Generalized Galois Logics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Bimbo, Katalin/ Dunn, J. Michael

出品人:

页数:382

译者:

出版时间:

价格:80

装帧:

isbn号码:9781575865737

丛书系列:

图书标签:

• Galois logic
• Non-classical logic
• Algebraic logic
• Universal algebra
• Mathematical logic
• Residue arithmetic
• Lattice theory
• Category theory
• Philosophical logic
• Truth values

《拓扑学与非欧几何：空间形态的深度探索》 内容简介： 本书是一部深入探讨拓扑学基本原理及其在非欧几何语境下应用的专著。它旨在为数学系高年级本科生、研究生以及对空间结构本质感兴趣的专业研究人员提供一个严谨而富有洞察力的视角。全书结构严谨，从基础概念的建立，逐步推向更深层次的理论构建与应用。 第一部分：拓扑学的基石 本书的开篇部分聚焦于拓扑学的核心概念。我们首先回顾了度量空间与拓扑空间的基本定义，重点阐述了邻域、开集、闭集以及连续性的拓扑定义。为确保读者对抽象概念的掌握，我们引入了大量的实例，包括欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的标准拓扑，以及子空间拓扑、乘积拓扑和商拓扑的构建方法。 紧接着，本书深入探讨了拓扑空间的几个关键性质：紧致性和连通性。我们详细分析了紧致性的不同刻画方式（如点列紧、可数紧和 Heine-Borel 定理），并展示了紧致性在分析学和几何学中的重要作用。在连通性方面，我们区分了路连通性和路径连通性，并讨论了它们在复杂空间结构分析中的差异。 本部分的高潮是对分离公理（Separation Axioms）的细致考察，从 $T_0$ 到完全正则性（Hausdorff/正则/正常公理）。我们强调了 Hausdorff 空间（$T_2$ 空间）在构建商空间和处理连续函数时的不可替代性，并用例子说明了更高阶分离公理对保证数学结构良好性的重要意义。 第二部分：代数拓扑的初步接触 为了连接几何直觉与代数工具，第二部分引入了代数拓扑的初步概念。我们没有涉足同调论的复杂细节，而是将重点放在了基本群（Fundamental Group） $pi_1(X, x_0)$ 的定义、计算及其拓扑不变量的特性上。 我们详细介绍了如何构造自由群，如何计算圆周 $S^1$、环面 $T^2$ 以及一般曲面的基本群。通过引入覆盖空间理论的直观概念（而不求其严格的代数证明），我们解释了为什么基本群是度量一个“洞”的有效工具。通过计算一些简单空间的同伦等价关系，读者将初步理解代数不变量如何帮助区分拓扑上不同的空间。 第三部分：黎曼几何与非欧空间 本书的后半部分，我们将目光转向更具几何色彩的领域——微分流形和非欧几何。我们首先定义了光滑流形的概念，重点阐述了坐标图、图集和光滑结构的重要性。这部分为后续的微分几何研究奠定了严格的数学基础。 接下来，我们引入了黎曼度量。本书详细解释了切向量、切空间、张量场以及黎曼度量的构造。我们详细推导了联络（Connection）的概念，特别是列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），并阐述了其唯一性是由度量相容性和挠率消失性所决定的。 在此基础上，我们深入探讨了测地线（Geodesics）——在弯曲空间中最短路径的推广。通过对测地线方程的求解，我们揭示了这些路径在欧几里得、球面几何和双曲几何中的具体形态。 本书最重要的贡献之一是对黎曼曲率张量的系统性阐述。我们展示了曲率张量的定义、其与第二基本形式的关系，以及如何通过计算截面曲率来表征空间的局部弯曲程度。特别地，我们详细分析了以下几种关键几何空间： 1. 欧几里得空间 ($mathbb{R}^n$): 曲率为零。 2. 球面几何 (Positive Sectional Curvature): 讨论了球面上的测地线（大圆）如何体现正曲率的特性。 3. 双曲几何 (Negative Sectional Curvature): 重点介绍了庞加莱圆盘模型和双曲面模型，分析了双曲空间中三角形内角和小于 $pi$ 的现象，并与欧几里得几何进行了鲜明对比。 第四部分：拓扑与几何的交叉应用 最后一部分探讨了拓扑学工具如何深化对非欧几何结构的理解。我们讨论了流形上的向量场，以及如何利用庞加莱-霍普夫定理（Poincaré-Hopf Theorem）将拓扑信息（如向量场的零点指数和欧拉示性数）联系起来。 此外，本书还简要介绍了第一可积性定理在曲面的分类中的地位，并以高斯绝妙定理 (Gauss-Bonnet Theorem)作为全书的总结性论述。该定理将流形的拓扑不变量（欧拉示性数）与其几何不变量（曲率积分）紧密联系起来，完美体现了拓扑学与几何学之间深刻的内在和谐。 总结： 《拓扑学与非欧几何：空间形态的深度探索》提供了一套连贯、深入且具有挑战性的学习路径，它要求读者不仅掌握严谨的分析工具，更需要培养对高维抽象空间的几何直觉。本书强调从拓扑学的视角理解空间结构的本质，并将其应用于描述和分类弯曲空间，是数学研究领域不可或缺的参考资料。

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