架下，材料的变形被视为在目标流形上的映射，从而实现对大变形的精确描述。特别地，将探讨流形上的张量分析，这对于理解材料的各向异性、液晶相或广义相对论中的场方程至关重要。 第二章：泛函分析与变分原理的推广 本章从更抽象的视角审视物理定律的本质。我们将从经典的欧拉-拉格朗日方程出发，将其提升到无限维空间，即希尔伯特空间和巴拿赫空间。核心内容包括索博列夫空间理论，详细讨论函数在弱导数意义下的性质，这是理解椭圆型偏微分方程解的正则性的关键。随后，本章将深入探讨直接法 (Direct Methods) 在求解变分问题中的应用，重点分析极小曲面问题和势能最小化问题。我们将详细阐述柯奈-马尔科夫（Kohn-Moser）定理在确保解存在性与唯一性方面扮演的角色，并讨论临界点理论，用于寻找非线性泛函的鞍点或局部极值。 第三章：非线性偏微分方程的几何结构 本章聚焦于一类特殊的、具有深刻物理意义的非线性方程组。我们将分析哈密顿系统在辛流形上的推广形式，以及如何利用李群的结构来解析守恒律。本章的核心在于研究非线性演化方程，例如 Korteweg–de Vries (KdV) 方程和非线性薛定谔方程 (NLS)。我们将利用刀理论 (Kaluza-Klein Theory) 的思想，探讨在更高维空间中导出低维有效理论的可能性，以及如何利用无穷小对称性来寻找方程的精确解。最后，将介绍庞加莱-洛特卡 (Poincaré-Lefschetz) 对偶在分析非线性波传播和拓扑不变量方面的应用。 --- 第二部分：离散化、数值方法与结构保持 本部分将理论知识转化为可计算的算法，特别是那些能够精确保留原始连续系统内在几何和拓扑性质的离散化方法。 第四章：几何积分方法与守恒律的离散化 本章是全书算法的核心。我们不再满足于标准的有限差分或有限元方法，而是追求结构保持 (Structure-Preserving) 的数值积分。详细分析辛积分器 (Symplectic Integrators)，解释它们如何保持哈密顿系统的辛结构，从而在长时间模拟中避免能量的假性增长。我们将介绍隐式黎曼和 (Implicit Runge-Kutta) 方法与辛积分器的关系，并针对保守系统，展示如何构建体积保持 (Volume-Preserving) 或能量保持的离散格式。对于流体动力学，本章将介绍基于体积平均的离散策略，而非仅仅基于点值的近似。 第五章：有限元法的现代拓展与约束处理 本章深化了有限元方法（FEM）的讨论，重点关注如何处理复杂的几何约束和边界条件。我们将探讨无网格方法 (Meshless Methods)，如光滑粒子流体动力学 (SPH) 和径向基函数方法，它们在处理大变形和自由表面问题上的优势。在传统的FEM框架下，本章将详细介绍混合有限元法 (Mixed FEM)，特别是如何使用对偶变量来精确地处理不可压缩性约束（例如，利用Brezzi-Douglas-Marini (BDM) 或 Raviart-Thomas 空间）。此外，还将分析惩罚函数法 (Penalty Methods) 和拉格朗日乘子法在处理刚性约束和接触问题中的优缺点和稳定性分析。 第六章：离散微分几何与网格上的拓扑分析 本章的核心是将微分几何概念直接移植到离散域（如三角网格或多面体网格）上。我们将介绍离散拉普拉斯算子的构建，重点分析霍奇拉普拉斯（Hodge Laplacian）在网格上的实现，它能够区分不同维度的上同调类，从而识别出“洞”或“连通分量”等拓扑特征。本章将展示如何利用离散测地线的计算来构建网格上的最优参数化。在应用方面，本章将详述离散梯度流的概念，即在图论或网格上定义能量耗散过程，这在离散几何处理、网格优化和信号处理中具有重要意义。 --- 第三部分：几何建模与计算的可行性 本部分聚焦于如何将前面发展起来的分析工具应用于实际的计算几何和数据驱动的建模任务。 第七章：曲面重建与数据的几何解释 本章探讨如何从不规则的采样点云中恢复出光滑、内在结构一致的几何表面。我们将从隐式曲面表示 (Implicit Surface Representation) 入手，重点分析有符号距离函数 (SDF) 的计算和优化。本章将深入研究基于黎曼度量学习的曲面重建方法，其中数据点之间的关系不再仅仅通过欧氏距离衡量，而是通过学习到的内在测地距离。讨论如何利用曲率流 (Curvature Flow) 来平滑噪声数据并正则化重建过程，从而得到具有良好几何属性的最终模型。 第八章：优化在几何约束下的求解 本章将数值优化理论应用于受几何约束的工程问题。我们将详细分析二阶锥规划 (Second-Order Cone Programming, SOCP) 和半定规划 (Semi-Definite Programming, SDP) 在求解优化张量问题的有效性，例如在分析各向异性材料的优化设计中。本章的重点是非光滑优化在处理碰撞检测、磨损模型或涉及临界点的物理系统时的应用。我们将介绍内点法 (Interior Point Methods) 和增广拉格朗日法在处理大规模、高精度几何约束优化问题中的实现细节和收敛性保证。 第九章：数据驱动的动力学建模与延迟动力学 本章探索如何从观测数据中识别潜在的底层物理模型，尤其是在系统结构未知的情况下。我们将利用本征正交分解 (Proper Orthogonal Decomposition, POD) 和本征函数展开来降维，但重点在于如何确保降维后的子空间依然能够保持系统的能量守恒或耗散特性。最后，本章将介绍时延微分方程 (Delay Differential Equations, DDEs) 在描述具有记忆效应的系统（如某些生物过程或材料蠕变）中的建模方法，并提供相应的数值求解策略，以处理由此产生的复杂吸引子结构。 --- 本书的特点在于其深度融合了抽象的微分几何、严格的泛函分析与高度工程化的结构保持数值方法。它为读者提供了一个统一的视角，理解从连续物理定律到稳定、高效的数字实现的全过程。

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