具体描述
This book is a festschrift in honor of Professor Anthony Gaglione's sixtieth birthday. This volume presents an excellent mix of research and expository articles on various aspects of infinite group theory. The papers give a broad overview of present research in infinite group theory in general, and combinatorial group theory and non-Abelian group-based cryptography in particular. They also pinpoint the interactions between combinatorial group theory and mathematical logic, especially model theory.
潜入无限的迷宫：群论中的非有限结构探索 图书名称： 潜入无限的迷宫：群论中的非有限结构探索 (Diving into the Labyrinth of Infinity: Exploring Non-Finite Structures in Group Theory) 图书简介： 本书旨在为代数学、特别是群论领域的研究人员、高年级本科生和研究生提供一个全面而深入的指南，专注于群论中那些超越有限群的范畴，探讨无限群的深刻且错综复杂的结构。我们不再局限于群的阶数是一个固定整数所带来的约束和便利，而是踏入一个维度更为广阔、现象更为奇特的世界——无限群的领域。 第一部分：无限群的基石与拓扑的融合 本书的开篇建立在对无限群的严格形式化基础之上。我们首先回顾了群论的核心概念，并立即转向无限性带来的新挑战。重点章节将详细剖析可数无限群（如自由群、有限生成群）与不可数无限群（如某些拓扑群的子群）之间的本质区别。 我们将深入探讨自由群的构造、表达以及它们在组合群论中的核心地位。例如，我们将详细解析周思（Schreier）移位引理在无限群中的应用，以及如何利用生成元和关系来描述群的结构。对于有限生成群，本书将聚焦于增长函数（Growth Functions）的理论，这是衡量群复杂性的关键工具。我们将阐述其与群的几何结构、特别是与Cayley图的紧密联系。Cayley图在无限群理论中扮演了直观的几何视角，本书将运用图论的语言来解析群的代数性质，特别是对有界度量群（Bounded Metric Groups）和Haar测度在连续群（如拓扑群）中的引入进行详尽的阐述。 第二部分：结构理论的扩展与极限 有限群结构理论的许多经典工具，如Sylow定理、正规子群的结构分解，在无限群中往往失效或需要进行重大的重新诠释。本书致力于系统地展示这些经典理论的“无限化”。 我们将重点研究Engel条件（Engel Conditions）在无限群中的推广及其对群结构的影响，特别是与Nilpotent群和局部有限群（Locally Finite Groups）的联系。本书将详尽论述局部有限群的结构定理，例如，如何将这些群分解为有限群的“限制”或“限制的限制”。 中心主题之一是非交换局部有限群的结构。我们将探讨Grigorchuk群等病态（pathological）群的构造及其对群论基本假设的挑战。Grigorchuk群以其在有限生成、有限指数下的反直觉性质（例如，拥有无穷多个元素但其指数子群增长极其缓慢）而闻名，本书将提供其构造的初学者友好的、但数学上严谨的分析。 此外，我们将全面覆盖无限秩自由阿贝尔群的结构理论，将其与模论和同调代数的工具相结合。对群的扩张理论（Group Extensions）在无限设置下的处理，特别是使用上同调群（Group Cohomology）来分类扩张和研究群的扩张如何影响其结构，是本书的重要组成部分。 第三部分：遍历群、自动群与群的动力系统 本书的第三部分转向了群论与其他数学领域的交汇点，特别关注那些具有内在“动态”或“几何”特性的无限群。 自动群（Automatic Groups）理论是近年来群论中最活跃的研究领域之一。我们将详细介绍自动结构的定义、如何识别一个群是否为自动群，以及该结构带来的强大计算优势。我们将分析自动群在解决文字问题（Word Problem）方面的能力，并讨论其与黎曼几何和低维拓扑的深层联系。从双曲群到线性群，自动性的概念提供了一个统一的框架。 双曲群（Hyperbolic Groups），由M. Gromov开创，是无限群理论中的一块瑰宝。本书将详细阐述非退化性（non-degeneracy）、边界结构（Boundary Structure）和Quasi-isometry在双曲群分类中的作用。我们将深入探讨其Cayley图的边界如何携带关于群结构的丰富信息，并展示如何利用边界结构来解决代数问题，如判断自由度。 最后，我们将探索遍历群（Amenable Groups）的概念，将其与Baumslag-Solitar群的结构联系起来。遍历性提供了一种衡量群“平坦”或“扭曲”程度的拓扑方法。我们将对比遍历群与非遍历群（如自由群）在涉及随机游走和表示论时的行为差异。 结论与展望 本书最终将对无限群的未来研究方向进行总结。我们将触及非交换代数几何中无限维李代数的表示问题，以及无限群在几何群论中的应用前沿。本书力求在保持高度数学严谨性的同时，激发读者对无限结构所蕴含的无限可能性的好奇心。读者在完成本书的学习后，将能够自信地在无限群的复杂世界中导航，并理解其在现代数学各个分支中的关键作用。
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